線性代數/矩陣乘法/解答

A=(285)

解答

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問題 1

計算或宣告“未定義”。

${\begin{pmatrix}3&1\\-4&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&5\\0&0.5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&-1\\4&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1&-1\\3&1&1\\3&1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-7\\7&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&5\\-1&1&1\\3&8&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&2\\3&-5\end{pmatrix}}$

答案

${\begin{pmatrix}0&15.5\\0&-19\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&-1&-1\\17&-1&-1\end{pmatrix}}$
未定義。
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

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問題 2

其中

A={\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\\\end{pmatrix}}\quad B={\begin{pmatrix}5&2\\4&4\\\end{pmatrix}}\quad C={\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\\\end{pmatrix}}

計算或宣告“未定義”。

$AB$
$(AB)C$
$BC$
$A(BC)$

答案

${\begin{pmatrix}1&-2\\10&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-2\\10&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&3\\-4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&1\\-36&34\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-18&17\\-24&16\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-18&17\\-24&16\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&1\\-36&34\end{pmatrix}}$

問題 3

哪些乘積定義了？

$3\!\times \!2$ 乘以 $2\!\times \!3$
$2\!\times \!3$ 乘以 $3\!\times \!2$
$2\!\times \!2$ 乘以 $3\!\times \!3$
$3\!\times \!3$ 乘以 $2\!\times \!2$

答案

是。
是。
否。
否。

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問題 4

給出乘積的大小或說明“未定義”。

a $2\!\times \!3$ 矩陣乘以一個 $3\!\times \!1$ 矩陣
a $1\!\times \!12$ 矩陣乘以一個 $12\!\times \!1$ 矩陣
一個 $2\!\times \!3$ 矩陣乘以一個 $2\!\times \!1$ 矩陣
一個 $2\!\times \!2$ 矩陣乘以一個 $2\!\times \!2$ 矩陣

答案

$2\!\times \!1$
$1\!\times \!1$
未定義。
$2\!\times \!2$

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問題 5

求解從以下方程組開始，並進行變數變換（即替換）後的方程組

{\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}x_{1}&+&h_{1,2}x_{2}&+&h_{1,3}x_{3}&=&d_{1}\\h_{2,1}x_{1}&+&h_{2,2}x_{2}&+&h_{2,3}x_{3}&=&d_{2}\end{array}}

並進行以下變數變換（即替換）。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&=&g_{1,1}y_{1}&+&g_{1,2}y_{2}\\x_{2}&=&g_{2,1}y_{1}&+&g_{2,2}y_{2}\\x_{3}&=&g_{3,1}y_{1}&+&g_{3,2}y_{2}\end{array}}

答案

我們有

{\begin{array}{*{3}{rc}r}h_{1,1}\cdot (g_{1,1}y_{1}+g_{1,2}y_{2})&+&h_{1,2}\cdot (g_{2,1}y_{1}+g_{2,2}y_{2})&+&h_{1,3}\cdot (g_{3,1}y_{1}+g_{3,2}y_{2})&=&d_{1}\\h_{2,1}\cdot (g_{1,1}y_{1}+g_{1,2}y_{2})&+&h_{2,2}\cdot (g_{2,1}y_{1}+g_{2,2}y_{2})&+&h_{2,3}\cdot (g_{3,1}y_{1}+g_{3,2}y_{2})&=&d_{2}\end{array}}

展開並根據 $y$ 進行重組後，得到以下結果。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}(h_{1,1}g_{1,1}+h_{1,2}g_{2,1}+h_{1,3}g_{3,1})y_{1}&+&(h_{1,1}g_{1,2}+h_{1,2}g_{2,2}+h_{1,3}g_{3,2})y_{2}&=&d_{1}\\(h_{2,1}g_{1,1}+h_{2,2}g_{2,1}+h_{2,3}g_{3,1})y_{1}&+&(h_{2,1}g_{1,2}+h_{2,2}g_{2,2}+h_{2,3}g_{3,2})y_{2}&=&d_{2}\end{array}}

初始系統和用於替換的系統可以用矩陣語言表示。

{\begin{pmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=H{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\g_{2,1}&g_{2,2}\\g_{3,1}&g_{3,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}=G{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}

這樣，代入結果為 ${\vec {d}}=H{\vec {x}}=H(G{\vec {y}})=(HG){\vec {y}}$ .

問題 6

如定義 2.3 所示，矩陣乘法運算概括了點積。一個 $1\!\times \!n$ 行向量和一個 $n\!\times \!1$ 列向量的點積是否與它們的矩陣乘積相同？

答案

從技術上講，不是。點積運算產生一個標量，而矩陣乘積產生一個 $1\!\times \!1$ 矩陣。但是，我們通常會忽略這種區別。

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問題 7

用 $B,B$ 關於 ${\mathcal {P}}_{n}$ 的導數對映，其中 $B$ 是自然基 $\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$ 。證明這個矩陣與自身的乘積是定義的；它所代表的對映是什麼？

答案

對 $d/dx$ 對 $B$ 的作用是 $1\mapsto 0$ , $x\mapsto 1$ , $x^{2}\mapsto 2x$ , ..., 因此這是它的 $(n+1)\!\times \!(n+1)$ 矩陣表示。

{\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&&0\\0&0&2&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&n\\0&0&0&&0\end{pmatrix}}

由於該矩陣是方陣，因此可以對其自身進行矩陣乘法。

{\begin{pmatrix}0&1&0&&0\\0&0&2&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&n\\0&0&0&&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&0&&0\\0&0&0&6&&0\\&&&&\ddots &\\0&0&0&&&n(n-1)\\0&0&0&&&0\\0&0&0&&&0\end{pmatrix}}

該矩陣所代表的對映是複合對映

p\;{\stackrel {\frac {d}{dx}}{\longmapsto }}\;{\frac {d\,p}{dx}}\;{\stackrel {\frac {d}{dx}}{\longmapsto }}\;{\frac {d^{2}\,p}{dx^{2}}}

即二階導數運算。

問題 8

證明 $\mathbb {R} ^{1}$ 上的線性變換的複合運算滿足交換律。這是否適用於任何一維空間？

答案

對於所有一維空間都成立。令 $f$ 和 $g$ 是一個一維空間的變換。我們必須證明 $g\circ f\,({\vec {v}})=f\circ g\,({\vec {v}})$ 對於所有向量。固定一個空間的基 $B$ ，然後變換可以用 $1\!\times \!1$ 矩陣表示。

F={\rm {Rep}}_{B,B}(f)={\begin{pmatrix}f_{1,1}\end{pmatrix}}\qquad G={\rm {Rep}}_{B,B}(g)={\begin{pmatrix}g_{1,1}\end{pmatrix}}

因此，合成可以用 $GF$ 和 $FG$ 表示。

GF={\rm {Rep}}_{B,B}(g\circ f)={\begin{pmatrix}g_{1,1}f_{1,1}\end{pmatrix}}\qquad FG={\rm {Rep}}_{B,B}(f\circ g)={\begin{pmatrix}f_{1,1}g_{1,1}\end{pmatrix}}

這兩個矩陣相等，因此合成對空間中的每個向量具有相同的效果。

問題 9

為什麼矩陣乘法不定義為逐元素乘法？那樣會更容易，而且也滿足交換律。

答案

它不會代表線性對映的合成；定理 2.6 將會失效。

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問題 10

證明 $H^{p}H^{q}=H^{p+q}$ 和 $(H^{p})^{q}=H^{pq}$ 對於正整數 $p,q$ .
證明對於任何正整數 $p$ 和標量 $r\in \mathbb {R}$ ， $(rH)^{p}=r^{p}\cdot H^{p}$ 。

答案

每個結論都容易從相關的對映事實推匯出。例如， $p$ 次變換 $h$ ，繼 $q$ 次變換之後，僅僅是 $p+q$ 次變換。

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問題 11

矩陣乘法如何與標量乘法互動： $r(GH)=(rG)H$ 是否成立？ $G(rH)=r(GH)$ 是否成立？
矩陣乘法如何與線性組合互動： $F(rG+sH)=r(FG)+s(FH)$ 是否成立？ $(rF+sG)H=rFH+sGH$ 是否成立？

答案

雖然這些結論可以透過遍歷索引來驗證，但最好用它們所代表的對映來理解。也就是說，固定空間和基，使矩陣代表線性對映 $f,g,h$ 。

是的，我們既有 $r\cdot (g\circ h)\,({\vec {v}})=r\cdot g(\,h({\vec {v}})\,)=(r\cdot g)\circ h\,({\vec {v}})$ 以及 $g\circ (r\cdot h)\,({\vec {v}})=g(\,r\cdot h({\vec {v}})\,)=r\cdot g(h({\vec {v}}))=r\cdot (g\circ h)\,({\vec {v}})$ （第二個等式成立是因為 $g$ 的線性）。
兩個答案都是肯定的。首先， $f\circ (rg+sh)$ 和 $r\cdot (f\circ g)+s\cdot (f\circ h)$ 都將 ${\vec {v}}$ 對映到 $r\cdot f(g({\vec {v}}))+s\cdot f(h({\vec {v}}))$ ；計算與上一項類似（使用 $f$ 的線性進行第一個）。對於另一個， $(rf+sg)\circ h$ 和 $r\cdot (f\circ h)+s\cdot (g\circ h)$ 都將 ${\vec {v}}$ 對映到 $r\cdot f(h({\vec {v}}))+s\cdot g(h({\vec {v}}))$ 。

問題 12

我們可以詢問矩陣乘法運算如何與轉置運算相互作用。

證明 ${{(GH)}^{\rm {trans}}}={{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ .
一個方陣是對稱的，如果每個 $i,j$ 元素等於 $j,i$ 元素，也就是說，如果該矩陣等於其自身的轉置。證明矩陣 $H{{H}^{\rm {trans}}}$ 和 ${{H}^{\rm {trans}}}H$ 是對稱的。

答案

我們還沒有看到轉置操作的對映解釋，所以我們將透過考慮元素來驗證這些。

的第 $i,j$ 項為 ${{GH}^{\rm {trans}}}$ 的第 $j,i$ 項，即 $GH$ 的第 $j,i$ 項，也就是 $G$ 的第 $j$ 行和 $H$ 的第 $i$ 列的點積。的第 $i,j$ 項為 ${{H}^{\rm {trans}}}{{G}^{\rm {trans}}}$ 的第 $i$ 行和 ${{G}^{\rm {trans}}}$ 的第 $j$ 列的點積，也就是 $H$ 的第 $i$ 列和 $G$ 的第 $j$ 行的點積。點積滿足交換律，所以這兩個結果是相等的。
在前面的條目中，每個矩陣都等於其轉置，例如， ${{(H{{H}^{\rm {trans}}})}^{\rm {trans}}}={{{H}^{\rm {trans}}}^{\rm {trans}}}{{H}^{\rm {trans}}}=H{{H}^{\rm {trans}}}$ .

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問題 13

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中關於某個軸的向量旋轉是一個線性對映。通過幾何方式證明旋轉不滿足交換律來證明線性對映不滿足交換律。

答案

考慮 $r_{x},r_{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ，它們將所有向量 $\pi /2$ 弧度逆時針旋轉關於 $x$ 和 $y$ 軸（逆時針是指，當一個人的頭部位於 ${\vec {e}}_{1}$ 或 ${\vec {e}}_{2}$ ，雙腳位於原點，朝向原點看，旋轉是逆時針的）。

首先旋轉 $r_{x}$ ，然後旋轉 $r_{y}$ ，與先旋轉 $r_{y}$ ，然後旋轉 $r_{x}$ 是不同的。特別地， $r_{x}({\vec {e}}_{3})=-{\vec {e}}_{2}$ ，所以 $r_{y}\circ r_{x}({\vec {e}}_{3})=-{\vec {e}}_{2}$ ，而 $r_{y}({\vec {e}}_{3})={\vec {e}}_{1}$ ，所以 $r_{x}\circ r_{y}({\vec {e}}_{3})={\vec {e}}_{1}$ ，因此這些對映不滿足交換律。

問題 14

在定理 2.12 的證明中使用了一些對映。它們的定義域和值域是什麼？

答案

這無關緊要（只要空間具有適當的維度）。

For associativity, suppose that $F$ is $m\!\times \!r$ , that $G$ is $r\!\times \!n$ , and that $H$ is $n\!\times \!k$ . We can take any $r$ dimensional space, any $m$ dimensional space, any $n$ dimensional space, and any $k$ dimensional space— for instance, $\mathbb {R} ^{r}$ , $\mathbb {R} ^{m}$ , $\mathbb {R} ^{n}$ , and $\mathbb {R} ^{k}$ will do. We can take any bases $A$ , $B$ , $C$ , and $D$ , for those spaces. Then, with respect to $C,D$ the matrix $H$ represents a linear map $h$ , with respect to $B,C$ the matrix $G$ represents a $g$ , and with respect to $A,B$ the matrix $F$ represents an $f$ . We can use those maps in the proof.

後半部分的證明類似，只是 $G$ 和 $H$ 被加起來，因此我們必須將它們視為具有相同定義域和值域的對映。

問題 15

矩陣秩如何與矩陣乘法互動？

秩為 $n$ 的矩陣的乘積的秩可以小於 $n$ 嗎？大於嗎？
證明兩個矩陣乘積的秩小於或等於每個因子的秩的最小值。

答案

秩為 $n$ 的矩陣的乘積，其秩可以小於或等於 $n$ ，但不能大於 $n$ 。為了說明秩可以下降，考慮對映 $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ，分別投影到座標軸上。每個對映的秩都是1，但它們的複合 $\pi _{x}\circ \pi _{y}$ ，即零對映，其秩為零。這可以透過以下方式轉化為表示這些對映的矩陣。
${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})\cdot {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{y})={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
為了證明秩為 $n$ 的矩陣的乘積不可能具有大於 $n$ 的秩，我們可以應用對映結果，即線性相關集的像也是線性相關的。也就是說，如果 $h:V\to W$ 和 $g:W\to X$ 都具有秩 $n$ ，那麼在 ${\mathcal {R}}(g\circ h)$ 中大小大於 $n$ 的集合是 $g$ 在 $W$ 中大小大於 $n$ 的集合的像，因此是線性相關的（因為 $h$ 的秩為 $n$ ）。現在，線性相關集的像是相關的，所以值域中大小大於 $n$ 的任何集合都是相關的。（順便說一下，請注意 $g$ 的秩沒有提到。請參見下一部分。）
固定空間和基底，並考慮相關的線性對映 $f$ 和 $g$ 。回想一下，對映像的維數（對映的秩）小於或等於域的維數，並考慮箭頭圖。
${\begin{matrix}V&{\stackrel {f}{\longmapsto }}&{\mathcal {R}}(f)&{\stackrel {g}{\longmapsto }}&{\mathcal {R}}(g\circ f)\end{matrix}}$
首先，影像 ${\mathcal {R}}(f)$ 的維數必須小於或等於影像 ${\mathcal {R}}(f)$ 的維數，根據前一句。另一方面， ${\mathcal {R}}(f)$ 是 $g$ 定義域的子集，因此它的影像的維數小於或等於 $g$ 定義域的維數。結合這兩點，複合函式的秩小於或等於兩個秩中的最小值。矩陣事實立即得出結論。

問題 16

“與...交換”在 $n\!\times \!n$ 矩陣中是等價關係嗎？

答案

“與...交換”關係是自反的和對稱的。但是，它不是傳遞的：例如，對於

G={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad J={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}

$G$ 與 $H$ 交換，並且 $H$ 與 $J$ 交換，但 $G$ 不與 $J$ 交換。

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問題 17

(這將用於矩陣逆的練習。) 以下矩陣乘法的另一個性質，乍一看可能令人費解。

證明投影 $\pi _{x},\pi _{y}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 到 $x$ 軸和 $y$ 軸的複合函式是零對映，儘管兩者本身都不是零對映。
證明導數的複合 $d^{2}/dx^{2},\,d^{3}/dx^{3}:{\mathcal {P}}_{4}\to {\mathcal {P}}_{4}$ 是零對映，儘管兩者都不是零對映。
給出表示第一個事實的矩陣方程。
給出表示第二個事實的矩陣方程。

當兩個東西相乘得到零，而兩者都不是零時，它們被稱為零因子。

答案

這兩者都是。
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{x}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{y}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{y}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi _{x}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
這個複合是四次多項式空間上的五階導數對映 $d^{5}/dx^{5}$ 。
關於自然基，
${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(\pi _{y})={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
它們的乘積（無論順序）都是零矩陣。
其中 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3},x^{4}\rangle$ ，
${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d^{2}}{dx^{2}}})={\begin{pmatrix}0&0&2&0&0\\0&0&0&6&0\\0&0&0&0&12\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d^{3}}{dx^{3}}})={\begin{pmatrix}0&0&0&6&0\\0&0&0&0&24\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$
它們的乘積（無論順序）都是零矩陣。

問題 18

證明對於方陣， $(S+T)(S-T)$ 不一定等於 $S^{2}-T^{2}$ 。

答案

注意 $(S+T)(S-T)=S^{2}-ST+TS-T^{2}$ ，所以一個合理的嘗試是尋找不滿足交換律的矩陣，使得 $-ST$ 和 $TS$ 不抵消：例如

S={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}

我們得到了我們想要的結論。

(S+T)(S-T)={\begin{pmatrix}-56&-56\\-88&-88\end{pmatrix}}\qquad S^{2}-T^{2}={\begin{pmatrix}-60&-68\\-76&-84\end{pmatrix}}

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問題 19

用任意基底 $B$ 表示恆等變換 ${\mbox{id}}:V\to V$ 。這是單位矩陣 $I$ 。證明這個矩陣在矩陣乘法中的作用與實數乘法中的數 $1$ 相似： $HI=IH=H$ （對於所有定義了乘積的矩陣 $H$ ）。

答案

因為恆等對映作用於基底 $B$ 為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{1}$ ，…， ${\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {\beta }}_{n}$ ，它的表示如下。

{\begin{pmatrix}1&0&0&&0\\0&1&0&&0\\0&0&1&&0\\&&&\ddots \\0&0&0&&1\end{pmatrix}}

問題的第二部分從定理 2.6 中可以明顯看出。

問題 20

在實數代數中，二次方程最多有兩個解。但在矩陣代數中並非如此。證明 $2\!\times \!2$ 矩陣方程 $T^{2}=I$ 有不止兩個解，其中 $I$ 是單位矩陣（該矩陣在 $1,1$ 和 $2,2$ 位置上是 1，其他位置是 0；參見問題 19）。

答案

以下是四個解。

T={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}

問題 21

證明對於任意 $2\!\times \!2$ 矩陣 $T$ ，存在不全為 $0$ 的標量 $c_{0},\dots ,c_{4}$ ，使得組合 $c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ 是零矩陣（其中 $I$ 是 $2\!\times \!2$ 單位矩陣，在 $1,1$ 和 $2,2$ 位置上是 1，其他位置是 0；參見問題 19）。
設 $p(x)$ 是一個多項式 $p(x)=c_{n}x^{n}+\dots +c_{1}x+c_{0}$ 。如果 $T$ 是一個方陣，我們定義 $p(T)$ 為矩陣 $c_{n}T^{n}+\dots +c_{1}T+I$ （其中 $I$ 是大小合適的單位矩陣）。證明對於任何方陣，都存在一個多項式，使得 $p(T)$ 是零矩陣。
一個方陣的最小多項式 $m(x)$ 是次數最小的、首項係數為 $1$ 的多項式，使得 $m(T)$ 是零矩陣。求這個矩陣的最小多項式。
${\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}$
（這是關於 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ ，標準基，逆時針旋轉 $\pi /6$ 弧度的表示）。

答案

向量空間 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的維數為四。集合 $\{T^{4},\dots ,T,I\}$ 有五個元素，因此是線性相關的。
其中 $T$ 是 $n\!\times \!n$ ，將前面一項的論證推廣可知，存在一個次數不超過 $n^{2}$ 的多項式，因為 $\{T^{n^{2}},\dots ,T,I\}$ 是 $n^{2}+1$ 維空間 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 的一個 $n^{2}+1$ 元子集。
首先計算冪
$T^{2}={\begin{pmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}\qquad T^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad T^{4}={\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}$
(觀察到，繞 $\pi /6$ 旋轉三次，結果是繞 $\pi /2$ 旋轉，這正是 $T^{3}$ 所代表的）。然後設定 $c_{4}T^{4}+c_{3}T^{3}+c_{2}T^{2}+c_{1}T+c_{0}I$ 等於零矩陣
${\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}c_{4}+{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}c_{3}+{\begin{pmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&1/2\end{pmatrix}}c_{2}+{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}c_{1}+{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}c_{0}$
$={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
得到以下線性系統。
${\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-({\sqrt {3}}/2)c_{4}&-&c_{3}&-&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&-&(1/2)c_{1}&&&=&0\\({\sqrt {3}}/2)c_{4}&+&c_{3}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&+&(1/2)c_{1}&&&=&0\\-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\end{array}}$
應用高斯消元法。
${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{4}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-({\sqrt {3}}/2)c_{4}&-&c_{3}&-&({\sqrt {3}}/2)c_{2}&-&(1/2)c_{1}&&&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\end{array}}\\&\;{\xrightarrow[{}]{-{\sqrt {3}}\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{5}{rc}r}-(1/2)c_{4}&&&+&(1/2)c_{2}&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\&-&c_{3}&-&{\sqrt {3}}c_{2}&-&2c_{1}&-&{\sqrt {3}}c_{0}&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\\&&&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$ 、 $c_{3}$ 和 $c_{2}$ 設定為零，使得 $c_{1}$ 和 $c_{0}$ 也變為零，因此沒有一階或零階多項式可以滿足條件。將 $c_{4}$ 和 $c_{3}$ 設定為零（ $c_{2}$ 設定為一）得到一個線性系統
${\begin{array}{*{3}{rc}r}(1/2)&+&({\sqrt {3}}/2)c_{1}&+&c_{0}&=&0\\-{\sqrt {3}}&-&2c_{1}&-&{\sqrt {3}}c_{0}&=&0\end{array}}$
可以透過求解 $c_{1}=-{\sqrt {3}}$ 和 $c_{0}=1$ 得到。結論：多項式 $m(x)=x^{2}-{\sqrt {3}}x+1$ 是矩陣 $T$ 的最小多項式。

問題 22

所有有限度多項式的無限維空間 ${\mathcal {P}}$ 提供了一個令人難忘的關於線性對映非交換性的例子。令 $d/dx:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ 為通常的導數，令 $s:{\mathcal {P}}\to {\mathcal {P}}$ 為 **移位** 對映。

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\;{\stackrel {s}{\longmapsto }}\;0+a_{0}x+a_{1}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n+1}

證明這兩個對映不交換 $d/dx\circ s\neq s\circ d/dx$ ；事實上，不僅 $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ 不是零對映，它實際上是恆等對映。

答案

驗證過程是例行的。

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}{\stackrel {s}{\longmapsto }}a_{0}x+a_{1}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n+1}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{0}+2a_{1}x+\dots +(n+1)a_{n}x^{n}

而

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}a_{1}+\dots +na_{n}x^{n-1}{\stackrel {s}{\longmapsto }}a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

因此，在對映 $(d/dx\circ s)-(s\circ d/dx)$ 下，我們有 $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ .

問題 23

回顧數列 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ 的和的記號。

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}

在這個記號中， $i,j$ 是 $G$ 和 $H$ 乘積的項。

p_{i,j}=\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}h_{k,j}

使用這個記號，

重新證明矩陣乘法是結合的；
重新證明定理 2.6。

答案

跟蹤小節末尾的備註，得到 $i,j$ 是 $(FG)H$ 的項 $\sum _{t=1}^{s}{\bigl (}\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}g_{k,t}{\bigr )}h_{t,j}=\sum _{t=1}^{s}\sum _{k=1}^{r}(f_{i,k}g_{k,t})h_{t,j}=\sum _{t=1}^{s}\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}(g_{k,t}h_{t,j})$
$=\sum _{k=1}^{r}\sum _{t=1}^{s}f_{i,k}(g_{k,t}h_{t,j})=\sum _{k=1}^{r}f_{i,k}{\bigl (}\sum _{t=1}^{s}g_{k,t}h_{t,j}{\bigr )}$
(第一個等式來自用分配律乘以 $h$ ，第二個等式是實數的結合律，第三個是實數的交換律，第四個等式來自用分配律分解 $f$ )，這是 $i,j$ 是 $F(GH)$ 的項。
$k$ 的 $h({\vec {v}})$ 分量是
$\sum _{j=1}^{n}h_{k,j}v_{j}$
因此， $i$ 的 $g\circ h\,({\vec {v}})$ 分量是
$\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}{\bigl (}\sum _{j=1}^{n}h_{k,j}v_{j}{\bigr )}=\sum _{k=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}g_{i,k}h_{k,j}v_{j}=\sum _{k=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}(g_{i,k}h_{k,j})v_{j}$
$=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{r}(g_{i,k}h_{k,j})v_{j}=\sum _{j=1}^{n}(\sum _{k=1}^{r}g_{i,k}h_{k,j})\,v_{j}$
(第一個等式是透過使用分配律將 $g$ 乘以，第二個等式表示實數的結合律，第三個等式是實數的交換律，第四個等式是使用分配律將 $v$ 提取出來得到的)。