線性代數/主題：晶體/解決方案

解決方案

問題 1

一小塊鹽的一面有多少個基本區域？(用尺子，我們可以估計那一面是一個邊長為$0.1$ 釐米的正方形。)

答案

每個基本單元是$3.34\times 10^{-10}$ 釐米，所以大約有$0.1/(3.34\times 10^{-10})$ 個這樣的單元。這大約是$2.99\times 10^{8}$ 個，所以大約有$300,000,000$ 個(三億)單元。

問題 2

在石墨影像中，假設我們對一個距離原點$5.67$ 埃向上，$3.14$ 埃向右的點感興趣。

1. 用給定的石墨基底表示該點。
2. 該點距離原點多少個六邊形？
3. 用第二個基底表示該點，其中第一個基底向量相同，但第二個基底向量垂直於第一個基底向量(向上穿過平面)並且具有相同的長度。

答案

1. 我們求解

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1.23\\0.71\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5.67\\3.14\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}1.42c_{1}&+&1.23c_{2}&=&5.67\\&&0.71c_{2}&=&3.14\end{array}}$

   得到$c_{2}=\approx 4.42$ 和 $c_{1}\approx 0.16$。
2. 該點位於晶格中。在左側的影像中，在晶胞上疊加了兩個基底向量${\vec {\beta }}_{1}$ 和 ${\vec {\beta }}_{2}$，以及一個顯示$0.16{\vec {\beta }}_{1}+4.42{\vec {\beta }}_{2}$ 偏移量的框。右側的圖片顯示了該點在晶格中出現的位置，以左下角六邊形的左下角為原點。

       

   所以這個點位於六邊形下一列，向上一個或兩個六邊形，具體取決於你怎麼數它們。

3. 這個第二個基底

   $\langle {\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1.42\end{pmatrix}}\rangle$

   使計算更容易

   $c_{1}{\begin{pmatrix}1.42\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1.42\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5.67\\3.14\end{pmatrix}}\quad \implies \quad {\begin{array}{*{2}{rc}r}1.42c_{1}&&&=&5.67\\&&1.42c_{2}&=&3.14\end{array}}$

   (我們得到 $c_{2}\approx 2.21$ 和 $c_{1}\approx 3.99$), 但似乎與我們研究的物理結構關係不大。

問題 3

給出金剛石立方體中原子在基底和埃單位下的位置。

答案

就角原子的位置而言，它們是 $(0,0,0)$，$(1,0,0)$，…，$(1,1,1)$。面原子的位置是 $(0.5,0.5,1)$，$(1,0.5,0.5)$，$(0.5,1,0.5)$，$(0,0.5,0.5)$，$(0.5,0,0.5)$ 和 $(0.5,0.5,0)$。從頂部向下四分之一位置的原子是 $(0.75,0.75,0.75)$ 和 $(0.25,0.25,0.25)$。從底部向上四分之一位置的原子位於 $(0.75,0.25,0.25)$ 和 $(0.25,0.75,0.25)$。轉換為埃很簡單。

問題 4

這說明了如何從物質結晶的形狀計算晶胞的尺寸（參見 Ebbing 1993，第 462 頁）。

1. 回想一下，一摩爾中有 $6.022\times 10^{23}$ 個原子（這就是阿伏伽德羅常數）。根據這一點，以及鉑的摩爾質量為 $195.08$ 克/摩爾，計算每個原子的質量。
2. 鉑以面心立方晶格形式結晶，每個晶格點上都有原子，也就是說，它看起來像上面給出的金剛石晶體中間圖。找到每個晶胞中的鉑原子數（提示：將單個晶胞內的鉑原子分數加起來）。
3. 由此，求出晶胞的質量。
4. 鉑晶體密度為 $21.45$ 克/立方厘米。根據這一點以及晶胞的質量，計算晶胞的體積。
5. 求出每條邊的長度。
6. 描述一個自然的三維基底。

答案

1. $195.08/6.02\times 10^{23}=3.239\times 10^{-22}$
2. $4$
3. $4\cdot 3.239\times 10^{-22}=1.296\times 10^{-21}$
4. $1.296\times 10^{-21}/21.45=6.042\times 10^{-23}$ 立方厘米
5. $3.924\times 10^{-8}$ 釐米。
6. $\langle {\begin{pmatrix}3.924\times 10^{-8}\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3.924\times 10^{-8}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\3.924\times 10^{-8}\end{pmatrix}}\rangle$

參考資料

• Ebbing, Darrell D. (1993), General Chemistry (第四版), Houghton Mifflin.