線性代數/求和與標量積

線性代數
← 矩陣運算	求和與標量積	矩陣乘法 →

回顧一下，對於兩個具有相同定義域和陪域的對映 $f$ 和 $g$ ，對映和 $f+g$ 的定義如下。

{\vec {v}}\;{\stackrel {f+g}{\longmapsto }}\;f({\vec {v}})+g({\vec {v}})

最簡單的方法是透過一個例子來理解對映的表示如何結合起來表示對映和。

例1.1

假設 $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 分別用基底 $B$ 和 $D$ 用這些矩陣表示。

F={\rm {Rep}}_{B,D}(f)={\begin{pmatrix}1&3\\2&0\\1&0\end{pmatrix}}_{B,D}\qquad G={\rm {Rep}}_{B,D}(g)={\begin{pmatrix}0&0\\-1&-2\\2&4\end{pmatrix}}_{B,D}

那麼，對於任何用 $B$ 表示的 ${\vec {v}}\in V$ ，計算 $f({\vec {v}})+g({\vec {v}})$ 的表示

{\begin{pmatrix}1&3\\2&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\-1&-2\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1v_{1}+3v_{2}\\2v_{1}+0v_{2}\\1v_{1}+0v_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0v_{1}+0v_{2}\\-1v_{1}-2v_{2}\\2v_{1}+4v_{2}\end{pmatrix}}

給出了 $f+g\,({\vec {v}})$ 的表示形式。

{\begin{pmatrix}(1+0)v_{1}+(3+0)v_{2}\\(2-1)v_{1}+(0-2)v_{2}\\(1+2)v_{1}+(0+4)v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1v_{1}+3v_{2}\\1v_{1}-2v_{2}\\3v_{1}+4v_{2}\end{pmatrix}}

因此， $f+g$ 的運算可以用這個矩陣向量乘積來描述。

{\begin{pmatrix}1&3\\1&-2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}1v_{1}+3v_{2}\\1v_{1}-2v_{2}\\3v_{1}+4v_{2}\end{pmatrix}}_{D}

此矩陣是原始矩陣的逐項加和，例如， $1,1$ 的 ${\rm {Rep}}_{B,D}(f+g)$ 項是 $1,1$ 的 $F$ 項和 $1,1$ 的 $G$ 項的總和。

表示對映的標量倍數的方式相同。

示例 1.2

如果 $t$ 是一個由以下表示的變換：

{\rm {Rep}}_{B,D}(t)={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}_{B,D}\quad {\text{so that}}\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}_{B}\mapsto {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{1}+v_{2}\end{pmatrix}}_{D}=t({\vec {v}})

那麼標量倍數對映 $5t$ 以這種方式作用。

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}_{B}\;\longmapsto \;{\begin{pmatrix}5v_{1}\\5v_{1}+5v_{2}\end{pmatrix}}_{D}=5\cdot t({\vec {v}})

因此，這是表示 $5t$ 的矩陣。

{\rm {Rep}}_{B,D}(5t)={\begin{pmatrix}5&0\\5&5\end{pmatrix}}_{B,D}

定義 1.3

兩個相同大小矩陣的和是它們的逐項加和。矩陣的標量倍數是逐項標量乘法的結果。

備註 1.4

這些擴充套件了我們在第一章中定義的向量加法和標量乘法運算。

定理 1.5

令 $h,g:V\to W$ 是相對於基 $B,D$ 由矩陣 $H$ 和 $G$ 表示的線性對映，並令 $r$ 為一個標量。那麼對映 $h+g:V\to W$ 相對於 $B,D$ 由 $H+G$ 表示，對映 $r\cdot h:V\to W$ 相對於 $B,D$ 由 $rH$ 表示。

證明

問題 2；將以上例子進行推廣。

標量乘法的顯著特例是乘以零。對於任何對映 $0\cdot h$ 是零同態，對於任何矩陣 $0\cdot H$ 是零矩陣。

例 1.6

從任何三維空間到任何二維空間的零對映由 $2\!\times \!3$ 零矩陣表示

Z={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

無論使用哪個定義域和陪域基。

練習

此練習推薦所有讀者完成。

問題 1

執行以下操作，如果定義的話。

${\begin{pmatrix}5&-1&2\\6&1&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$
$6\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&2&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}}$
$4{\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}-1&4\\-2&1\end{pmatrix}}$
$3{\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&5\end{pmatrix}}$

問題 2

證明定理 1.5.

證明矩陣加法代表線性對映的加法。
證明矩陣標量乘法代表線性對映的標量乘法。

此練習推薦所有讀者完成。

問題 3

證明每個，其中運算定義如下，其中 $G$ 、 $H$ 和 $J$ 是矩陣，其中 $Z$ 是零矩陣，其中 $r$ 和 $s$ 是標量。

矩陣加法是可交換的 $G+H=H+G$ .
矩陣加法是結合的 $G+(H+J)=(G+H)+J$ .
零矩陣是加法單位元 $G+Z=G$ .
$0\cdot G=Z$
$(r+s)G=rG+sG$
矩陣有加法逆元 $G+(-1)\cdot G=Z$ .
$r(G+H)=rG+rH$
$(rs)G=r(sG)$

問題 4

固定域和陪域空間。一般來說，一個矩陣可以表示相對於不同基的許多不同的對映。但是，證明零矩陣只表示零對映。還有其他這樣的矩陣嗎？

此練習推薦所有讀者完成。

問題 5

令 $V$ 和 $W$ 是維數分別為 $n$ 和 $m$ 的向量空間。證明空間 $\mathop {\mathcal {L}} (V,W)$ 中從 $V$ 到 $W$ 的線性對映同構於 ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$ .

此練習推薦所有讀者完成。

問題 6

證明根據前幾個問題，對於任何六個變換 $t_{1},\dots ,t_{6}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 都存在標量 $c_{1},\dots ,c_{6}\in \mathbb {R}$ 使得 $c_{1}t_{1}+\dots +c_{6}t_{6}$ 為零對映。(提示：這個問題有點誤導性。)