線性代數/主題：網路分析

下圖顯示了汽車部分電氣網路。電池位於左側，以疊放的線段形式繪製。電線以線條形式繪製，為了整潔，顯示為直線和銳角直角。

這種網路的設計人員需要回答諸如以下問題：當遠光燈和大燈同時開啟時，電流是多少？下面，我們將使用線性系統來分析更簡單的電氣網路版本。

為了進行分析，我們需要了解電氣和電氣網路的兩個事實。

關於電氣，第一個事實是電池就像一個泵：它提供一種力，推動電流流過連線電池兩端的電路，如果有這樣的電路的話。 我們說電池提供了電流流動的電勢。當然，這個網路在電流流經電路時流經燈泡時才實現其功能。例如，當駕駛員踩下剎車時，開關就會接觸，在圖的左側形成一個電路，而流過該電路的電流將使剎車燈亮起，提醒後面的駕駛員。

第二個關於電氣的事實是，在某些型別的網路元件中，電流的大小與電池提供的力成正比。 也就是說，對於每個這樣的元件，都有一個數字，稱為其電阻，使得電勢等於電流乘以電阻。測量單位為：電勢以伏特表示，電流以安培表示，電阻以歐姆表示。這些單位的定義是 ${\mbox{volts}}={\mbox{amperes}}\cdot {\mbox{ohms}}$.

具有此特性的元件，即電壓電流響應曲線是透過原點的直線，稱為電阻器。（上面顯示的燈泡不是這種型別的元件，因為它們的電阻值會隨著溫度的升高而改變。）例如，如果電阻器的值為 $2$ 歐姆，然後將其連線到一個 $12$ 伏特的電池上，會產生 $6$ 安培的電流。反過來，如果我們有 $2$ 安培的電流流過它，那麼它的兩端一定有 $4$ 伏特的電勢差。 這是電阻器上的壓降。思考上面這種電氣電路的一種方式是，電池提供了電壓上升，而其他元件則提供了電壓下降。

我們需要了解網路的兩個事實是基爾霍夫定律。

• 電流定律。對於網路中的任何一點，流入的電流等於流出的電流。
• 電壓定律。圍繞任何電路，總壓降等於總上升。

在上面的網路中，只有一個電壓上升，在電池上，但有些網路有多個電壓上升。

首先，我們可以考慮下面的網路。它有一個電池提供電流流動的電勢和三個電阻器（電阻器以之字形繪製）。 當元件像這裡一樣一個接一個地連線時，據說它們處於串聯狀態。

根據基爾霍夫電壓定律，因為電壓升高為$20$ 伏特，則總電壓降也必須為$20$ 伏特。由於從開始到結束的電阻為$10$ 歐姆（導線的電阻可以忽略不計），因此電流為$(20/10)=2$ 安培。現在，根據基爾霍夫電流定律，每個電阻器上的電流為$2$ 安培。（因此，電壓降為：$4$ 伏特跨越$2$ 歐姆電阻，$10$ 伏特跨越$5$ 歐姆電阻，以及$6$ 伏特跨越$3$ 歐姆電阻。）

前面的網路非常簡單，我們沒有使用線性系統，但下一個網路更復雜。 在這個網路中，電阻器是並聯的。這個網路更類似於前面顯示的汽車照明圖。

我們首先標記分支，如下所示。令並聯部分左分支的電流為$i_{1}$，右分支的電流為$i_{2}$，電池的電流為$i_{0}$。（我們遵循基爾霍夫電流定律；例如，右分支的所有點都具有相同的電流，我們稱之為$i_{2}$。注意，我們不需要知道實際的流動方向——如果電流的流動方向與我們的箭頭相反，那麼我們將在解決方案中得到一個負數。）

應用於電流 $i_{0}$ 與 $i_{1}$ 和 $i_{2}$ 相交的右上角點，得到 $i_{0}=i_{1}+i_{2}$。應用於右下角，得到 $i_{1}+i_{2}=i_{0}$。在從電池頂部迴圈出來、沿著並聯部分的左分支向下、再回到電池底部的電路中，電壓升高為 $20$，而電壓降為 $i_{1}\cdot 12$，因此電壓定律給出 $12i_{1}=20$。類似地，從電池到右分支再回到電池的電路得到 $8i_{2}=20$。並且，在簡單地圍繞並聯部分的左右分支迴圈（任意地順時針方向）的電路中，電壓升高為 $0$，電壓降為 $8i_{2}-12i_{1}$，因此電壓定律給出 $8i_{2}-12i_{1}=0$.

${\begin{array}{*{3}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&=&0\\-i_{0}&+&i_{1}&+&i_{2}&=&0\\&&12i_{1}&&&=&20\\&&&&8i_{2}&=&20\\&&-12i_{1}&+&8i_{2}&=&0\end{array}}$

該解決方案為 $i_{0}=25/6$，$i_{1}=5/3$，和 $i_{2}=5/2$，所有單位均為安培。（順便說一下，這說明冗餘方程在實踐中確實會產生。）

基爾霍夫定律可以用來建立複雜網路的電氣特性。 下圖顯示了五個電阻，以**串聯-並聯**的方式連線。

該網路為**惠斯通電橋**（見問題 4）。為了分析它，我們可以將箭頭放置如下。

基爾霍夫電流定律應用於頂節點、左節點、右節點和底節點，得到以下結果。

${\begin{array}{rl}i_{0}&=i_{1}+i_{2}\\i_{1}&=i_{3}+i_{5}\\i_{2}+i_{5}&=i_{4}\\i_{3}+i_{4}&=i_{0}\end{array}}$

基爾霍夫電壓定律應用於內環（從 $i_{0}$ 到 $i_{1}$ 到 $i_{3}$ 到 $i_{0}$ 環）、外環和不涉及電池的上環，得到以下結果。

${\begin{array}{rl}5i_{1}+10i_{3}&=10\\2i_{2}+4i_{4}&=10\\5i_{1}+50i_{5}-2i_{2}&=0\end{array}}$

這些足以確定解$i_{0}=7/3$, $i_{1}=2/3$, $i_{2}=5/3$, $i_{3}=2/3$, $i_{4}=5/3$，以及$i_{5}=0$.

不僅是電氣網路，其他型別的網路也可以用這種方式進行分析。例如，練習中給出了街道網路。

練習

這些問題的許多系統最容易在計算機上求解。

問題 1

計算每個網路中每個部分的電流。

1. 這是一個簡單的網路。

   

2. 將它與上面討論的並聯情況進行比較。

   

3. 這是一個相當複雜的網路。

   

問題 2

在我們分析的第一個網路中，三個電阻串聯，我們直接加起來得到它們一起作用就像一個$10$ 歐姆的單個電阻。我們可以對並聯電路做類似的事情。在分析的第二個電路中，

電池中的電流為$25/6$ 安培。因此，並聯部分等效於一個$20/(25/6)=4.8$ 歐姆的單個電阻。

1. 如果我們將$12$ 歐姆電阻改為$5$ 歐姆，等效電阻是多少？
2. 如果兩個電阻都是$8$ 歐姆，等效電阻是多少？
3. 如果並聯的兩個電阻分別為$r_{1}$ 歐姆和$r_{2}$ 歐姆，求出等效電阻的公式。

問題 3

對於本主題開頭的汽車儀表盤示例，求解這些電流（假設所有電阻都為$2$ 歐姆）。

1. 如果駕駛員踩著剎車，剎車燈亮著，沒有其他電路閉合。
2. 如果遠光燈和剎車燈都亮著。

問題 4

證明，在這個惠斯通電橋中，

$r_{2}/r_{1}$ 等於 $r_{4}/r_{3}$ 當且僅當流過 $r_{g}$ 的電流為零。（此裝置在實際應用中的使用方法是將未知電阻 $r_{4}$ 與另外三個電阻 $r_{1}$, $r_{2}$ 和 $r_{3}$ 進行比較。— 通常它們都有一個校準旋鈕— 直到中間的電流讀數為 $0$，然後上面的等式給出 $r_{4}$ 的值。）

除了電氣網路之外，還有其他型別的網路，我們可以問基爾霍夫定律對它們的適用程度。接下來的問題考慮了對街道網路的擴充套件。

問題 5

考慮這個交通環島。

這是交通流量，單位為每五分鐘的汽車數量。

${\begin{array}{r|c|c|c}&{\textit {North}}&{\textit {Pier}}&{\textit {Main}}\\\hline {\textit {into}}&100&150&25\\{\textit {outof}}&75&150&50\end{array}}$

我們可以建立方程來模擬交通流量。

1. 將基爾霍夫電流定律應用於這種情況。這是一個合理的建模假設嗎？
2. 用變數標記環島中的三條連線道路的弧線。使用（調整後的）電流定律，針對每個入出交叉口，寫出描述該節點交通流量的方程。
3. 求解該系統。
4. 解釋你的解決方案。
5. 將電壓定律重新表述為適用於這種情況的形式。它的合理性如何？

問題 6

這是一個街道網路。

可以觀察到汽車每小時進出該網路入口和出口的流量。

${\begin{array}{r|c|c|c|c|c}&{\textit {east\ Winooski}}&{\textit {west\ Winooski}}&{\textit {Willow}}&{\textit {Jay}}&{\textit {Shelburne}}\\\hline {\text{into}}&80&50&65&--&40\\{\text{out of}}&30&5&70&55&75\end{array}}$

(請注意，為了到達 Jay，汽車必須先透過其他道路進入網路，這就是表格中沒有“進入 Jay”項的原因。同時要注意，在很長一段時間內，總進入量應大約等於總離開量，這就是兩行都加起來為 $235$ 輛車的原因。）一旦進入網路，交通可能以不同的方式流動，也許會填滿 Willow 並使 Jay 大部分空閒，或者也許以其他方式流動。基爾霍夫定律限制了這種自由度。

1. 透過為每個街區設定一個變數，建立方程式並求解方程式，確定該街道網路內流量的限制。注意有些街道是單行道。（提示：這不會產生唯一的解，因為交通可以透過各種方式流經這個網路；你應該至少得到一個自由變數。）
2. 假設在 Willow 和 Jay 之間東部 Winooski 大道擬進行一些施工，因此該街區的交通將減少。在不影響網路每小時進出流量的情況下，該街區允許的最小交通流量是多少？

解決方案