線性代數/主題：計算機代數系統/解決方案

解決方案

本主題的答案使用 Maple 作為計算機代數系統。特別是，所有這些都在運行於 MS-DOS NT 版本 4.0 下的 Maple V 上進行了測試。（在所有這些中，載入線性代數包的預備命令以及 Maple 對 Enter 鍵的響應已被省略。）其他系統也有類似的命令。

其他答案將為 Wolfram Mathematica 13.0 新增。

{{TextBox|1=

問題 1

使用計算機解決本章開頭提出的兩個問題。

1. 這是靜力學問題。

   ${\begin{array}{rl}40h+15c&=100\\25c&=50+50h\end{array}}$

2. 這是化學問題。

   ${\begin{array}{rl}7h&=7j\\8h+1i&=5j+2k\\1i&=3j\\3i&=6j+1k\end{array}}$

答案

1. 命令
   > A:=array( [[40,15],
   [-50,25]] );
   > u:=array([100,50]);
   > linsolve(A,u);
   
   得出答案 $[1,4]$. Mathematica 答案

   eqns = {40 h + 15 c == 100, 25 c == 50 + 50 h};
   {b, m} = CoefficientArrays[eqns, {c, h}]
   LinearSolve[m, -b]
   {c, h} /. Solve[eqns, {c, h}]
   

   返回 {c,h} 的向量 {1,4}。
2. 這裡有一個自由變數
   > A:=array( [[7,0,-7,0],
   [8,1,-5,2],
   [0,1,-3,0],
   [0,3,-6,-1]] );
   > u:=array([0,0,0,0]);
   > linsolve(A,u);
   
   提示回覆 $[\_t_{1},3\_t_{1},\_t_{1},3\_t_{1}]$. Mathematica 程式碼

   eqns = {7 h == 7 j, 8 h + i == 5 j + 2 k, 1 i == 3 j, 
      3 i == 6 j + 1 k};
   {b, m} = CoefficientArrays[eqns, {h, i, j, k}]
   LinearSolve[m, -b]
   {h, i, j, k} /. Solve[eqns, {h, i, j, k}]
   

   返回 LinearSolve 的 {0,0,0,0} 以及最後一行的 $\{\{h,3h,3h,3h\}\}$。

}}

問題 2

使用計算機解決第一小節中的這些系統，或得出結論“多個解決方案”或“無解決方案”。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\x&-&4y&=&0\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\x&+&y&=&2\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\x&+&y&+&2z&=&14\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\-3x&-&3y&=&2\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&4y&+&z&=&20\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\x&+&y&-&z&=&10\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\3x&&&-&z&-&w&=&0\\4x&+&y&+&2z&+&w&=&9\end{array}}$

Maple 答案

這些很容易輸入。例如，第一個

> A:=array( [[2,2],
[1,-4]] );
> u:=array([5,0]);
> linsolve(A,u);

得到預期答案 $[2,1/2]$。其他輸入方式類似。

1. 答案是 $x=2$ 和 $y=1/2$。
2. 答案是 $x=1/2$ 和 $y=3/2$。
3. 該系統有無窮多個解。在第一小節中，以 $z$ 為引數，我們得到 $x=(43-7z)/4$ 和 $y=(13-z)/4$。Maple 返回 $[-12+7\_t_{1},\_t_{1},13-4\_t_{1}]$，出於某種原因，它更喜歡 $y$ 作為引數。
4. 該系統沒有解。當給出陣列 $A$ 和向量 $u$ 並要求 Maplelinsolve(A,u)時，它根本沒有返回結果，也就是說，它沒有給出任何解。
5. 解是 $(x,y,z)=(5,5,0)$。
6. 有很多解。Maple 給出 $[1,-1+\_t_{1},3-\_t_{1},\_t_{1}]$。

Mathematica 答案

RowReduceAugmentedMatrix[matrix_] := MatrixForm[RowReduce[matrix]]

將此函式應用於 MatrixForm 中的 RowReduce 對 ${\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}}$ 進行行化簡，得到 ${\begin{pmatrix}1&0&1/2\\0&1&3/2\end{pmatrix}}$。

問題 3

使用計算機來解決第二小節中的這些方程組。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

答案

與上一個問題一樣，輸入這些方程組很容易。

1. 這個方程組有無窮多個解。在第二小節中，我們給出瞭解集為

   $\{{\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

   Maple 的響應結果是 $[6-2\_t_{1},\_t_{1}]$。
2. 解集只有一個元素

   $\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}$

   Maple 毫不費力地找到了它 $[0,1]$.
3. 這個系統的解集是無限的

   $\{{\begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}x_{3}\,{\big |}\,x_{3}\in \mathbb {R} \}$

   Maple 給出了 $[\_t_{1},-\_t_{1}+3,-\_t_{1}+4]$.
4. 存在唯一的解

   $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\}$

   Maple 給出了 $[1,1,1]$.
5. 該系統有無數個解；在第二小節中，我們用兩個引數描述瞭解集

   $\{{\begin{pmatrix}5/3\\2/3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}$

   Maple 也給出了 $[3-2\_t_{1}+\_t_{2},\_t_{1},\_t_{2},-2+3\_t_{1}-2\_t_{2}]$.
6. 解集為空，Maple 對該命令的回覆沒有返回解。linsolve(A,u)命令。

問題 4

計算機對一般 $2\!\times \!2$ 系統的解給出什麼？

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&cy&=&p\\bx&+&dy&=&q\end{array}}$

答案

響應此提示

> A:=array( [[a,c],
[b,d]] );
> u:=array([p,q]);
> linsolve(A,u);

Maple 可能思考了二十秒，然後給出了以下回復。

${\bigl [}-{\frac {-d\,p+q\,c}{-b\,c+a\,d}},{\frac {-b\,p+a\,q}{-b\,c+a\,d}}{\bigr ]}$

Mathematica 解決方案

RowReduce[( {
    {a, c, p},
    {b, d, q}
   } )] // MatrixForm

返回 ${\begin{pmatrix}1&0&{\frac {dp-cq}{-bc+ad}}\\0&1&{\frac {bp-aq}{bc-ad}}\end{pmatrix}}$，大約在 2 毫秒內。