線性代數/主題：投入產出分析/解答

解答

提示：這些系統在計算機上最容易求解。

問題 1

根據上面給出的鋼鐵-汽車系統，估計下一年的總產量。

1. 下一年的外部需求為：鋼鐵比今年增加$200$，汽車不變。
2. 下一年的外部需求為：鋼鐵增加$100$，汽車增加$200$。
3. 下一年的外部需求為：鋼鐵增加$200$，汽車增加$200$。

答案

這些答案由Octave給出。

1. 當鋼鐵的外部使用量為$17\,789$，汽車的外部使用量為$21\,243$時，我們得到$s=25\,952$，$a=30\,312$。
2. $s=25\,857$，$a=30\,596$
3. $s=25\,984$，$a=30\,597$

問題 2

在鋼鐵-汽車系統中，汽車行業對鋼鐵的使用比例為$2\,664/30\,346$，大約為$0.0878$。假設一種新的汽車製造工藝將該比例降低至$.0500$。

1. 與上面討論的第一個例子相比，下一年的總產量預測將如何變化（即，將下一年的外部需求分別設為鋼鐵$17,589$和汽車$21,243$）？
2. 此外，如果由於新車的價格更便宜，汽車的外部需求上升到$21,500$，預測下一年的總產量。

答案

Octave給出了這些答案。

1. s = 24,244，a = 30,307
2. s = 24,267，a = 30,673

問題 3

此表給出了不同年份（1947 年，參見Leontief 1951）的汽車鋼鐵系統的數字。這裡的單位是1947 年的十億美元。

	被…使用     鋼鐵	被…使用     汽車	被…使用     其他	總計
價值     鋼鐵	6.90	1.28		18.69
價值     汽車	0	4.40		14.27

1. 如果明年的外部需求為：鋼鐵需求增長 10%，汽車需求增長 15%，則求解總產量。
2. 這些比率與上面 1958 年經濟討論中給出的比率相比如何？
3. 用 1958 年的外部需求求解 1947 年的方程（注意單位的不同；1947 年的 1 美元大約相當於 1958 年的 1.30 美元）。預測的總產量誤差有多大？

答案

1. 這些是方程。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}(11.79/18.69)s&-&(1.28/14.27)a&=&11.56\\-(0/18.69)s&+&(9.87/14.27)a&=&11.35\end{array}}$

   Octave 給出 s = 20.66 和 a = 16.41。
2. 這些是比率。

   1947     由鋼鐵     由汽車     鋼鐵的使用     0.63     0.09     汽車的使用     0.00     0.69

   1958     由鋼鐵     由汽車     鋼鐵的使用     0.79     0.09     汽車的使用     0.00     0.70

3. Octave 給出（以 1947 年的十億美元計）s = 24.82 和 a = 23.63。以 1958 年的十億美元計，即 s = 32.26 和 a = 30.71。

問題 4

預測下面所示假設經濟中三個部門的下一年的總產量。

	被…使用     農業	被…使用     鐵路	被…使用     航運	被…使用     其他	總計
價值     農業	25	50	100		500
價值     鐵路	25	50	50		300
價值     航運	15	10	0		500

如果明年的外部需求如所述。

1. 農業 625，鐵路 200，航運 475

2. 農場 $650$，鐵路 $150$，航運 $450$

問題 5

此表給出了經濟體三個部門之間的相互關係（參見 Clark & Coupe 1967）。

	被…使用     食品	被…使用     批發	被…使用     零售	被…使用     其他	總計
價值     食品	0	2 318	4 679		11 869
價值     批發	393	1 089	22 459		122 242
價值     零售	3	53	75		116 041

我們將對該系統進行投入產出分析。

1. 填寫今年外部需求的數字。
2. 建立線性系統，將明年外部需求留空。
3. 求解系統，其中明年外部需求透過將今年外部需求提高 10% 計算得出。所有三個部門的總業務量是否都增加了 10%？它們是否都以相同的速率增長？
4. 求解系統，其中明年外部需求透過將今年外部需求減少 7% 計算得出。（進行這些數字研究得出的結論是，由於當地軍事設施的關閉，該地區的整體個人收入將下降 7%，因此這可能是對實際情況的初步估計。）

參考文獻

• 列昂惕夫，瓦西里·W. (1951)，“投入產出經濟學”，科學美國人，185 (4): 15 {{引用}}: 未知引數 |month= 被忽略（幫助）.
• 克拉克，大衛·H.；庫普，約翰·D. (1967)，“班戈地區經濟現狀及未來”，致緬因州班戈市報告 {{引用}}: 引用包含空未知引數：|1=（幫助）；未知引數 |month= 被忽略（幫助）.