線性代數/矩陣乘法的機制

在本節中，我們將矩陣乘法視為一個機械過程，暫時撇開關於底層對映的任何含義。如前所述，矩陣乘法最引人注目之處在於行和列的組合方式。矩陣乘積的$i,j$ 元素是左矩陣的第$i$ 行與右矩陣的第$j$ 列的點積。例如，這裡第二行和第三列組合形成一個$2,3$ 元素。

${\begin{pmatrix}1&1\\{\color {red}0}&{\color {red}1}\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&6&{\color {red}8}&2\\5&7&{\color {red}9}&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&17&5\\5&7&{\color {red}9}&3\\4&6&8&2\end{pmatrix}}$

我們可以將其視為左矩陣透過一次乘以一行的方式作用於右矩陣的列。當然，另一種觀點是右矩陣使用其列來作用於左矩陣的行。下面，我們將研究一些簡單矩陣的從左和從右的作用。

第一個情況，零矩陣的作用，非常容易。

示例 3.1

從左或從右乘以適當大小的零矩陣

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3&2\\-1&1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

結果為零矩陣。

在零矩陣之後，作用最容易理解的矩陣是那些只有一個非零項的矩陣。

定義 3.2

除了$i,j$ 元素為1，其他元素均為0 的矩陣稱為 $i,j$ 單位 矩陣。

示例 3.3

這是一個 $1,2\,$ 單位矩陣，它有 3 行 2 列，從左乘。

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

從左側作用時，一個$i,j$ 單位矩陣將被乘數的第 $j$ 行復制到結果的第 $i$ 行。從右側，一個$i,j$ 單位矩陣將被乘數的第 $i$ 列複製到結果的第 $j$ 列。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&4\\0&7\end{pmatrix}}$

示例 3.4

簡單地對這些矩陣進行縮放，只會縮放結果。這是左側矩陣的作用，該矩陣是之前示例中矩陣的兩倍。

${\begin{pmatrix}0&2\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14&16\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

這是左側矩陣的-3倍，與之前示例中矩陣的作用。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-3\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-3\\0&-12\\0&-21\end{pmatrix}}$

接下來是具有兩個非零項的矩陣，有兩種情況。如果左乘矩陣的項位於不同的行，則它們的作用不會相互影響。

示例 3.5

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}&=({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\14&16&18\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\14&16&18\\0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

但是如果左乘矩陣的非零元素在同一行，那麼結果的該行就是這些元素的組合。

例 3.6

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}&=({\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}14&16&18\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}15&18&21\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\end{array}}$

右乘以相同的方式操作列。

這些關於大多數元素為零的矩陣的觀察結果可以擴充套件到任意矩陣。

引理 3.7

在兩個矩陣 $G$ 和 $H$ 的乘積中，$GH$ 的列是由 $G$ 乘以 $H$ 的列形成的。

$G\cdot \left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\vec {h}}_{1}&\cdots &{\vec {h}}_{n}\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\G\cdot {\vec {h}}_{1}&\cdots &G\cdot {\vec {h}}_{n}\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)$

而 $GH$ 的行是由 $G$ 的行乘以 $H$ 形成的。

$\left({\begin{array}{c}\cdots \;{\vec {g}}_{1}\;\cdots \\\hline \vdots \\\hline \cdots \;{\vec {g}}_{r}\;\cdots \end{array}}\right)\cdot H=\left({\begin{array}{c}\cdots \;{\vec {g}}_{1}\cdot H\;\cdots \\\hline \vdots \\\hline \cdots \;{\vec {g}}_{r}\cdot H\;\cdots \end{array}}\right)$

(忽略額外的括號)。

證明

我們將展示 $2\!\times \!2$ 的情況，並將一般情況留作練習。

$GH={\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\g_{2,1}&g_{2,2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}&g_{1,1}h_{1,2}+g_{1,2}h_{2,2}\\g_{2,1}h_{1,1}+g_{2,2}h_{2,1}&g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}\end{pmatrix}}$

結果中第一個等式右側

$\left({\begin{array}{c|c}G{\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\end{pmatrix}}&G{\begin{pmatrix}h_{1,2}\\h_{2,2}\end{pmatrix}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c}{\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,1}+g_{1,2}h_{2,1}\\g_{2,1}h_{1,1}+g_{2,2}h_{2,1}\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}g_{1,1}h_{1,2}+g_{1,2}h_{2,2}\\g_{2,1}h_{1,2}+g_{2,2}h_{2,2}\end{pmatrix}}\end{array}}\right)$

實際上與 GH 右側相同，只是多了一些括號（將列標記為列向量）。另一個方程式同樣易於識別。

根據這些觀察，存在一個矩陣，它只複製行和列。

定義 3.8

方陣的 **主對角線**（或 **主對角線** 或 **對角線**）從左上角延伸到右下角。

定義 3.9

**單位矩陣** 是方形的，除主對角線上的 1 外，所有元素均為 0。

$I_{n\!\times \!n}={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &1\end{pmatrix}}$

例 3.10

$3\!\times \!3$ 單位矩陣既可以從左側

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}$

也可以從右側。

${\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&6\\1&3&8\\-7&1&0\end{pmatrix}}$

例 3.11

$2\!\times \!2$ 單位矩陣也是如此。

${\begin{pmatrix}1&-2\\0&-2\\1&-1\\4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2\\0&-2\\1&-1\\4&3\end{pmatrix}}$

簡而言之，單位矩陣是關於矩陣乘法運算的 $n\!\times \!n$ 矩陣集合的單位元。

接下來，我們看看兩種推廣單位矩陣的方法。

第一種是，如果將 1 放寬為任意實數，則生成的矩陣將縮放整行或整列。

定義 3.12

對角矩陣是一個方陣，其主對角線以外的所有元素均為零。

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&0&\ldots &0\\0&a_{2,2}&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &a_{n,n}\end{pmatrix}}$

示例 3.13

從左邊來看，乘以對角矩陣的作用是縮放行。

${\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1&4&-1\\-1&3&4&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&2&8&-2\\1&-3&-4&-4\end{pmatrix}}$

從右邊來看，這樣的矩陣縮放列。

${\begin{pmatrix}1&2&1\\2&2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4&-2\\6&4&-4\end{pmatrix}}$

對單位矩陣的第二種推廣是，我們可以將單個 1 放置在每一行和每一列中，而不是僅僅放在對角線上。

定義 3.14

置換矩陣是一個方陣，除了每一行和每一列中都有一個唯一的 1 之外，其他所有元素均為零。

示例 3.15

從左邊來看，這些矩陣會置換行。

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&8&9\\1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$

從右邊來看，它們會置換列。

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&3&1\\5&6&4\\8&9&7\end{pmatrix}}$

在本節的最後，我們將應用這些觀察結果來獲得執行高斯方法和高斯-若爾當消元法的矩陣。

示例 3.16

我們已經瞭解瞭如何生成一個可以縮放行的矩陣。乘以這個對角矩陣將使另一個矩陣的第二行按三倍縮放。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1/3&1&-1\\1&0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1&3&-3\\1&0&2&0\end{pmatrix}}$

我們已經看到了如何生成一個可以交換行的矩陣。乘以這個置換矩陣會交換第一行和第三行。

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&2&1&1\\0&1&3&-3\\1&0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&2&1&1\end{pmatrix}}$

為了瞭解如何執行一個主元，我們觀察這兩個例子的一些共同點。以三倍比例調整第二行的矩陣是以這種方式從單位矩陣得到的。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{3\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

類似地，交換第一行和第三行的矩陣也以這種方式得到。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

示例 3.17

得到的 $3\!\times \!3$ 矩陣是

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}}$

當它從左邊作用時，它會執行主元操作 $-2\rho _{2}+\rho _{3}$。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1&3&-3\\0&0&-5&7\end{pmatrix}}$

定義 3.18

初等行變換矩陣是由單位矩陣進行一次高斯變換得到的。我們記它們為

1. $I{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}M_{i}(k)$ 其中 $k\neq 0$；
2. $I{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}P_{i,j}$ 其中 $i\neq j$；
3. $I{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}C_{i,j}(k)$ 其中 $i\neq j$.

引理 3.19

高斯消元可以透過矩陣乘法實現。

1. 如果 $H{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}G$，那麼 $M_{i}(k)H=G$.
2. 如果 $H{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}G$，那麼 $P_{i,j}H=G$.
3. 如果 $H{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}G$，則 $C_{i,j}(k)H=G$。

證明

清楚。

例 3.20

這是第一章中第一個我們用高斯消元法求解的系統。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&&&3x_{3}&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\(1/3)x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\end{array}}$

它可以用矩陣乘法化簡。交換第一行和第三行，

${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}0&0&3&9\\1&5&-2&2\\1/3&2&0&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1/3&2&0&3\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

將第一行乘以 3，

${\begin{pmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1/3&2&0&3\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

然後將第一行乘以 $-1$ 加到第二行。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\1&5&-2&2\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&-1&-2&-7\\0&0&3&9\end{array}}\right)$

現在用回代法可以得到解。

示例 3.21

高斯-約旦消元法的工作方式相同。對於上一個示例結束的矩陣，首先調整主元

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1/3\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&-1&-2&-7\\0&0&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&1&2&7\\0&0&1&3\end{array}}\right)$

最後，清除第三列，然後清除第二列。

${\begin{pmatrix}1&-6&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&6&0&9\\0&1&2&7\\0&0&1&3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}}\right)$

我們觀察到以下結果，我們將在下一小節中使用它。

推論 3.22

對於任何矩陣 $H$ 存在初等變換矩陣 $R_{1}$, ..., $R_{r}$ 使得 $R_{r}\cdot R_{r-1}\cdots R_{1}\cdot H$ 處於簡化行階梯形式。

到目前為止，我們一直認為我們的主要研究物件是向量空間和它們之間的對映，並且只為了計算方便而採用了矩陣。本小節表明這種觀點並非全部。矩陣理論是一個迷人而富有成果的領域。

在本書的其餘部分，我們將繼續以對映為主要物件，但我們會務實——如果矩陣觀點能提供更清晰的概念，那麼我們將使用它。

練習

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問題 1

預測每個用初等變換矩陣相乘的結果，然後透過相乘驗證。

1. ${\begin{pmatrix}3&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

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問題 2

在實踐中，經常需要對數字表格中的行和列進行線性組合。例如，這是一個佛蒙特州和紐約州部分地區的路線圖。

部分原因是尚普蘭湖，一些城鎮之間沒有直接的道路連線。例如，從威諾斯基到格蘭德艾爾沒有辦法走，而不經過科爾切斯特。（當然，為了簡化圖表，許多其他道路和城鎮被省略了。從這張地圖的頂部到底部大約有四十英里。）

1. 地圖的**關聯矩陣**是一個方陣，其$i,j$ 項是城市$i$ 到城市$j$ 的道路數量。繪製這張地圖的關聯矩陣（將城市按字母順序排列）。
2. 如果一個矩陣等於它的轉置，則該矩陣是**對稱**的。證明關聯矩陣是對稱的。（這些都是雙向街道。佛蒙特州沒有很多單行道。）
3. 關聯矩陣的平方有什麼意義？立方呢？

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問題 3

該表格列出了每個工人所做每種型別的工作的小時數以及相關的工資率。使用矩陣計算應得的工資。

常規   加班 艾倫     40   12 貝蒂     35   6 凱瑟琳     40   18 唐納德     28   0

工資 常規     $25.00 加班     $45.00

（備註。這說明，與上一個問題一樣，在實踐中我們經常想在實際上對線性對映不感興趣的情況下計算行和列的線性組合。）

問題 4

找到這個矩陣與其轉置的乘積。

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

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問題 5

證明對角矩陣是${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 的子空間。它的維數是多少？

問題 6

如果基不相等，單位矩陣是否表示恆等對映？

問題 7

證明所有恆等矩陣的倍數都與所有方陣交換。還有其他與所有方陣交換的矩陣嗎？

問題 8

證明或反駁：非奇異矩陣交換。

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問題 9

證明置換矩陣與其轉置的乘積是單位矩陣。

問題 10

證明如果$G$ 的第一行和第二行相等，那麼$GH$ 的第一行和第二行也是相等的。推廣。

問題 11

描述兩個對角矩陣的乘積。

問題 12

寫

${\begin{pmatrix}1&0\\-3&3\end{pmatrix}}$

作為兩個基本約簡矩陣的乘積。

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問題 13

證明如果$G$ 有一行零，那麼$GH$（如果定義）也有一行零。對於列是否也成立？

問題 14

證明單位矩陣的集合是${\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$ 的基。

問題 15

找到這個矩陣的$n$ 次方的公式。

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$

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問題 16

一個方陣的跡是其對角線上元素的總和（其重要性將在第五章中出現）。證明 ${\text{trace}}\,(GH)={\text{trace}}\,(HG)$.

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問題 17

如果一個方陣的非零元素僅位於對角線上或其上方，則稱為上三角矩陣。證明兩個上三角矩陣的乘積是上三角矩陣。這個結論對下三角矩陣也成立嗎？

問題 18

如果一個方陣的每個元素都在零到一之間，並且每行的元素之和為一，則稱為馬爾可夫矩陣。證明馬爾可夫矩陣的乘積也是馬爾可夫矩陣。

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問題 19

給出兩個秩相同的矩陣的例子，它們平方後的秩不同。

問題 20

將單位矩陣的兩種推廣方式結合起來，一種是允許元素不為一，另一種是允許每行和每列中唯一的非零元素不在對角線上。這種型別的矩陣的作用是什麼？

問題 21

在計算機中，乘法運算比加法運算更昂貴，因此人們希望減少計算矩陣乘積所需的乘法次數。

1. 我們為一個 $m\!\times \!r$ 矩陣和一個 $r\!\times \!n$ 矩陣的乘積給出的公式中需要多少次實數乘法？
2. 矩陣乘法滿足結合律，因此所有結合方式都會得到相同的結果。然而，乘法次數卻會不同。找到最少實數乘法次數來計算一個 $5\!\times \!10$ 矩陣、一個 $10\!\times \!20$ 矩陣、一個 $20\!\times \!5$ 矩陣和一個 $5\!\times \!1$ 矩陣的矩陣乘積的結合方式。
3. （非常難。） 找到一種方法，使用只有七次乘法而不是八次乘法（由樸素方法建議）來計算兩個 $2\!\times \!2$ 矩陣的乘積。

? 問題 22

如果 $A$ 和 $B$ 是相同大小的方陣，使得 $ABAB=0$，是否可以得出 $BABA=0$？（普特南考試 1990）

問題 23

證明這四個斷言，以得到列秩等於行秩的另一種證明。（Liebeck 1966）

1. ${\vec {y}}\cdot {\vec {y}}={\vec {0}}$ 當且僅當 ${\vec {y}}={\vec {0}}$.
2. $A{\vec {x}}={\vec {0}}$ 當且僅當 ${{A}^{\rm {trans}}}A{\vec {x}}={\vec {0}}$.
3. $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}({{A}^{\rm {trans}}}A))$.
4. ${\text{col rank}}(A)={\text{col rank}}({{A}^{\rm {trans}}})={\text{row rank}}(A)$.

問題 24

證明（其中 $A$ 是一個 $n\!\times \!n$ 矩陣，因此定義了任何 $n$ 維空間 $V$ 關於 $B,B$ 的變換，其中 $B$ 是一個基底）$\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$。結論

1. ${\mathcal {N}}(A)\subset {\mathcal {R}}(A)$ 當且僅當 $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))-\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$；
2. ${\mathcal {R}}(A)\subseteq {\mathcal {N}}(A)$ 當且僅當 $A^{2}=0$；
3. ${\mathcal {R}}(A)={\mathcal {N}}(A)$ 當且僅當 $A^{2}=0$ 且 $\dim({\mathcal {N}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A))$ ;
4. $\dim({\mathcal {R}}(A)\cap {\mathcal {N}}(A))=0$ 當且僅當 $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$ ;
5. (需要直接和部分，該部分是可選的。) $V={\mathcal {R}}(A)\oplus {\mathcal {N}}(A)$ 當且僅當 $\dim({\mathcal {R}}(A))=\dim({\mathcal {R}}(A^{2}))$.

(Ackerson 1955)

解決方案

參考文獻

• Ackerson, R. H. (1955), "關於向量空間的註記", 美國數學月刊, 美國數學學會, 62 (10): 721 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (help).
• Liebeck, Hans. (1966), "矩陣列秩和行秩相等性的證明", 美國數學月刊, 美國數學學會, 73 (10): 1114 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (help).
• 威廉·洛厄爾·普特南數學競賽，1990 年，A-5 題。