線性代數/主題：線性對映的幾何/解答

解答

問題 1

令 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 為將向量順時針旋轉 $\pi /4$ 弧度的變換。

找到矩陣 $H$ ，它表示 $h$ 相對於標準基。使用高斯消元法將 $H$ 化簡為單位矩陣。
將行化簡轉化為矩陣方程 $T_{j}T_{j-1}\cdots T_{1}H=I$ （前一項表明 $H$ 與 $I$ 相似，並且從 $H$ 推匯出 $I$ 不需要任何列運算）。
解此矩陣方程求 $H$ 。
繪製幾何效果矩陣，即繪製 $H$ 如何表示為拉伸、翻轉、錯切和投影的組合（單位矩陣是平凡的投影）。

解答

為了表示 $H$ ，回想一下，逆時針旋轉 $\theta$ 弧度相對於標準基的表示方式如下。
${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(h)={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$
順時針角度是逆時針角度的負數。
${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(h)={\begin{pmatrix}\cos(-\pi /4)&-\sin(-\pi /4)\\\sin(-\pi /4)&\cos(-\pi /4)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\end{pmatrix}}$
這個高斯-約旦消元法
${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\0&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{(1/{\sqrt {2}})\rho _{2}}]{(2/{\sqrt {2}})\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
得到單位矩陣，因此不需要進行列交換操作才能得到部分單位矩陣。
這個消元可以用矩陣乘法表示為
${\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/{\sqrt {2}}&0\\0&1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}H=I$
(注意高斯操作的組合是從右到左執行的)。
取逆
$H=\underbrace {{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}/2&0\\0&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}} _{P}I$
給出 $H$ 的期望分解（這裡，部分單位矩陣是 $I$ ，而 $Q$ 是平凡的，即它也是一個單位矩陣）。
從右到左閱讀組合（並將單位矩陣忽略為平凡的）得出， $H$ 的效果與先執行這種傾斜相同

接著進行一個擴張，將所有第一分量乘以 ${\sqrt {2}}/2$ （由於 ${\sqrt {2}}/2\approx 0.707$ ，所以這是一個“縮小”），並將所有第二分量乘以 ${\sqrt {2}}$ ，接著進行另一個傾斜。

例如， $H$ 對與 $x$ 軸夾角為 $\pi /3$ 的單位向量的效果是

驗證得到的向量具有單位長度，並且與 $x$ 軸的夾角為 $-\pi /6$ 是例行公事。

問題 2

什麼組合的擴張、翻轉、傾斜和投影產生逆時針旋轉 $2\pi /3$ 弧度？

解答

我們將首先用矩陣 $H$ 表示對映，執行行操作，如果需要，則執行列操作以將其簡化為部分單位矩陣。然後，我們將將其轉換為分解 $H=PBQ$ 。代入一般矩陣

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(r_{\theta }){\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}

給出這種表示。

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(r_{2\pi /3}){\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}

高斯消元法是常規方法。

{\xrightarrow[{}]{{\sqrt {3}}\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\0&-2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{(-1/2)\rho _{2}}]{-2\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&{\sqrt {3}}\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-{\sqrt {3}}\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

這可以以矩陣方程的形式表示。

{\begin{pmatrix}1&-{\sqrt {3}}\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}=I

求逆矩陣來解 $H$ ，得到以下分解。

{\begin{pmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1/2&0\\0&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&{\sqrt {3}}\\0&1\end{pmatrix}}I

問題 3

什麼組合的縮放、翻轉、錯切和投影操作可以生成由以下矩陣表示的對映 $h:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ?

{\begin{pmatrix}1&2&1\\3&6&0\\1&2&2\end{pmatrix}}

解答

以下高斯消元操作

{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&-3\\0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(1/3)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&-3\\0&0&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(-1/3)\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

給出了矩陣的簡化行階梯形式。現在，將第一列乘以 $-2$ 並加到第二列，然後交換第二列和第三列，可以得到這個部分單位矩陣。

B={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

所有這些都可以用矩陣形式表示為：其中

P={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1/3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1/3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

和

Q={\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

給出的矩陣可以分解為 $PBQ$ 。

問題 4

證明任何對 $\mathbb {R} ^{1}$ 的線性變換都是乘以一個標量 $x\mapsto kx$ 的對映。

解答

用標準基 ${\mathcal {E}}_{1},{\mathcal {E}}_{1}$ 表示它，那麼得到的 $1\!\times \!1$ 矩陣中唯一的元素就是標量 $k$ 。

問題 5

證明對於數字 $1$ ，...， $n$ 的任何排列（即重新排序） $p$ ，對映

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{p(1)}\\x_{p(2)}\\\vdots \\x_{p(n)}\end{pmatrix}}

可以透過一系列對映的複合來實現，其中每個對映只交換一對座標。提示：可以用關於 $n$ 的歸納法來證明。（注：在第四章中我們將證明這一點，並將證明所用交換次數的奇偶性由 $p$ 決定。也就是說，雖然特定排列可以用兩種不同的方式實現，但兩種方式所用的交換次數不同，但兩種方式要麼都用偶數次交換，要麼都用奇數次交換。）

解答

我們可以用關於向量分量個數的歸納法來證明這一點。在 $n=1$ 的基本情況中，唯一可能的排列是平凡排列，對映

{\begin{pmatrix}x_{1}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\end{pmatrix}}

實際上可以用一系列交換來表示——可以表示為零次交換。對於歸納步驟，我們假設由少於 $n$ 個數字的任何排列引起的對映，都可以僅用交換來表示。現在我們考慮由 $p$ 引起的對映，其中 $p$ 是 $n$ 個數字的排列。

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{p(1)}\\x_{p(2)}\\\vdots \\x_{p(n)}\end{pmatrix}}

考慮一個數字 $i$ ，使得 $p(i)=n$ 。對映

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{i}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}{\stackrel {\hat {p}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x_{p(1)}\\x_{p(2)}\\\vdots \\x_{p(n)}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}

如果接著交換第 $i$ 個和第 $n$ 個分量，就會得到對映 $p$ 。現在，歸納假設表明 ${\hat {p}}$ 可以透過一系列交換來實現。

問題 6

證明線性對映保持空間的線性結構。

證明對於從 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R} ^{m}$ 的任何線性對映，任何直線的像都是直線。像可能是一個退化的直線，即一個點。
證明任何線性曲面的像都是線性曲面。這推廣了線性對映下子空間的像也是子空間的結果。
線性對映保持其他線性概念。證明線性對映保持“介於”：如果點 $B$ 介於 $A$ 和 $C$ 之間，那麼 $B$ 的像介於 $A$ 的像和 $C$ 的像之間。

解答

一條直線是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一個子集，其形式為 $\{{\vec {v}}={\vec {u}}+t\cdot {\vec {w}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 。該直線上一點的影像為 $h({\vec {v}})=h({\vec {u}}+t\cdot {\vec {w}})=h({\vec {u}})+t\cdot h({\vec {w}})$ ，並且當 $t$ 在實數範圍內變化時，這些向量的集合是一條直線（如果 $h({\vec {w}})={\vec {0}}$ ，則該直線為退化的）。
這是一個對之前論點的明顯擴充套件。
如果點 $B$ 在點 $A$ 和 $C$ 之間，那麼從 $A$ 到 $C$ 的直線上包含 $B$ 。也就是說，存在一個 $t\in (0\,..\,1)$ 使得 ${\vec {b}}={\vec {a}}+t\cdot ({\vec {c}}-{\vec {a}})$ （其中 $B$ 是 ${\vec {b}}$ 的端點，等等）。現在，如同第一個條目的論證，線性性表明 $h({\vec {b}})=h({\vec {a}})+t\cdot h({\vec {c}}-{\vec {a}})$ .