線性代數/主題：射影幾何/解答

解答

問題 1

這個點的方程是什麼？

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

從點積

$0={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}L_{1}&L_{2}&L_{3}\end{pmatrix}}=L_{1}$

我們得到方程為$L_{1}=0$.

問題 2

1. 在射影平面上找到與這兩個點相交的直線。

   ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}$

2. 找到與這兩條射影線相交的點。

   ${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}$

答案

1. 這個行列式

   $0={\begin{vmatrix}1&4&x\\2&5&y\\3&6&z\end{vmatrix}}=-3x+6y-3z$

   表明這條直線是$L={\begin{pmatrix}-3&6&-3\end{pmatrix}}$.
2. ${\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}}$

問題 3

找到與兩個射影點相交的直線的公式。找到與兩條射影線相交的點的公式。

答案

與

$u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

可以從這個行列式方程中找到。

$0={\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&x\\u_{2}&v_{2}&y\\u_{3}&v_{3}&z\end{vmatrix}}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\cdot x+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\cdot y+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\cdot z$

兩條直線交點處的方程式相同。

問題 4

證明入射的定義與$p$和$L$的代表選取無關。也就是說，如果$p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$，和$q_{1}$，$q_{2}$，$q_{3}$是$p$的兩個齊次座標三元組，而$L_{1}$，$L_{2}$，$L_{3}$，和$M_{1}$，$M_{2}$，$M_{3}$是$L$的兩個齊次座標三元組，證明當且僅當$p_{1}L_{1}+p_{2}L_{2}+p_{3}L_{3}=0$時，$q_{1}M_{1}+q_{2}M_{2}+q_{3}M_{3}=0$。

答案

如果 $p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$ 和 $q_{1}$，$q_{2}$，$q_{3}$ 是 $p$ 的兩個齊次座標三元組，那麼這兩個列向量成比例，也就是說，它們位於透過原點的同一條直線上。類似地，這兩個行向量也成比例。

$k\cdot {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}\qquad m\cdot {\begin{pmatrix}L_{1}&L_{2}&L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{1}&M_{2}&M_{3}\end{pmatrix}}$

然後相乘得到答案 $(km)\cdot (p_{1}L_{1}+p_{2}L_{2}+p_{3}L_{3})=q_{1}M_{1}+q_{2}M_{2}+q_{3}M_{3}=0$。

問題 5

繪製一個圖形以表明中心投影不保留圓形，即圓形可能會投影為橢圓形。一個（非圓形）橢圓形可以投影為圓形嗎？

答案

日食的圖片——除非像平面恰好垂直於從太陽穿過針孔的直線——會顯示太陽的圓形投影為一個橢圓形的影像。（另一個例子是，在本主題中的許多圖片中，球體的赤道圓被繪製為橢圓形，也就是說，被觀看圖片的觀眾看到為橢圓形。）

日食圖片也顯示了反過來。如果我們把投影想象成從左到右穿過針孔，那麼橢圓形 $I$ 透過 $P$ 投影到圓形 $S$。

問題 6

給出投影平面的對映模態的非赤道部分與平面 $z=1$ 之間的對應關係的公式。

答案

單位球體上的一個點

${\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}$

當且僅當 $p_{3}\neq 0$ 時，它是非赤道的。在這種情況下，它對應於 $z=1$ 平面上的這一點。

${\begin{pmatrix}p_{1}/p_{3}\\p_{2}/p_{3}\\1\end{pmatrix}}$

因為這是包含向量直線和平面的交點。

問題 7

(帕普斯定理) 假設 $T_{0}$、$U_{0}$ 和 $V_{0}$ 是共線的，並且 $T_{1}$、$U_{1}$ 和 $V_{1}$ 是共線的。考慮以下三個點：(i) 直線 $T_{0}U_{1}$ 和 $T_{1}U_{0}$ 的交點 $V_{2}$，(ii) 直線 $T_{0}V_{1}$ 和 $T_{1}V_{0}$ 的交點 $U_{2}$，以及 (iii) 直線 $U_{0}V_{1}$ 和 $U_{1}V_{0}$ 的交點 $T_{2}$。

1. 畫一張（歐幾里得）圖。
2. 應用德扎格定理中使用的引理，為 $T$ 和 $V_{0}$ 獲得簡單的齊次座標向量。
3. 求 $U$ 的齊次座標向量（這些向量必須包含引數，例如 $U_{0}$ 可以位於 $T_{0}V_{0}$ 直線上）。
4. 求 $V_{1}$ 的齊次座標向量。（提示：它包含兩個引數。）
5. 求 $V_{2}$ 的齊次座標向量。（它也包含兩個引數。）
6. 證明三個引數的乘積為 $1$。
7. 驗證 $V_{2}$ 位於 $T_{2}U_{2}$ 直線上。

答案

1. 可能存在其他圖，但這是一個示例。

   

   交點 $T_{0}U_{1}\,\cap T_{1}U_{0}=V_{2}$，$T_{0}V_{1}\,\cap T_{1}V_{0}=U_{2}$ 和 $U_{0}V_{1}\,\cap U_{1}V_{0}=T_{2}$ 標記為，使得每條線上都有一個 $T$，一個 $U$ 和一個 $V$。

2. 德扎格定理中使用的引理給出了一個基底 $B$，相對於這個基底，這些點具有以下齊次座標向量。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {t}}_{0})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {t}}_{1})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {t}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{0})={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

3. 首先，任何$U_{0}$ 在 $T_{0}V_{0}$ 上

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}}_{0})=a{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+b\\b\\b\end{pmatrix}}$

   具有此形式的齊次座標向量

   ${\begin{pmatrix}u_{0}\\1\\1\end{pmatrix}}$

   ($u_{0}$ 是一個引數；它取決於點 $U_{0}$ 在 $T_{0}V_{0}$ 線上的位置，但該線上任何點都具有這種形式的齊次座標向量，對於某些 $u_{0}\in \mathbb {R}$）。類似地，$U_{2}$ 在 $T_{1}V_{0}$ 上

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}}_{2})=c{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d\\c+d\\d\end{pmatrix}}$

   因此，該向量具有以下齊次座標向量。

   ${\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}$

   類似地，$U_{1}$ 與 $T_{2}V_{0}$ 相交。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}}_{1})=e{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+f{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f\\f\\e+f\end{pmatrix}}$

   該向量具有以下齊次座標向量。

   ${\begin{pmatrix}1\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}$

4. 因為 $V_{1}$ 是 $T_{0}U_{2}\,\cap \,U_{0}T_{2}$，所以我們有以下結果。

   $g{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}=i{\begin{pmatrix}u_{0}\\1\\1\end{pmatrix}}+j{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{aligned}g+h&=iu_{0}\\hu_{2}&=i\\h&=i+j\end{aligned}}$

   將 $hu_{2}$ 代入第一個方程中的 $i$

   ${\begin{pmatrix}hu_{0}u_{2}\\hu_{2}\\h\end{pmatrix}}$

   表明 $V_{1}$ 具有這個雙引數齊次座標向量。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{2}\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}$

5. 由於 $V_{2}$ 是交點 $T_{0}U_{1}\,\cap \,T_{1}U_{0}$

   $k{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+l{\begin{pmatrix}1\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}u_{0}\\1\\1\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{aligned}k+l&=nu_{0}\\l&=m+n\\lu_{1}&=n\end{aligned}}$

   並用 $lu_{1}$ 代替第一個等式中的 $n$

   ${\begin{pmatrix}lu_{0}u_{1}\\l\\lu_{1}\end{pmatrix}}$

   表明 $V_{2}$ 具有這個雙引數齊次座標向量。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{1}\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}$

6. 因為 $V_{1}$ 在 $T_{1}U_{1}$ 直線上，它的齊次座標向量形式為

   $p{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}1\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q\\p+q\\qu_{1}\end{pmatrix}}\qquad (*)$

   但這個問題的前一部分已經確定 $V_{1}$ 的齊次座標向量具有以下形式

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{2}\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}$

   因此，這是 $V_{1}$ 的齊次座標向量。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{1}u_{2}\\u_{1}u_{2}\\u_{1}\end{pmatrix}}\qquad (**)$

   根據 ($*$) 和 ($**$)，三個引數之間存在關係： $u_{0}u_{1}u_{2}=1$。
7. $V_{2}$ 的齊次座標向量可以這樣寫。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{1}u_{2}\\u_{2}\\u_{1}u_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\u_{1}u_{2}\end{pmatrix}}$

   現在，$T_{2}U_{2}$ 線由齊次座標具有以下形式的點組成。

   $r{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s\\su_{2}\\r+s\end{pmatrix}}$

   取 $s=1$ 和 $r=u_{1}u_{2}-1$ 表明 $V_{2}$ 的齊次座標向量具有以下形式。