線性代數/直線上的正交投影/解答

解答

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問題 1

將第一個向量正交投影到由第二個向量所跨越的直線上。

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}$

解答

每個都是定義 1.1中公式的直接應用。

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\frac {4}{13}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12/13\\-8/13\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\frac {2}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\frac {-1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/6\\-1/3\\1/6\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$

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問題 2

將向量正交投影到直線上。

${\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}},\{c{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$ , 直線 $y=3x$

解答

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}={\frac {-19}{19}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-1\\3\end{pmatrix}}$
將這條直線寫成 $\{c\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 的形式，可以得到該投影。
${\frac {{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\frac {-4}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\-6/5\end{pmatrix}}$

問題 3

雖然定義 1.1 的發展是由圖形引導的，但我們並不侷限於可以繪製的空間。在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中將該向量投影到該直線上。

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\qquad \ell =\{c\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}

解答

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\frac {3}{4}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\\-3/4\\3/4\end{pmatrix}}$

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問題 4

定義 1.1 使用兩個向量 ${\vec {s}}$ 和 ${\vec {v}}$ 。考慮 $\mathbb {R} ^{2}$ 的變換，它固定了

{\vec {s}}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

並將 ${\vec {v}}$ 投影到 ${\vec {s}}$ 的生成線的線上。將它應用於這些向量。

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$

證明一般來說投影變換是這樣的。

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}(x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+9x_{2})/10\end{pmatrix}}

用矩陣表示此變換的動作。

解答

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/2\\1/2\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{5}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6/5\\2/5\end{pmatrix}}$

一般來說，投影是這樣的。

{\frac {{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {3x_{1}+x_{2}}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(9x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+x_{2})/10\end{pmatrix}}

合適的矩陣是這樣的。

{\begin{pmatrix}9/10&3/10\\3/10&1/10\end{pmatrix}}

問題 5

例 1.5 暗示投影將 ${\vec {v}}$ 分解成兩個部分， ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ 和 ${\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ ，它們是“不相互作用的”。回想一下，這兩個是正交的。證明任何兩個非零正交向量構成一個線性無關集。

解答

假設 ${\vec {v}}_{1}$ 和 ${\vec {v}}_{2}$ 是非零且正交的。考慮線性關係 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ 。將等式兩邊與 ${\vec {v}}_{1}$ 做點積，得到

{\vec {v}}_{1}\cdot (c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot 0=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})

等於 ${\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ 。假設 ${\vec {v}}_{1}$ 非零，這表明 $c_{1}$ 為零。證明 $c_{2}$ 為零的過程類似。

問題 6

如果 ${\vec {v}}$ 是直線上的一個點，那麼 ${\vec {v}}$ 在直線上的正交投影是什麼？
證明如果 ${\vec {v}}$ 不在直線上，那麼集合 $\{{\vec {v}},{\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})\}$ 是線性無關的。

解答

如果向量 ${\vec {v}}\,$ 在直線上，則其正交投影為 ${\vec {v}}$ 。為了透過計算驗證這一點，請注意，由於 ${\vec {v}}\,$ 在直線上，我們有 ${\vec {v}}=c_{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,$ ，其中 $c_{\vec {v}}$ 是一個標量。
${\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}={\frac {c_{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}=c_{\vec {v}}\cdot {\frac {{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}=c_{\vec {v}}\cdot 1\cdot {\vec {s}}={\vec {v}}$
(備註。如果我們假設 ${\vec {v}}\,$ 是非零向量，則上面的公式在取 ${\vec {s}}\,$ 為 ${\vec {v}}$ 後會簡化為。
對於投影 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})$ ，寫出 $c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ 。注意，根據假設 ${\vec {v}}$ 不在直線上， ${\vec {v}}$ 和 ${\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ 都不為零。同樣地，如果 $c_{\vec {p}}\,$ 為零，那麼我們實際上考慮的是單元素集 $\{{\vec {v}}\,\}$ ，且 ${\vec {v}}$ 不為零，該集合必然是線性無關的。因此，我們只需要考慮 $c_{\vec {p}}$ 不為零的情況。建立一個線性關係
$a_{1}({\vec {v}})+a_{2}({\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}})={\vec {0}}$
這導致了方程 $(a_{1}+a_{2})\cdot {\vec {v}}=a_{2}c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}$ 。因為 ${\vec {v}}\,$ 不在直線上，標量 $a_{1}+a_{2}$ 和 $a_{2}c_{\vec {p}}$ 都必須為零。情況 $c_{\vec {p}}=0$ 在上面已經處理過了，所以剩下的情況是 $a_{2}=0$ ，這說明 $a_{1}=0$ 也是。因此，該集合是線性無關的。

問題 7

定義 1.1 要求 ${\vec {s}}\,$ 不為零。為什麼？向量在零向量所跨越的（退化的）直線上的正交投影的正確定義是什麼？

解答

如果 ${\vec {s}}\,$ 是零向量，則表示式

{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}

包含一個零除，因此是未定義的。至於正確定義，為了使投影位於零向量的跨度內，它必須被定義為 ${\vec {0}}$ 。

問題 8

所有向量都是某個向量在某條直線上的投影嗎？

解答

在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任何向量都是某個向量在直線上的投影，前提是維度 $n$ 大於 1。（顯然，任何向量都是其自身在包含自身的直線上的投影；問題是要找到除 ${\vec {v}}$ 之外的某個向量，其投影為 ${\vec {v}}$ 。）

Suppose that ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ with $n>1$ . If ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ then we consider the line $\ell =\{c{\vec {v}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ and if ${\vec {v}}={\vec {0}}$ we take $\ell$ to be any (nondegenerate) line at all (actually, we needn't distinguish between these two cases— see the prior exercise). Let $v_{1},\dots ,v_{n}$ be the components of ${\vec {v}}$ ; since $n>1$ , there are at least two. If some $v_{i}$ is zero then the vector ${\vec {w}}={\vec {e}}_{i}$ is perpendicular to ${\vec {v}}$ . If none of the components is zero then the vector ${\vec {w}}\,$ whose components are $v_{2},-v_{1},0,\dots ,0$ is perpendicular to ${\vec {v}}$ . In either case, observe that ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ does not equal ${\vec {v}}$ , and that ${\vec {v}}$ is the projection of ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ onto $\ell$ .

{\frac {({\vec {v}}+{\vec {w}})\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}={\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}+{\frac {{\vec {w}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}{\bigr )}\cdot {\vec {v}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}

我們可以排除剩下的 $n=0$ 和 $n=1$ 的情況。維度 $n=0$ 的情況是平凡的向量空間，這裡只有一個向量，因此它不能表示為另一個向量的投影。在維度 $n=1$ 的情況下，只有一條（非退化的）直線，每個向量都在其中，因此每個向量都只是其自身的投影。

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問題 9

證明 ${\vec {v}}$ 向由 ${\vec {s}}$ 張成的直線上的投影長度等於數字 ${\vec {v}}\cdot {\vec {s}}$ 的絕對值除以向量 ${\vec {s}}$ 的長度。

解答

證明就是一個簡單的計算。

|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|=|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}|\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|^{2}}}\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|}}

習題 10

求點到直線的距離公式。

解答

因為 ${\vec {v}}$ 向由 ${\vec {s}}$ 張成的直線上的投影是

{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}

點到直線的距離平方為（向量自乘 ${\vec {w}}\cdot {\vec {w}}$ 寫成 ${\vec {w}}^{2}$ ）。

{\begin{array}{rl}|{\vec {v}}-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|^{2}&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot ({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}})-({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {v}}+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}\\&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot ({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}})\cdot {\vec {v}}\cdot {\vec {s}}+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}})\cdot {\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\\&={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\,)\cdot ({\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)-2\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}+({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\\&={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\,)({\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)-({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\end{array}}

問題 11

找到標量 $c$ 使得 $(cs_{1},cs_{2})$ 與點 $(v_{1},v_{2})$ 之間的距離最小，使用微積分方法（即，考慮距離函式，將一階導數設定為零，並求解）。將結果推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$ 。

解答

因為平方根是嚴格單調遞增函式，我們可以最小化 $d(c)=(cs_{1}-v_{1})^{2}+(cs_{2}-v_{2})^{2}$ 而不是 $d$ 的平方根。導數是 $dd/dc=2(cs_{1}-v_{1})\cdot s_{1}+2(cs_{2}-v_{2})\cdot s_{2}$ 。將其設定為零 $2(cs_{1}-v_{1})\cdot s_{1}+2(cs_{2}-v_{2})\cdot s_{2}=c\cdot (2s_{1}^{2}+2s_{2}^{2})-(2v_{1}s_{1}+2v_{2}s_{2})=0$ 給出了唯一的臨界點。

c={\frac {v_{1}s_{1}+v_{2}s_{2}}{{s_{1}}^{2}+{s_{2}}^{2}}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}

現在關於 $c$ 的二階導數

{\frac {d^{2}\,d}{dc^{2}}}=2{s_{1}}^{2}+2{s_{2}}^{2}

嚴格為正（只要 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 都不是零，在這種情況下問題是平凡的），因此臨界點是一個最小值。

推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$ 是直截了當的。考慮 $d_{n}(c)=(cs_{1}-v_{1})^{2}+\dots +(cs_{n}-v_{n})^{2}$ ，求導數，等等。

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問題 12

證明向量在一條直線上的正交投影比該向量短。

解答

柯西-施瓦茨不等式 $|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|\leq |{\vec {v}}\,|\cdot |{\vec {s}}\,|$ 說明這個分數

|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|=|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}|\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|^{2}}}\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|}}

除以 $|{\vec {v}}\,|$ 小於或等於 1。也就是說， $|{\vec {v}}\,|$ 大於或等於該分數。

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問題 13

證明在一條直線上進行正交投影的定義不依賴於跨越向量：如果 ${\vec {s}}$ 是 ${\vec {q}}$ 的非零倍數，則 $({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ 等於 $({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}/{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}\,)\cdot {\vec {q}}$ 。

解答

寫下 $c{\vec {s}}$ ，並計算： $({\vec {v}}\cdot c{\vec {s}}/c{\vec {s}}\cdot c{\vec {s}}\,)\cdot c{\vec {s}}=({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ 。

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問題 14

考慮將平面對映到自身上的函式，該函式將向量對映到其在直線 $y=x$ 上的投影。這兩個都表明該對映是線性的，第一個以與座標相關的形式（即，它固定了一個基，然後進行計算），而第二個則更具概念性。

生成一個矩陣來描述該函式的作用。
還表明，該對映可以透過首先將平面上的所有內容順時針旋轉 $\pi /4$ 弧度，然後投影到 $x$ 軸，然後逆時針旋轉 $\pi /4$ 弧度來獲得。

解答

固定
${\vec {s}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
作為跨度為直線的向量，公式給出了此動作。
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\frac {{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {x+y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(x+y)/2\\(x+y)/2\end{pmatrix}}$
這是此矩陣的效果。
${\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&1/2\end{pmatrix}}$
將整個平面順時針旋轉 $\pi /4$ 弧度，將 $y=x$ 直線移動到 $x$ 軸上。現在投影然後再旋轉回來，就達到了預期的效果。

問題 15

For ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ let ${\vec {v}}_{1}$ be the projection of ${\vec {a}}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$ , let ${\vec {v}}_{2}$ be the projection of ${\vec {v}}_{1}$ onto the line spanned by ${\vec {a}}$ , let ${\vec {v}}_{3}$ be the projection of ${\vec {v}}_{2}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$ , etc., back and forth between the spans of ${\vec {a}}$ and ${\vec {b}}$ . That is, ${\vec {v}}_{i+1}$ is the projection of ${\vec {v}}_{i}$ onto the span of ${\vec {a}}$ if $i+1$ is even, and onto the span of ${\vec {b}}$ if $i+1$ is odd. Must that sequence of vectors eventually settle down— must there be a sufficiently large $i$ such that ${\vec {v}}_{i+2}$ equals ${\vec {v}}_{i}$ and ${\vec {v}}_{i+3}$ equals ${\vec {v}}_{i+1}$ ? If so, what is the earliest such $i$ ?