線性代數/量詞

比較關於自然數的這兩個陳述：“存在一個 $x$ 使得 $x$ 能被 $x^{2}$ 整除”是正確的，而“對於所有數字 $x$，$x$ 能被 $x^{2}$ 整除”是錯誤的。 我們稱“存在”和“對於所有”的字首為量詞。

對於所有

“對於所有”字首是全稱量詞，用符號 $\forall$ 表示。

韋恩圖對於量詞幫助不大，但在某種意義上，我們繪製的包圍圖表的框顯示了全稱量詞，因為它描繪了所有可能成員的宇宙。

要證明一個陳述在所有情況下都成立，我們必須證明它在每種情況下都成立。因此，要證明“所有能被 $p$ 整除的數的平方都能被 $p^{2}$ 整除”，我們取一個形式為 $pn$ 的單個數字，並將其平方 $(pn)^{2}=p^{2}n^{2}$。這是一種“典型元素”或“通用元素”證明。

這種論證要求我們小心，不要假設該元素具有除了假設中的那些性質以外的任何其他性質——例如，這種錯誤的論證是一個常見的錯誤：“如果 $n$ 能被素數整除，比如 $2$，因此 $n=2k$ 那麼 $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$，數字的平方能被素數的平方整除”。這是一種關於 $p=2$ 的情況的論證，但它不是對一般 $p$ 的證明。

存在

我們還將使用存在量詞，用符號 $\exists$ 表示，讀作“存在”。

如上所述，文氏圖對於量詞並沒有太大幫助，但“存在一個數使得 $P$" 的圖示將同時顯示出可以存在多個這樣的數，並且並非所有數都需要滿足 $P$。

存在命題可以透過提供滿足該性質的事物來證明：例如，為了確定 $2^{2^{5}}+1$ 的素性問題，尤拉給出了它的因數 $641$。但也有證明表明某事物存在，而無需說明如何找到它；下一節中給出的歐幾里得的論證表明存在無限多個素數，而無需命名它們。總的來說，雖然證明存在比什麼都沒有好，但給出例子更好，而提供所有例項的詳盡列表則是最好的。儘管如此，數學家們會盡可能地獲取他們能得到的東西。

最後，除了“是否存在？”之外，我們通常還會問“有多少？”這就是為什麼唯一性問題通常與存在性問題相關聯的原因。許多時候，如果將這兩個論證分開，它們會更容易理解，因此需要注意的是，就像證明某事物存在並不意味著它唯一一樣，證明某事物唯一也並不意味著它存在。（顯然，“擁有比任何其他自然數都多的因數的自然數”將是唯一的，但實際上不存在這樣的數。）