線性代數/主題：投入產出分析

經濟是一個極其複雜的相互依存網路。一個部分的變化會波及到其他部分。經濟學家一直在努力描述並預測如此複雜的物體。使用線性方程組的數學模型已成為一項關鍵工具。其中之一是投入產出分析，由 W. Leontief 開創，他獲得了 1973 年諾貝爾經濟學獎。

考慮一個由許多部分組成的經濟體，其中兩個是鋼鐵行業和汽車行業。在滿足來自經濟體其他部分（即鋼鐵和汽車部門以外的使用者）對其產品的需求的過程中，這兩個部門之間緊密互動。例如，如果對汽車的外部需求增加，會導致汽車行業對鋼鐵的使用量增加。或者，如果對鋼鐵的外部需求下降，則會導致鋼鐵對汽車的購買量下降。我們將考慮的投入產出模型型別將吸收外部需求，然後預測這兩個部門如何互動以滿足這些需求。

我們從生產和消費統計列表開始。（這些數字以百萬美元表示，摘自 (Leontief 1965)，描述了 1958 年的美國經濟。由於通貨膨脹和行業技術變化，今天的統計資料會有很大不同。）

	由......使用     鋼鐵	由......使用     汽車	由......使用     其他	總數
價值     鋼鐵	5 395	2 664		25 448
價值     汽車	48	9 030		30 346

例如，當年汽車行業使用的鋼鐵的價值為 $2,664$ 百萬美元。請注意，行業可能會消耗部分自身的產出。

我們可以填補外部需求的空白。當年其他行業使用的鋼鐵的價值為 $17,389$，當年其他行業使用的汽車的價值為 $21,268$。有了這些，我們就完整地描述了外部需求以及汽車和鋼鐵在當年如何互動以滿足這些需求。

現在，假設對鋼鐵的外部需求最近一直在以 $200$ 的速度增長，因此我們估計明年將達到 $17,589$。假設由於類似的原因，我們估計明年的汽車外部需求將下降 $25$，降至 $21,243$。我們希望預測明年的總產出。

該預測並不像將 $200$ 新增到今年的鋼鐵總產量中，然後從今年的汽車總產量中減去 $25$ 那樣簡單。一方面，鋼鐵的增長會導致該行業對汽車的需求增加，這將在一定程度上減輕對汽車的外部需求損失。另一方面，對汽車的外部需求下降會導致汽車行業使用更少的鋼鐵，從而在一定程度上減少鋼鐵業務的上升趨勢。簡而言之，這兩個行業形成了一個系統，我們需要預測整個系統將趨於穩定的總量。

對於該預測，令 $s$ 代表明年的鋼鐵總產量，令 $a$ 代表明年的汽車總產量。我們形成這些方程。

${\begin{array}{rl}{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s production of steel}}&={\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of steel by steel}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of steel by auto}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of steel by others}}\\{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s production of autos}}&={\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of autos by steel}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of autos by auto}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of autos by others}}\end{array}}$

在這些方程的左側是未知數$s$ 和 $a$。在右側的末尾是我們的下一年的外部需求估計$17,589$ 和 $21,243$。對於其餘四項，我們檢視今年關於行業如何互動的資訊表。

例如，對於下一年的鋼鐵行業對鋼鐵的需求，我們注意到今年鋼鐵行業使用了$5395$ 個單位的鋼鐵投入來生產$25,448$ 個單位的鋼鐵產出。所以明年，當鋼鐵行業將生產$s$ 個單位的產出時，我們預計這樣做將需要$s\cdot (5395)/(25\,448)$ 個單位的鋼鐵投入——這僅僅是假設投入與產出成正比。（我們假設投入產出比在一段時間內保持不變；實際上，模型可能會嘗試考慮投入產出比變化趨勢。）

下一年汽車行業對鋼鐵的需求類似。今年，汽車行業使用了$2664$ 個單位的鋼鐵投入來生產$30346$ 個單位的汽車產出。所以明年，當汽車行業的總產出為$a$ 時，我們預計它將消耗$a\cdot (2664)/(30346)$ 個單位的鋼鐵。

以相同的方式填充另一個方程，我們得到了這個線性方程組。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}{\displaystyle {\frac {5\,395}{25\,448}}}\cdot s&+&{\displaystyle {\frac {2\,664}{30\,346}}}\cdot a&+&17\,589&=&s\\[1em]{\displaystyle {\frac {48}{25\,448}}}\cdot s&+&{\displaystyle {\frac {9\,030}{30\,346}}}\cdot a&+&21\,243&=&a\end{array}}$

對該系統使用高斯消元法。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(20\,053/25\,448)s&-&(2\,664/30\,346)a&=&17\,589\\-(48/25\,448)s&+&(21\,316/30\,346)a&=&21\,243\end{array}}$

得出$s=25\,698$ 和 $a=30\,311$。

回顧一下，我們之前解釋了為什麼預測明年的總量並不像簡單地將$200$加到去年的鋼鐵總量上，再從去年的汽車總量中減去$25$那樣簡單。事實上，將明年的這些總量與今年年初給出的總量進行比較表明，儘管外部需求下降，但汽車行業的總產量預計會上升。鋼鐵行業業務大幅增長帶來的對汽車的內部需求增長，抵消了汽車外部需求的損失。

擁有數學模型的優勢之一是我們能夠提出“如果……會怎樣？”的問題。例如，我們可以問“如果明年外部需求的估計值稍微偏離了呢？”為了瞭解模型的預測結果在我們的估計值發生變化時會如何改變，我們可以嘗試將明年外部鋼鐵需求的估計值從$17,589$下調到$17,489$，同時保持明年汽車外部需求的假設不變，即為$21,243$。由此產生的系統為

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(20\,053/25\,448)s&-&(2\,664/30\,346)a&=&17\,489\\-(48/25\,448)s&+&(21\,316/30\,346)a&=&21\,243\end{array}}$

當求解時，得到 $s=25\,571$ 以及 $a=30\,311$。這種對模型的探索稱為 **敏感性分析**。我們正在檢視模型預測對假設準確性的敏感程度。

顯然，我們可以考慮更大的模型，詳細說明經濟中更多部門之間的相互作用。這些模型通常在計算機上求解，使用我們在第三章中將要介紹的矩陣代數技術。一些例子將在練習中給出。同樣明顯的是，單個模型並不適合所有情況；需要專家判斷來確定模型背後的假設對於特定情況是否合理。然而，有了這些注意事項，該模型在實踐中已被證明是經濟分析的有用且準確的工具。如需進一步閱讀，請嘗試 (Leontief 1951) 和 (Leontief 1965).

練習

提示：這些系統最容易在計算機上求解。

問題 1

使用上面給出的鋼鐵-汽車系統，估計下一年的總產量（在以下情況下）。

1. 下一年的外部需求為：鋼鐵比今年增長 $200$，汽車不變。
2. 下一年的外部需求為：鋼鐵增長 $100$，汽車增長 $200$。
3. 下一年的外部需求為：鋼鐵增長 $200$，汽車增長 $200$。

問題 2

在鋼鐵-汽車系統中，汽車行業對鋼鐵的使用比例為 $2\,664/30\,346$，約為 $0.0878$。假設製造汽車的新工藝將該比例降至 $.0500$。

1. 與上面討論的第一種情況（即下一年的外部需求為鋼鐵 $17,589$，汽車 $21,243$）相比，下一年的總產量預測將如何變化？
2. 如果汽車的外部需求進一步上升到 $21,500$（因為新車更便宜），預測下一年的總產量。

問題 3

此表給出了汽車-鋼鐵系統在不同年份（1947 年）的數字（參見 Leontief 1951）。這裡的單位是十億 1947 年美元。

	由......使用     鋼鐵	由......使用     汽車	由......使用     其他	總數
價值     鋼鐵	6.90	1.28		18.69
價值     汽車	0	4.40		14.27

1. 如果下一年的外部需求為：鋼鐵需求增長 10%，汽車需求增長 15%，求解總產量。
2. 這些比率與上面討論的 1958 年經濟中的比率相比如何？
3. 用 1958 年的外部需求求解 1947 年的方程（注意單位的不同；1947 年的 1 美元大約相當於 1958 年的 1.3 美元）。總產量預測的偏差有多大？

問題 4

預測下面顯示的假設經濟中三個部門在下一年的總產量。

	由......使用     農業	由......使用     鐵路	由......使用     航運	由......使用     其他	總數
價值     農業	25	50	100		500
價值     鐵路	25	50	50		300
價值     航運	15	10	0		500

如果下一年的外部需求如所述。

1. 農場需求為 $625$，鐵路需求為 $200$，海運需求為 $475$。
2. 農場需求為 $650$，鐵路需求為 $150$，海運需求為 $450$。

問題 5

該表格顯示了經濟中三個部門之間的相互關係（參見 Clark & Coupe 1967）。

	由......使用     食品	由......使用     批發	由......使用     零售	由......使用     其他	總數
價值     食品	0	2 318	4 679		11 869
價值     批發	393	1 089	22 459		122 242
價值     零售	3	53	75		116 041

我們將對該系統進行投入產出分析。

1. 填寫今年的外部需求數字。
2. 建立線性系統，將明年的外部需求留空。
3. 求解系統，其中明年的外部需求透過將今年的外部需求膨脹 10% 來計算。三個部門的總業務量是否都增加了 10%？它們甚至都以相同的速度增長嗎？
4. 求解系統，其中明年的外部需求透過將今年的外部需求減少 7% 來計算。（這些資料來源的研究得出結論，由於當地軍事設施的關閉，該地區的總個人收入將下降 7%，因此這可能是對實際發生情況的初步猜測。）

解決方案

參考資料

• Leontief, Wassily W. (1951), "Input-Output Economics", Scientific American, 185 (4): 15 {{引用}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
• Leontief, Wassily W. (1965), "The Structure of the U.S. Economy", Scientific American, 212 (4): 25 {{引用}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
• Clark, David H.; Coupe, John D. (1967), "The Bangor Area Economy Its Present and Future", Reprot to the City of Bangor, ME {{引用}}: 引用有一個空的未知引數: |1= (幫助); 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).