線性代數/行和列運算

基本行運算

有三種基本行運算

1. 替換
2. 交換
3. 縮放

以下是三種不同運算的解釋和示例。在線性方程組這一章節中，我們已經使用過所有這些運算，除了縮放。

需要記住的一點是，所有運算都可以應用於所有矩陣，而不僅僅是應用於線性系統派生的矩陣。

替換

用自身加上另一行乘以一個倍數來替換一行。對行替換的更常見的說法是“將另一行乘以一個倍數加到一行”。

例如，我們得到一個線性系統

$x_{1}+4x_{2}=3$

$2x_{1}+2x_{2}=4$

這可以寫成矩陣形式，作為一個增廣矩陣，像這樣

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\2&&2&&4\end{bmatrix}}$

現在我們決定消除方程 2 中的$x_{1}$ 項；這可以透過將方程 1 乘以 -2 加到方程 2 來實現

${\begin{matrix}-2*[equation\ 1]:&-2x_{1}-8x_{2}=-6\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {2x_{1}+2x_{2}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&-6x_{2}=-2\end{matrix}}$

這給我們矩陣

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\0&&-6&&-2\end{bmatrix}}$

交換

交換兩行。

例如，我們得到矩陣

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

這裡我們對兩行進行了交換運算。

${\begin{bmatrix}2&&3&&1\\1&&2&&3\end{bmatrix}}$

當您嘗試求解一個線性系統，並發現透過交換兩行來求解會更容易時，這是一個有用的運算。這是一個廣泛使用的運算，即使它看起來很奇怪，而且不常用。

縮放

將一行中的所有元素乘以一個非零常數。

例如，我們得到矩陣

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

現在，透過乘以 -2 對第一行進行了縮放運算

${\begin{bmatrix}-2&&-4&&-6\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$