線性代數/正交投影到直線

我們首先考慮正交投影到直線。為了將向量${\vec {v}}$正交投影到直線$\ell$上，標記直線上一個點，站在該點的人能夠直視${\vec {v}}$（從該人的角度看）。

圖片顯示了一個人沿直線行走，直到${\vec {v}}$的頂點直接在頭頂上。也就是說，當直線被描述為非零向量$\ell =\{c\cdot {\vec {s}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$的跨度時，這個人已經走到了找到係數$c_{\vec {p}}\,$的位置，該係數具有屬性${\vec {v}}-c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}\,$正交於$c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}$。

我們可以透過以下方法求解這個係數：注意到，由於${\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ 與${\vec {s}}\,$ 的一個標量倍數正交，它必須與${\vec {s}}\,$ 本身正交，因此，點積$({\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}})\cdot {\vec {s}}\,$ 為零，得出$c_{\vec {p}}={\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}$。

定義 1.1

${\vec {v}}$ 到由非零向量 ${\vec {s}}\,$ 張成的直線上的正交投影 就是這個向量。

${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}{\vec {s}}$

問題 13 檢驗了計算結果僅取決於直線，而不取決於用於描述該直線的向量 ${\vec {s}}\,$。

備註 1.2

該定義的措辭使用了“由 ${\vec {s}}\,$ 張成”，而不是更正式的“集合 $\{{\vec {s}}\,\}$ 的生成”。這種非正式的說法很常見。

示例 1.3

為了將向量 ${\binom {2}{3}}$ 正交投影到直線 $y=2x$ 上，我們首先選擇直線的一個方向向量。例如，

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

就可以。那麼計算就變得很常規了。

${\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\displaystyle {\frac {8}{5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8/5\\16/5\end{pmatrix}}$

示例 1.4

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，一般向量

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

到 $y$ 軸的正交投影是

${\frac {{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}$

這與我們的直觀預期相符。

上面的圖片中，小人沿著直線行走，直到 ${\vec {v}}$ 的頂點在頭頂上，這是一種思考向量在直線上的正交投影的方式。我們用另外兩種方式來結束本小節。

示例 1.5

一輛沒有剎車的火車停放在東西方向的軌道上，被一股向東北方向吹來的時速十五英里的風推動；這輛火車會達到什麼速度？

對於風，我們使用一個長度為 $15$ 的指向東北方向的向量。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}15{\sqrt {1/2}}\\15{\sqrt {1/2}}\end{pmatrix}}$

火車只能受到向東西方向吹的風的影響——即 ${\vec {v}}$ 在 $x$ 軸方向上的分量。它就是這個（圖片與上面火車圖片的視角相同）。

$\displaystyle {\vec {p}}={\begin{pmatrix}15{\sqrt {1/2}}\\0\end{pmatrix}}$

因此，汽車將達到$15{\sqrt {1/2}}$ 英里每小時的速度向東行駛。

因此，另一種思考定義之前圖片的方法是，它顯示了${\vec {v}}$ 被分解為兩個部分，一部分是帶線的（這裡，是帶有軌道的部分，${\vec {p}}$），另一部分則是與線正交的（這裡顯示在南北軸線上）。 這兩個是“不相互作用”或“獨立”的，因為東西方向的汽車不受南北方向的風的影響（見問題 5）。 因此，${\vec {v}}$ 到由${\vec {s}}\,$ 張成的直線的正交投影可以被認為是${\vec {v}}\,$ 在${\vec {s}}$ 方向上的部分。

最後，另一種理解正交投影的有用方法是讓人不要站在直線上，而是站在要投影到直線的向量上。這個人有一條繩子跨過直線，然後拉緊繩子，自然地使繩子與直線正交。

也就是說，我們可以將投影${\vec {p}}\,$ 視為直線上最接近${\vec {v}}$ 的向量（見問題 11）。

示例 1.6

一艘潛艇正在追蹤一艘沿直線$y=3x+2$ 行駛的船隻。魚雷射程為半英里。潛艇可以停留在圖表中所示的原點，還是必須移動到船隻會在射程內經過的地方？

投影到直線的公式不能直接應用，因為直線沒有透過原點，所以不是任何${\vec {s}}$ 的跨度。為了調整這一點，我們首先將整個地圖向下移動兩個單位。現在，這條直線是$y=3x$，這是一個子空間，我們可以投影得到最近點${\vec {p}}$，即透過原點的直線上最接近於

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}$

潛艇的偏移位置。

${\vec {p}}={\frac {{\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/5\\-9/5\end{pmatrix}}$

${\vec {v}}$ 和 ${\vec {p}}$ 之間的距離約為 $0.63$ 英里，因此潛艇必須移動才能進入射程。

本小節已經開發了一個自然投影對映：到直線的正交投影。正如示例所示，它在應用中經常用到。下一小節將展示到直線的正交投影定義如何為我們提供了一種計算向量空間的特別方便的基的方法，這在應用中也很常見。最後一個小節將完全概括到任何子空間的投影，無論是正交的還是非正交的。

練習

推薦所有讀者練習這道題。

問題 1

將第一個向量正交投影到由第二個向量跨越的直線上。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}$

推薦所有讀者練習這道題。

問題 2

將向量正交投影到直線上。

1. ${\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}},\{c{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$, 直線 $y=3x$

問題 3

雖然 定義 1.1 的發展是根據圖片進行的，但我們並不侷限於可以繪製的空間。在 $\mathbb {R} ^{4}$ 中將該向量投影到該直線上。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\qquad \ell =\{c\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

推薦所有讀者練習這道題。

問題 4

定義 1.1 使用了兩個向量 ${\vec {s}}$ 和 ${\vec {v}}$。考慮 $\mathbb {R} ^{2}$ 的變換，該變換固定

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

並將 ${\vec {v}}$ 投影到 ${\vec {s}}$ 的跨度形成的直線上。將它應用於這些向量。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$

證明一般情況下，投影變換是這個。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}(9x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+x_{2})/10\end{pmatrix}}$

用矩陣表示該變換的作用。

問題 5

示例 1.5 表明將投影分解為 ${\vec {v}}$ 的兩個部分， ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ 和 ${\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$，它們是“不相互作用的”。回顧一下，這兩個向量是正交的。證明任意兩個非零正交向量構成一個線性無關集。

問題 6

1. 如果 ${\vec {v}}$ 是該直線上的一個向量，那麼 ${\vec {v}}$ 到直線的正交投影是什麼？
2. 證明如果 ${\vec {v}}$ 不在直線上，那麼集合 $\{{\vec {v}},{\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})\}$ 是線性無關的。

問題 7

定義 1.1 要求 ${\vec {s}}\,$ 為非零向量。為什麼？向量到由零向量所跨越的（退化）直線的正交投影的正確定義是什麼？

問題 8

所有向量都是某個向量到某條直線的投影嗎？

推薦所有讀者練習這道題。

問題 9

證明 ${\vec {v}}$ 到由 ${\vec {s}}$ 所跨越的直線的投影的長度等於數字 ${\vec {v}}\cdot {\vec {s}}$ 的絕對值除以向量 ${\vec {s}}$ 的長度。

問題 10

求點到直線的距離公式。

問題 11

找到標量 $c$ 使得 $(cs_{1},cs_{2})$ 到點 $(v_{1},v_{2})$ 的距離最小，使用微積分方法（即考慮距離函式，將一階導數設為零，然後求解）。將其推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$.

推薦所有讀者練習這道題。

問題 12

證明向量在直線上的正交投影比向量本身短。

推薦所有讀者練習這道題。

問題 13

證明在直線上的正交投影定義與生成向量無關：如果 ${\vec {s}}$ 是 ${\vec {q}}$ 的非零倍數，那麼 $({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ 等於 $({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}/{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}\,)\cdot {\vec {q}}$.

推薦所有讀者練習這道題。

問題 14

考慮將平面對映到自身的函式，該函式將向量對映到其在直線 $y=x$ 上的投影。這兩個都表明對映是線性的，第一個是與座標相關的（即它固定了一個基，然後計算），而第二個是更概念性的。

1. 生成一個矩陣來描述該函式的作用。
2. 同時說明該對映可以透過先將平面上的所有點順時針旋轉 $\pi /4$ 弧度，然後投影到 $x$ 軸，然後逆時針旋轉 $\pi /4$ 弧度而得到。

問題 15

For ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ let ${\vec {v}}_{1}$ be the projection of ${\vec {a}}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$, let ${\vec {v}}_{2}$ be the projection of ${\vec {v}}_{1}$ onto the line spanned by ${\vec {a}}$, let ${\vec {v}}_{3}$ be the projection of ${\vec {v}}_{2}$ onto the line spanned by ${\vec {b}}$, etc., back and forth between the spans of ${\vec {a}}$ and ${\vec {b}}$. That is, ${\vec {v}}_{i+1}$ is the projection of ${\vec {v}}_{i}$ onto the span of ${\vec {a}}$ if $i+1$ is even, and onto the span of ${\vec {b}}$ if $i+1$ is odd. Must that sequence of vectors eventually settle down— must there be a sufficiently large $i$ such that ${\vec {v}}_{i+2}$ equals ${\vec {v}}_{i}$ and ${\vec {v}}_{i+3}$ equals ${\vec {v}}_{i+1}$? If so, what is the earliest such $i$?

解答