線性代數/線性方程組

我們將從研究線性方程組開始我們的線性代數學習。這種線性方程在 應用數學 中經常出現，用於對某些現象進行建模。例如，在 線性規劃 中，利潤通常在與勞動力、時間可用性等相關的某些約束條件下最大化。這些約束可以寫成線性方程組的形式。

雖然我們已經學習了本章的內容（參見 代數/方程組），但快速重讀本頁面以更新定義是一個好主意。

線性系統

線性方程組的圖形示例

一個線性方程是一個 方程，其中每個 項 都是一個常數，或是一個常數乘以一個變數的第一次方。這樣的方程等價於將一個 一次多項式 等於零。以下是一些線性方程的例子。

• $x+3y=-4\$
• $7x_{1}=15+x_{2}\$
• $z{\sqrt {2}}+e=\pi \$

術語“線性”來自基礎代數和平面幾何，其中實平面上的直線的代數表示的標準形式是 $ax+by=c$，其中 a、b、c 是實常數，x、y 是實變數。回顧上面的例子會發現每個方程都符合一般形式。

以下不是線性方程

• $xy+7=2\$
• ${\sqrt {x_{1}}}+x_{2}=11$
• $x^{3}=6-12z\$

為了使一個方程成為線性方程，它不必處於標準形式（所有帶有變數的項都在左側）。線性方程中的常數不必是 整數（甚至不必是 有理數）。

線性方程按它們涉及的變數個數進行分類。分類很簡單——一個有n個變數的方程被稱為n個變數的線性方程。如果 n 為 2，則線性方程在幾何上是一條直線，如果 n 為 3，則它是一個平面。一般 n 的幾何形狀有時被稱為仿射超平面。然而，我們將簡單地對所有 n 使用術語n-平面。

為了清晰和簡單起見，n 個變數的線性方程寫成以下形式 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+...+a_{n}x_{n}=b\$，其中 $a_{1},a_{2},...,a_{n}\$ 是常數（稱為係數），而 $b\$ 是常數項。

一個三元線性系統決定了一個 平面 的集合。

一個線性系統（或線性方程組）是由涉及相同變數集的線性方程組成的集合。例如，

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

是一個包含三個變數 $x,y,z\,\!$ 的三個線性方程組。

一個包含 *m* 個線性方程和 *n* 個未知數（或變數）的一般方程組可以寫成

${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

這裡 $x_{1},\ x_{2},...,x_{n}$ 是未知數，$a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}$ 是系統的 *係數*，$b_{1},\ b_{2},...,b_{m}$ 是常數項。

線性方程組的解

一個線性方程的解是指任何一個滿足該線性方程的值的n元組，即$(s_{1},s_{2},....,s_{n})\$。例如，$(-1,-1)\$ 是線性方程 $x+3y=-4\$ 的一個解，因為 $-1+(3\times -1)=-1+(-3)=-4$，但 $(1,5)\$ 不是。

類似地，一個線性方程組的解是指任何一個同時滿足該方程組中所有線性方程的值的 n 元組$(s_{1},s_{2},....,s_{n})\$。

例如，

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

它的解為$(1,-2,-2)\$。這也可以寫成

${\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}$

我們也把所有可能的解的集合稱為解集。

一般來說，對於任何線性方程組，關於解有三種可能的情況

唯一解：在這種情況下，只有一個特定的解集存在。在幾何上，這意味著由線性方程組中每個方程所指定的 n 維平面在由該方程組的變數所指定的空間中都相交於一個唯一的點。

無解：這些方程被稱為不一致的，它們在空間中指定了不相交或重疊的 n 維平面。不可能指定一個滿足該方程組中所有方程的解集。

無窮多解：這些方程指定了 n 維平面，其交點是一個 m 維平面，其中$m\leq n$。在這種情況下，可以證明在特定範圍記憶體在一個無窮大的解集，它們滿足該線性方程組。

下圖說明了這些情況

唯一解	無解	無窮多解

為什麼只有這三種情況，而沒有其他情況？雖然下一章將提供一個證明，但現在你自己想出這個證明是一個很好的練習。

如果一個線性方程組沒有解，則稱該方程組為不一致的。如果存在至少一個解，則稱該方程組為一致的。

求解線性方程組的方法

我們知道，可以用加減消元法和代入法等方法求解二元一次方程組或三元一次方程組。但是，當變數數量很多時，這些方法不適合處理大型方程組。因此，這些方法被推廣了，並在實際應用中通常使用一種稱為高斯消元法的系統性方法。我們將在後面的章節中學習它。該方法的一個變體，稱為高斯-約旦消元法，也經常使用。

許多情況下，我們需要求解許多線性方程組，這些方程組中唯一的區別是常數項。變數的係數保持不變。在這種情況下，使用一種稱為LU 分解的方法。如果可能，也可以使用它的一個變體，稱為喬列斯基分解。我們將在後面的章節中學習這些方法。

練習

本章旨在作為複習。沒有練習。找到以下方程組的解集：1.x1+2x2+3x3-4x4+5x5=25