線性代數/酉矩陣和厄米矩陣

酉矩陣

值得關注的是“等距”的線性對映，也稱為“距離保持對映”。這種對映也稱為“等距”。讓 $u:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 表示任意等距線性對映。回想一下，在關於 正交矩陣 的章節中，任何將 ${\vec {0}}$ 對映到 ${\vec {0}}$ 的等距對映是線性的。

等距的距離保持性質也意味著角度被保留。如果 ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {C} ^{n}$ 是任意向量，則點積在等距變換下保持不變： $u({\vec {a}})\cdot u({\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$.

的標準基向量 $\mathbb {C} ^{n}$，${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}$，都是單位長度，並且彼此正交：${\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\left\{{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}}\right.$

如果 $U={\text{Rep}}(u)={\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&\dots &{\vec {u}}_{n}\\\end{pmatrix}}$ 是描述等距線性對映 $u$ 的矩陣，那麼列 ${\vec {u}}_{i}=u({\vec {e}}_{i})$ 也都是單位長度並且互相正交：${\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {u}}_{j}=\left\{{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}}\right.$

矩陣的“厄米特轉置”是矩陣的轉置，並對複數進行共軛操作

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,m}\\\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}a_{1,1}^{*}&a_{2,1}^{*}&\dots &a_{n,1}^{*}\\a_{1,2}^{*}&a_{2,2}^{*}&\dots &a_{n,2}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,m}^{*}&a_{2,m}^{*}&\dots &a_{n,m}^{*}\\\end{pmatrix}}$

矩陣 $U$ 的列向量正交歸一的性質意味著矩陣 $U$ 的逆矩陣就是它的共軛轉置矩陣: $U^{-1}=U^{H}$。任何逆矩陣等於其共軛轉置矩陣的矩陣被稱為“酉矩陣”。酉矩陣 $U$ 的關鍵性質是矩陣 $U$ 是方陣，且 $U^{H}U=UU^{H}=I$（注意 $I={\text{Rep}}({\text{id}})$ 是單位矩陣）。酉矩陣表示等距線性對映。

厄米特矩陣

給定一個 $n\times n$ 的方陣 $A$，類似於矩陣 $A$ 是對稱矩陣，當 $A^{T}=A$ 時，矩陣 $A$ 是厄米特矩陣，當 $A^{H}=A$ 時，意味著 $A$ 中對角線相對的元素互為複共軛。

例如，$A={\begin{pmatrix}4&6i\\6i&5\end{pmatrix}}$ 是對稱矩陣但不是厄米特矩陣，而 $A={\begin{pmatrix}4&6i\\-6i&5\end{pmatrix}}$ 是厄米特矩陣但不是對稱矩陣。

二次型

給定一個方陣$n\times n$ $A$，其中所有元素都是實數，函式$Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ 是${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 元素的二次函式，被稱為“二次型”。二次型中所有項的次數都是 2。例如，給定二次型$Q(x_{1},x_{2})=4x_{1}^{2}-7x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}$，$Q(x_{1},x_{2})$ 可以表示為

$Q{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-7\\0&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}$

或

$Q{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-3.5\\-3.5&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}$

項 $x_{i}x_{j}$ 的係數，對於 $i\neq j$，是 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 項的和。然後，將 $x_{i}x_{j}$ 的係數在 $(i,j)$ 和 $(j,i)$ 項之間進行分配，實質上要求 $A$ 是對稱的：$A^{T}=A$.

推廣到複數，考慮二次型 $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}$，其中 ${\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ 是任意的。要求 $A$ 是厄米特的，類似於在實數情況下要求 $A$ 是對稱的。 $Q({\vec {x}})$ 總是返回一個實數，如果 $A$ 是厄米特的。

定理

如果 $A$ 是厄米特的，那麼二次型 $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}$ 總是返回一個實數。

證明

$\forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}\in \mathbb {R} \iff \forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}=({\vec {x}}^{H}A{\vec {x}})^{*}\iff \forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}={\vec {x}}^{H}A^{H}{\vec {x}}$

由於 $A^{H}=A$ 是厄米特矩陣，所以 $Q({\vec {x}})$ 總是返回一個實數。