線性代數/求和與標量積/解答

解答

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問題 1

如果定義，請執行指示的操作。

1. ${\begin{pmatrix}5&-1&2\\6&1&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$
2. $6\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&2&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}$
4. $4{\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-1&4\\-2&1\end{pmatrix}}$
5. $3{\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$

解答

1. ${\begin{pmatrix}7&0&6\\9&1&6\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}12&-6&-6\\6&12&18\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\0&6\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}-1&28\\2&1\end{pmatrix}}$
5. 未定義。

問題 2

證明定理 1.5。

1. 證明矩陣加法表示線性對映的加法。
2. 證明矩陣標量乘法表示線性對映的標量乘法。

解答

以通常的方式表示域向量 ${\vec {v}}\in V$ 和對映 $g,h:V\to W$，相對於基底 $B,D$。

1. $(g+h)\,({\vec {v}})=g({\vec {v}})+h({\vec {v}})$ 的表示

   ${\bigl (}(g_{1,1}v_{1}+\dots +g_{1,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{1}+\cdots +(g_{m,1}v_{1}+\dots +g_{m,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{m}{\bigr )}$

   $+{\bigl (}(h_{1,1}v_{1}+\cdots +h_{1,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{1}+\cdots +(h_{m,1}v_{1}+\dots +h_{m,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{m}{\bigr )}$

   重新分組

   $=((g_{1,1}+h_{1,1})v_{1}+\dots +(g_{1,1}+h_{1,n})v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\cdots +((g_{m,1}+h_{m,1})v_{1}+\dots +(g_{m,n}+h_{m,n})v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}$

   等於 $g({\vec {v}})$ 和 $h({\vec {v}})$ 表示的逐項加和。
2. $(r\cdot h)\,({\vec {v}})=r\cdot {\bigl (}h({\vec {v}}){\bigr )}$ 的表示

   $r\cdot {\bigl (}(h_{1,1}v_{1}+h_{1,2}v_{2}+\dots +h_{1,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{1}+\dots +(h_{m,1}v_{1}+h_{m,2}v_{2}+\dots +h_{m,n}v_{n}){\vec {\delta }}_{m}{\bigr )}$

   $=(rh_{1,1}v_{1}+\dots +rh_{1,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +(rh_{m,1}v_{1}+\dots +rh_{m,n}v_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}$

   是 $r$ 與 $h$ 的表示的逐項乘積。

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問題 3

證明每個，其中操作定義，$G$，$H$，和 $J$ 是矩陣，$Z$ 是零矩陣，$r$ 和 $s$ 是標量。

1. 矩陣加法是交換律的 $G+H=H+G$.
2. 矩陣加法是結合律的 $G+(H+J)=(G+H)+J$.
3. 零矩陣是加法單位元 $G+Z=G$.
4. $0\cdot G=Z$
5. $(r+s)G=rG+sG$
6. 矩陣有加法逆元 $G+(-1)\cdot G=Z$.
7. $r(G+H)=rG+rH$
8. $(rs)G=r(sG)$

解答

首先，很容易逐個元素驗證這些性質。例如，寫出

$G={\begin{pmatrix}g_{1,1}&\ldots &g_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\g_{m,1}&\ldots &g_{m,n}\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\h_{m,1}&\ldots &h_{m,n}\end{pmatrix}}$

那麼，根據定義，我們有

$G+H={\begin{pmatrix}g_{1,1}+h_{1,1}&\ldots &g_{1,n}+h_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\g_{m,1}+h_{m,1}&\ldots &g_{m,n}+h_{m,n}\end{pmatrix}}\qquad H+G={\begin{pmatrix}h_{1,1}+g_{1,1}&\ldots &h_{1,n}+g_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\h_{m,1}+g_{m,1}&\ldots &h_{m,n}+g_{m,n}\end{pmatrix}}$

兩者相等，因為它們的元素相等 $g_{i,j}+h_{i,j}=h_{i,j}+g_{i,j}$。也就是說，每個性質都很容易透過使用 定義 1.3 來驗證。

然而，每個性質也容易從代表對映的角度理解，可以透過應用 定理 1.5 以及定義。

1. 兩個對映 $g+h$ 和 $h+g$ 相等，因為 $g({\vec {v}})+h({\vec {v}})=h({\vec {v}})+g({\vec {v}})$，因為加法在任何向量空間中都是可交換的。由於對映相同，它們必須具有相同的代表。
2. 與上一個答案類似，只是這裡應用了向量空間加法是結合律的。
3. 如前所述，但這裡我們注意到 $g({\vec {v}})+z({\vec {v}})=g({\vec {v}})+{\vec {0}}=g({\vec {v}})$.
4. 應用 $0\cdot g({\vec {v}})={\vec {0}}=z({\vec {v}})$.
5. 應用 $(r+s)\cdot g({\vec {v}})=r\cdot g({\vec {v}})+s\cdot g({\vec {v}})$.
6. 將前兩條應用於 $r=1$ 和 $s=-1$.
7. 應用 $r\cdot (g({\vec {v}})+h({\vec {v}}))=r\cdot g({\vec {v}})+r\cdot h({\vec {v}})$.
8. 應用 $(rs)\cdot g({\vec {v}})=r\cdot (s\cdot g({\vec {v}}))$.

問題 4

固定定義域和陪域空間。通常，同一個矩陣可以根據不同的基表示不同的對映。但是，證明零矩陣只表示零對映。還有其他這樣的矩陣嗎？

解答

對於任何 $V,W$ 以及其基 $B,D$，（適當大小的）零矩陣表示該對映。

${\vec {\beta }}_{1}\mapsto 0\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +0\cdot {\vec {\delta }}_{m}\quad \cdots \quad {\vec {\beta }}_{n}\mapsto 0\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\dots +0\cdot {\vec {\delta }}_{m}$

這是零對映。

沒有其他矩陣能表示唯一一個對映。因為，假設 $H$ 不是零矩陣。那麼它有一個非零元素；假設 $h_{i,j}\neq 0$。關於基底 $B,D$，它表示 $h_{1}:V\to W$，它將

${\vec {\beta }}_{j}\mapsto h_{1,j}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{i,j}{\vec {\delta }}_{i}+\dots +h_{m,j}{\vec {\delta }}_{m}$

並且關於 $B,2\cdot D$，它也表示 $h_{2}:V\to W$，它將

${\vec {\beta }}_{j}\mapsto h_{1,j}\cdot (2{\vec {\delta }}_{1})+\dots +h_{i,j}\cdot (2{\vec {\delta }}_{i})+\dots +h_{m,j}\cdot (2{\vec {\delta }}_{m})$

(符號 $2\cdot D$ 意味著將 D 中的所有成員都乘以 2)。這些對映很容易被證明是不相等的。

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問題 5

令 $V$ 和 $W$ 是維度分別為 $n$ 和 $m$ 的向量空間。證明空間 $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ (從 $V$ 到 $W$ 的線性對映) 與 ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ 同構。

解答

為 $V$ 和 $W$ 固定基底 $B$ 和 $D$，並考慮 ${\mbox{Rep}}_{B,D}:\mathop {\mathcal {L}} (V,W)\to {\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$，將每個線性對映與表示該對映的矩陣相關聯 $h\mapsto {\rm {Rep}}_{B,D}(h)$。從上一節我們知道（在固定基底的情況下）矩陣對應於線性對映，因此表示對映是一對一的且滿射。它保持線性運算由 定理 1.5給出。

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問題 6

證明從前面的問題可以得出，對於任意六個變換 $t_{1},\dots ,t_{6}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，存在標量 $c_{1},\dots ,c_{6}\in \mathbb {R}$ 使得 $c_{1}t_{1}+\dots +c_{6}t_{6}$ 是零對映。（提示：這是一個有點誤導性的問題。）

解答

固定基底並用 $2\!\times \!2$ 矩陣表示變換。矩陣空間 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的維度為四，因此上述六元素集合線性相關。根據之前的練習，這種相關性可以推廣到對映的相關性。(誤導之處在於變換隻有六個，而不是五個，因此我們有比需要更多的變換來證明相關性的存在。)

問題 7

方陣的跡是指主對角線上的元素之和（$1,1$ 元素加上 $2,2$ 元素，等等；我們將在第五章看到跡的意義)。證明 ${\mbox{trace}}(H+G)={\mbox{trace}}(H)+{\mbox{trace}}(G)$。對於標量乘法，是否存在類似的結果？

解答

和的跡等於跡的和是因為 ${\text{trace}}(H+G)$ 和 ${\text{trace}}(H)+{\text{trace}}(G)$ 都是 $h_{1,1}+g_{1,1}$ 與 $h_{2,2}+g_{2,2}$ 等等的和。對於標量乘法，我們有 ${\mbox{trace}}(r\cdot H)=r\cdot {\mbox{trace}}(H)$；證明很簡單。因此，跡對映是從 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 到 $\mathbb {R}$ 的同態。

問題 8

回顧一下，矩陣 $M$ 的轉置是另一個矩陣，它的 $i,j$ 項是 $j,i$ 項 $M$。驗證這些恆等式。

1. ${{(G+H)}^{\rm {trans}}}={{G}^{\rm {trans}}}+{{H}^{\rm {trans}}}$
2. ${{(r\cdot H)}^{\rm {trans}}}=r\cdot {{H}^{\rm {trans}}}$

解答

1. $i,j$ 項 ${{(G+H)}^{\rm {trans}}}$ 是 $g_{j,i}+h_{j,i}$。這也是 $i,j$ 項 ${{G}^{\rm {trans}}}+{{H}^{\rm {trans}}}$。
2. $i,j$ 項 ${{(r\cdot H)}^{\rm {trans}}}$ 是 $rh_{j,i}$，這也是 $i,j$ 項 $r\cdot {{H}^{\rm {trans}}}$。

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問題 9

如果每個 $i,j$ 項等於 $j,i$ 項，也就是說，如果矩陣等於它的轉置，那麼一個方陣是對稱的。

1. 證明對於任何 $H$，矩陣 $H+{{H}^{\rm {trans}}}$ 是對稱的。每個對稱矩陣都有這種形式嗎？
2. 證明 $n\!\times \!n$ 對稱矩陣的集合是 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 的子空間。

解答

1. 對於 $H+{{H}^{\rm {trans}}}$，$i,j$ 項是 $h_{i,j}+h_{j,i}$，$j,i$ 項是 $h_{j,i}+h_{i,j}$。這兩個相等，因此 $H+{{H}^{\rm {trans}}}$ 是對稱的。每個對稱矩陣都有這種形式，因為它可以寫成 $H=(1/2)\cdot (H+{{H}^{\rm {trans}}})$。
2. 對稱矩陣的集合非空，因為它包含零矩陣。顯然，對稱矩陣的標量倍數是對稱的。兩個對稱矩陣的和 $H+G$ 是對稱的，因為 $h_{i,j}+g_{i,j}=h_{j,i}+g_{j,i}$（因為 $h_{i,j}=h_{j,i}$ 並且 $g_{i,j}=g_{j,i}$）。因此子集是非空且在繼承的操作下是封閉的，所以它是一個子空間。

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問題 10

1. 矩陣秩如何與標量乘法互動 - 秩為 $n$ 的矩陣的標量積是否可以小於 $n$？大於？
2. 矩陣秩如何與矩陣加法互動？秩為$n$ 的矩陣之和可以有小於$n$ 的秩嗎？大於呢？

解答

1. 標量乘法不會改變矩陣的秩，除非乘以零，這會導致矩陣的秩為零。（這從書中的第一個定理得出，即用非零標量乘以一行不會改變相關線性方程組的解集。）
2. 秩為$n$ 的矩陣之和可以有小於$n$ 的秩。例如，對於任何矩陣$H$，和$H+(-1)\cdot H$ 的秩為零。秩為$n$ 的矩陣之和可以有大於$n$ 的秩。以下是秩為一的矩陣，它們相加得到秩為二的矩陣。

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$