線性代數/主題：網路分析/解決方案

解決方案

這些問題中的許多系統最容易在計算機上解決。

問題 1

計算每個網路每個部分的電流。

1. 這是一個簡單的網路。

   

2. 將它與上面討論的並聯情況進行比較。

   

3. 這是一個相當複雜的網路。

   

答案

1. 總電阻為 $7$ 歐姆。在 $9$ 伏特電勢下，電流將為 $9/7$ 安培。順便說一下，電壓降將是：$27/7$ 伏特跨越 $3$ 歐姆電阻，和 $18/7$ 伏特跨越兩個 $2$ 歐姆電阻中的每一個。
2. 解決此網路的一種方法是注意到左側的 $2$ 歐姆電阻在其兩端有 $9$ 伏特電壓降（因此流過它的電流是 $9/2$ 安培），右側的剩餘部分也有 $9$ 伏特電壓降，因此像之前的那樣進行分析。我們也可以使用線性系統。

   

   使用圖表中的變數，我們得到一個線性系統

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&&&=&0\\&&i_{1}&+&i_{2}&-&i_{3}&=&0\\&&2i_{1}&&&&&=&9\\&&&&7i_{2}&&&=&9\end{array}}$

   這將得出唯一的解 $i_{1}=81/14$，$i_{1}=9/2$，$i_{2}=9/7$ 和 $i_{3}=81/14$。

   當然，第一段和第二段得出了相同的答案。本質上，在第一段中，我們用比高斯方法不那麼系統的方法解線性方程組，先解出一些變數，然後代入。

3. 使用這些變數

   

   一個足以得出唯一解的線性方程組是這個。

   ${\begin{array}{*{7}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&&&&&&&&&=&0\\&&&&i_{2}&-&i_{3}&-&i_{4}&&&&&=&0\\&&&&&&i_{3}&+&i_{4}&-&i_{5}&&&=&0\\&&i_{1}&&&&&&&+&i_{5}&-&i_{6}&=&0\\&&3i_{1}&&&&&&&&&&&=&9\\&&&&3i_{2}&&&+&2i_{4}&+&2i_{5}&&&=&9\\&&&&3i_{2}&+&9i_{3}&&&+&2i_{5}&&&=&9\end{array}}$

   (最後三個等式來自包含 $i_{0}$-$i_{1}$-$i_{6}$ 的電路，包含 $i_{0}$-$i_{2}$-$i_{4}$-$i_{5}$-$i_{6}$ 的電路，以及包含 $i_{0}$-$i_{2}$-$i_{3}$-$i_{5}$-$i_{6}$ 的電路。）Octave 給出 $i_{0}=4.39437$，$i_{1}=3.00000$，$i_{2}=1.39437$，$i_{3}=0.38028$，$i_{4}=1.01408$，$i_{5}=1.39437$，$i_{6}=4.39437$.

問題 2

在我們分析的第一個網路中，三個電阻串聯，我們直接相加得到它們共同作用就像一個 $10$ 歐姆的單個電阻。對於並聯電路，我們可以做類似的事情。在分析的第二個電路中，

電池中的電流為 $25/6$ 安培。 因此，並聯部分等效於一個 $20/(25/6)=4.8$ 歐姆的單個電阻。

1. 如果我們將 $12$ 歐姆的電阻改為 $5$ 歐姆，等效電阻是多少？
2. 如果兩個電阻都是 $8$ 歐姆，等效電阻是多少？
3. 如果並聯的兩個電阻分別為 $r_{1}$ 歐姆和 $r_{2}$ 歐姆，求等效電阻的公式。

答案

1. 使用之前分析中的變數，

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}i_{0}&-&i_{1}&-&i_{2}&=&0\\-i_{0}&+&i_{1}&+&i_{2}&=&0\\&&5i_{1}&&&=&20\\&&&&8i_{2}&=&20\\&&-5i_{1}&+&8i_{2}&=&0\end{array}}$

   然後，流過每個支路的電流為 $i_{2}=20/8=2.5$，$i_{1}=20/5=4$，以及 $i_{0}=13/2=6.5$，所有單位均為安培。因此，並聯部分就像一個大小為 $20/(13/2)\approx 3.08$ 歐姆的單個電阻。
2. 類似的分析表明，$i_{2}=i_{1}=20/8=4$ 且 $i_{0}=40/8=5$ 安培。等效電阻為 $20/5=4$ 歐姆。
3. 與之前分析類似，得出 $i_{2}=20/r_{2}$，$i_{1}=20/r_{1}$，以及 $i_{0}=20(r_{1}+r_{2})/(r_{1}r_{2})$，單位為安培。因此，並聯部分相當於一個大小為 $20/i_{1}=r_{1}r_{2}/(r_{1}+r_{2})$ 歐姆的單個電阻。（此等式通常表述為：等效電阻 $r$ 滿足 $1/r=(1/r_{1})+(1/r_{2})$。）

問題 3

對於本主題開頭的汽車儀表板示例，計算這些電流值（假設所有電阻均為 $2$ 歐姆）。

1. 如果駕駛員踩剎車，導致剎車燈亮起，而其他電路未閉合。
2. 如果遠光燈和剎車燈亮起。

答案

1. 電路圖如下所示。

   

2. 電路圖如下所示。

   

問題 4

證明，在該惠斯通電橋中，

$r_{2}/r_{1}$ 等於 $r_{4}/r_{3}$ 當且僅當流過 $r_{g}$ 的電流為零。(這種裝置在實踐中的使用方法是，將一個未知電阻$r_{4}$ 與另外三個電阻 $r_{1}$，$r_{2}$ 和 $r_{3}$ 進行比較。在 $r_{g}$ 放置一個顯示電流的儀表。三個電阻$r_{1}$，$r_{2}$ 和 $r_{3}$ 是可變的—— 通常它們都有一個校準旋鈕—— 直到中間的電流讀數為 $0$， 然後上面的等式就可以給出 $r_{4}$ 的值。)

答案

基爾霍夫電流定律應用於 $r_{1}$，$r_{2}$ 和 $r_{g}$ 相交的節點，以及應用於 $r_{3}$，$r_{4}$ 和 $r_{g}$ 相交的節點得出這些。

$i_{3}r_{3}-i_{g}r_{g}-i_{1}r_{1}=0$
$i_{4}r_{4}-i_{2}r_{2}+i_{g}r_{g}=0$

假設 $i_{g}$ 為零，則有 $i_{1}=i_{2}$，$i_{3}=i_{4}$，$i_{1}r_{1}=i_{3}r_{3}$ 以及 $i_{2}r_{2}=i_{4}r_{4}$。 然後重新排列最後一個等式，

$r_{4}=(i_{2}r_{2})/i_{4}*(i_{3}r_{3})/(i_{1}r_{1})$

並約去 $i$，得到我們想要的結論。

除了電氣網路之外，還有其他型別的網路，我們可以問基爾霍夫定律在這些網路中適用程度如何。以下問題考慮了對街道網路的擴充套件。

問題 5

考慮這個交通環島。

這是交通量，單位為每五分鐘的汽車數量。

${\begin{array}{r|c|c|c}&{\textit {North}}&{\textit {Pier}}&{\textit {Main}}\\\hline {\textit {into}}&100&150&25\\{\textit {outof}}&75&150&50\end{array}}$

我們可以建立方程式來模擬交通流。

1. 將基爾霍夫電流定律應用於這種情況。這是一個合理的建模假設嗎？
2. 用變數標記圓形中的三個路段之間的弧線。使用（調整後的）電流定律，針對三個進出交叉點中的每一個，寫出描述該節點交通流的方程式。
3. 求解該方程組。
4. 解釋你的解。
5. 將電壓定律重新表述為適用於這種情況的定律。它是否合理？

答案

1. 一個調整後的版本是：在任何交叉點，流入等於流出。在這種情況下，它似乎是合理的，除非汽車在交叉點停留很長時間。
2. 我們可以用這種方式標記流量。

   

   由於 $50$ 輛汽車從 Main 出去，而 $25$ 輛汽車駛入，所以 $i_{1}-25=i_{2}$。 同樣，Pier 的進出平衡意味著 $i_{2}=i_{3}$，而 North 給出了 $i_{3}+25=i_{1}$。 我們得到了這個方程組。

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}i_{1}&-&i_{2}&&&=&25\\&i_{2}&-&i_{3}&=&0\\-i_{1}&&&+&i_{3}&=&-25\end{array}}$

3. 行操作 $\rho _{1}+\rho _{2}$ 和 $rho_{2}+\rho _{3}$ 得出結論：該方程有無數個解。以 $i_{3}$ 為引數，

   $\{{\begin{pmatrix}25+i_{3}\\i_{3}\\i_{3}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,i_{3}\in \mathbb {R} \}$

   當然，由於該問題是按汽車數量來描述的，我們可能會將 $i_{3}$ 限制為自然數。
4. 如果我們想象一個初始為空的圓，其輸入/輸出行為與給定資訊一致，我們可以疊加一個 $z_{3}$ 個汽車無限迴圈，以獲得新的解決方案。
5. 一個合適的重新表述可能是：進入圓形的汽車數量必須等於離開圓形的汽車數量。這種表述的合理性並不那麼清晰。在五分鐘的時間段內，進入的汽車數量很容易比離開的汽車數量多出六輛，儘管問題描述中的進入/離開表格滿足了這個性質。無論如何，這對於獲得唯一解沒有任何幫助，因為我們需要知道無限迴圈的汽車數量。

問題 6

這是一個街道網路。

可以觀察到汽車每小時進入這個網路的入口，以及離開其出口的流量。

${\begin{array}{r|c|c|c|c|c}&{\textit {east\ Winooski}}&{\textit {west\ Winooski}}&{\textit {Willow}}&{\textit {Jay}}&{\textit {Shelburne}}\\\hline {\text{into}}&80&50&65&--&40\\{\text{out of}}&30&5&70&55&75\end{array}}$

(注意，要到達 Jay，汽車必須先透過其他道路進入網路，這就是表格中沒有“進入 Jay”條目。還要注意，在很長一段時間內，總的進入量近似等於總的離開量，這就是兩行都加起來等於 $235$ 輛汽車的原因。) 進入網路後，交通可能會以不同的方式流動，例如，可能會填滿 Willow 並讓 Jay 大部分時間空閒，或者以其他方式流動。基爾霍夫定律限制了這種自由度。

1. 透過為每個街區設定一個變數，建立方程，並求解方程，確定此街道網路內部流量的限制條件。注意，有些街道是單行道。(提示：這不會產生唯一解，因為交通可以以各種方式流經此網路；你應該至少得到一個自由變數。)
2. 假設在 Willow 和 Jay 之間的 Winooski 大道東側擬建一些建築，因此該街區的交通流量將減少。為了不擾亂網路進出流量的每小時流量，該街區允許的最低交通流量是多少？

答案

1. 以下是每個未知街區的變數；每個已知街區顯示了其流量。

   

   我們應用基爾霍夫定律，即流入 Willow 和 Shelburne 交叉口的流量必須等於流出流量，得到 $i_{1}+25=i_{2}+125$。從右到左，從上到下對交叉口進行操作，得到以下方程。

   ${\begin{array}{*{7}{rc}r}i_{1}&-&i_{2}&&&&&&&&&&&=&10\\-i_{1}&&&+&i_{3}&&&&&&&&&=&15\\&&i_{2}&&&+&i_{4}&&&&&&&=&5\\&&&&-i_{3}&-&i_{4}&&&+&i_{6}&&&=&-50\\&&&&&&&&i_{5}&&&-&i_{7}&=&-10\\&&&&&&&&&&-i_{6}&+&i_{7}&=&30\end{array}}$

   行操作 $\rho _{1}+\rho _{2}$，然後是 $\rho _{2}+\rho _{3}$，再是 $\rho _{3}+\rho _{4}$，然後是 $\rho _{4}+\rho _{5}$，最後是 $\rho _{5}+\rho _{6}$，得到以下系統。

   ${\begin{array}{*{7}{rc}r}i_{1}&-&i_{2}&&&&&&&&&&&=&10\\&&-i_{2}&+&i_{3}&&&&&&&&&=&25\\&&&&i_{3}&+&i_{4}&-&i_{5}&&&&&=&30\\&&&&&&&&-i_{5}&+&i_{6}&&&=&-20\\&&&&&&&&&&-i_{6}&+&i_{7}&=&-30\\&&&&&&&&&&&&0&=&0\end{array}}$

   由於自由變數是 $i_{4}$ 和 $i_{7}$，我們將它們視為引數。

   ${\begin{array}{rl}i_{6}&=i_{7}-30\\i_{5}&=i_{6}+20=(i_{7}-30)+20=i_{7}-10\\i_{3}&=-i_{4}+i_{5}+30=-i_{4}+(i_{7}-10)+30=-i_{4}+i_{7}+20\\i_{2}&=i_{3}-25=(-i_{4}+i_{7}+20)-25=-i_{4}+i_{7}-5\\i_{1}&=i_{2}+10=(-i_{4}+i_{7}-5)+10=-i_{4}+i_{7}+5\end{array}}$

   顯然，$i_{4}$ 和 $i_{7}$ 必須為正數，事實上，第一個等式表明 $i_{7}$ 必須至少為 $30$。如果我們從 $i_{7}$ 開始，那麼 $i_{2}$ 等式表明 $0\leq i_{4}\leq i_{7}-5$。

2. 我們不能讓 $i_{7}$ 為零，否則 $i_{6}$ 將為負數（這意味著汽車在 Jay 的單行道上逆行）。然而，我們可以讓 $i_{7}$ 小到 $30$，然後就有很多合適的 $i_{4}$。例如，解為

   $(i_{1},i_{2},i_{3},i_{4},i_{5},i_{6},i_{7})=(35,25,50,0,20,0,30)$

   當選擇 $i_{4}=0$ 時得到的結果。