線性代數/OLD/向量空間

向量空間是一種對向量集合的概念進行推廣的方式。例如，複數 2+3i 可以被看作是一個向量，因為它在某種程度上是向量 ${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ .

向量空間是這些抽象物件的“空間”，我們稱這些物件為“向量”。

一些熟悉的朋友

目前在我們對向量的研究中，我們已經研究了具有實數項的向量： $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},...,\mathbb {R} ^{n}$ ，等等。這些都是向量空間。在抽象到向量空間中，我們獲得的優勢是一種討論空間的方式，而無需對任何特定的物件（定義我們的向量）、運算（作用於我們的向量）或座標（在空間中識別我們的向量）進行選擇。進一步的結果可以應用於可能具有無限維度的更一般的空間，例如在泛函分析中。

符號和概念

我們像以前一樣用粗體寫向量，但你應該在紙上用下劃線或在頂部加一個箭頭來寫這些向量。因此，我們寫 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 來表示那個向量。

當我們用一個標量數乘以一個向量時，我們通常用希臘字母來表示它，用 λv 來表示 v 乘以標量 λ。我們像以前一樣寫向量的加法和減法，x+y 表示向量 x 和 y 的和。

有了標量乘法和向量加法，我們就可以轉向對向量空間的定義。

當我們提到一個運算在一個定義中是“封閉”的時候，我們是在說這個運算的結果沒有違反我們的定義。例如，如果我們正在檢視所有整數的集合，我們可以說它在加法下是封閉的，因為任何整數的加法都得到的是整數集合中的元素。但是整數的集合在除法下不是封閉的，因為 3 除以 2（例如）的結果就不是整數集合的成員。

定義

向量空間是一個非空集合 V，它包含稱為向量的物件，在該集合上定義了兩種運算，分別稱為向量加法和標量乘法，使得對於 $x,y\in V$ 和 α $\in F$ ，其中 F 是一個域，x+y 和 αx 是 V 中定義良好的元素，具有以下性質

加法的交換律：x+y=y+x
加法的結合律：x+(y+z)=(x+y)+z
加法單位元：存在一個向量 0 使得對於所有 x，0+x=x
加法逆元：對於每個向量 x，存在另一個向量 y 使得 x+y =0

標量結合律：α(βx) = (αβ)x
標量分配律：(α + β)x=αx+βx
向量分配律：α(x+y)=αx+αy
標量單位元：1x=x

另一種定義

熟悉群論和域論的人可能會發現以下替代定義更簡潔

$(V,+)$ 是一個阿貝爾群.
$\forall \alpha \in F,(\forall x,y\in V),\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x)$
$\forall x\in V,1x=x$

一些基本定理

零向量是唯一的。
證明：設 0₁ 和 0₂ 都是零向量。那麼 0₁=0₁+0₂=0₂。
加法逆元是唯一的。
證明：假設存在 x 和 y₁ 以及 y₂。是 x 的逆元，那麼 y₁=y₁+(x+y₂)=(y₁+x)+y₂=y₂。
0x=0。
證明：設 y 是 x 的加法逆元。那麼 0x= 0x + x + y = (0+1)x + y = x+y=0。
(-1)x 是 x 的逆元。
證明：x+(-1)x=(1-1)x=0x=0。

線性空間

線性空間是一個非常重要的向量空間。設 n₁, n₂, n₃, ..., n_k 是域 F 中的 k 個元素。那麼有序 k 元組 (n₁, n₂, n₃, ..., n_k) 構成一個向量空間，其中加法是對應數字的和，而 F 中元素的標量乘法是將 k 元組中的每個元素乘以該元素的結果。這就是 k 維線性空間。

子空間

子空間是向量空間中的一個向量空間。當我們研究各種向量空間時，檢查它們的子空間通常很有用。

向量空間 V 的子空間 S 意味著 S 是 V 的子集，並且它具有以下關鍵特徵

S 在標量乘法下封閉：如果 λ∈R，v∈S，λv∈S
S 在加法下封閉：如果 u, v ∈ S，u+v∈S。

任何具有這些特徵的子集都是一個向量空間。

平凡子空間

包含零向量的單元素集 ({0}) 是每個向量空間的子空間。

標量乘法封閉: a 0=0 對於 R 中的所有 a

加法封閉: 0+0=0。由於 0 是該集合中唯一的成員，因此我們只需要檢查 0

零向量: 0 是該集合中唯一的成員，它是零向量。

例子

讓我們檢查一些熟悉向量空間的子空間，並看看如何證明向量空間的某個子集實際上是子空間。

一個稍微不平凡的子空間

在 R² 中，所有來自 R² 的形式為 (0,α) 的向量的集合 V，其中 α 在 R 中，是一個子空間

標量乘法封閉: a (0,α) = (0,a α) 並且 a α 在 R 中

加法封閉: (0,α) +(0,β) =(0, α + β) 並且 α + β 在 R 中

零向量: 在我們的 (0, α) 定義中，將 α 設為零，我們在 V 中得到零向量 (0,0)

一整個子空間族

從 R 中選擇一個數字，比如 ρ。那麼形式為 (α, ρα) 的所有向量的集合 V 是 R² 的子空間

標量乘法封閉: a (α, ρα) = (aα, ρaα)，它在 V 中。

加法封閉: (α, ρα) +(β, ρβ) =(α + β, ρα + ρβ) = (α+β, ρ(α+β))，它在 V 中

零向量: 在我們的定義中，將 α 設為零，我們得到 (0, ρ0) = (0,0) 在 V 中。

這意味著 V₂ = 形式為 (α,2α) 的所有向量的集合是 R² 的子空間

並且 V₃ = 形式為 (α,3α) 的所有向量的集合是 R² 的子空間

並且 V₄ = 形式為 (α,4α) 的所有向量的集合是 R² 的子空間

並且 V₅ = 形式為 (α,5α) 的所有向量的集合是 R² 的子空間

並且 V_π = 形式為 (α,πα) 的所有向量的集合是 R² 的子空間

並且 V_√2 = 形式為 $(\alpha ,{\sqrt {2}}\alpha )$ 的所有向量的集合是 R² 的子空間

正如您所看到的，即使是一個像 R² 這樣簡單的向量空間，也可以有許多不同的子空間。

線性組合、生成空間和生成集、線性相關性和線性無關性

線性組合

定義：假設 $V$ 是一個域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空間*，且 $S$ 是 $V$ 的一個非空子集。那麼一個向量 $x\in V$ 被稱為 $S$ 的元素的 **線性組合**，如果存在有限數量的元素 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in S$ 和 $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F$ 使得 $x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...a_{n}y_{n}$ .

張成

定義：假設 $V$ 是一個域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空間*。所有 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V$ 的線性組合的集合被稱為 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的 **張成**。這有時用 $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ 表示。

請注意， $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V)$ 是 $V$ 的一個子空間。

證明：考慮兩個向量 x 和 y 在向量 ${v_{1},v_{2},...,v_{n}}.$ 的生成空間中的加法和標量乘法封閉性。

$x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}$

$y=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+...+b_{n}v_{n}$

$x+y=(a_{1}+b_{1})*v_{1}+(a_{2}+b_{2})*v_{2}+...+(a_{n}+b_{n})*v_{n}$ ，它也包含在該集合中。

$k*x=(k*a_{1})v_{1}+(k*a_{2})v_{2}+...+(k*a_{n})v_{n}$ ，它也包含在該集合中。

生成集

定義：假設 $V$ 是域 $(F,+,\cdot )$ 上的向量空間， $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 是該向量空間中的向量。集合 ${y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ 是向量空間 $V$ 的生成集當且僅當 $V$ 中的每個向量都是 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的線性組合。或者， $\forall x\in V,(\exists a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F),x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{n}y_{n}$

線性無關

定義：假設 $V$ 是域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空間*，而 $S=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是 $V$ 的有限子集。那麼我們稱 $S$ 線性無關，如果 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...a_{n}x_{n}=0$ 意味著 $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0$ 。