線性代數/向量空間與子空間

向量空間是一種泛化向量集的概念的方法。例如，複數 2+3i 可以被視為一個向量，因為它在某種程度上是向量 ${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ .

向量空間是這種抽象物件的“空間”，我們稱之為“向量”。

一些熟悉的朋友

在我們目前對向量的研究中，我們已經研究了具有實數項的向量： $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},...,\mathbb {R} ^{n}$ ，等等。這些都是向量空間。我們在抽象到向量空間中獲得的優勢是能夠在不選擇任何特定物件（定義我們的向量）、運算（作用於我們的向量）或座標（在空間中識別我們的向量）的情況下談論一個空間。更進一步的結果可以應用於可能具有無限維度的更一般空間，例如在泛函分析中。

符號和概念

我們像以前一樣寫一個向量，用粗體，但你應該在紙上寫下劃線或在上面加一個箭頭。所以我們寫 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 表示那個向量。

當我們用標量數乘以一個向量時，我們通常用希臘字母表示它，寫 λv 表示向量 v 被標量 λ 乘以。我們將向量的加法和減法寫成我們以前做過的，x+y 表示向量 x 和 y 的和。

有了標量乘法和向量加法，我們可以轉向我們對向量空間的定義。

當我們說一個運算在定義中是“封閉”時，我們是在說這個運算的結果沒有違反我們的定義。例如，如果我們檢視所有整數的集合，我們可以說它是關於加法封閉的，因為任何整數的加法都會得到整數集合中的一個元素。但是整數集合關於除法不封閉，因為 3 除以 2（例如）不會得到整數集合中的一個元素。

定義

向量空間是一個非空集合 V，其中包含稱為向量的物件，並定義了兩個運算，分別稱為向量加法和標量乘法，使得對於 $x,y\in V$ 和 α $\in F$ ，x+y 和 αx 是 V 中定義明確的元素，具有以下性質

加法的交換律：x+y=y+x
加法的結合律：x+(y+z)=(x+y)+z
加法單位元：存在一個向量 0 使得對於所有 x，0+x=x
加法逆元：對於每個向量 x，都存在另一個向量 y 使得 x+y =0
標量結合律：α(βx) = (αβ)x
標量分配律：(α + β)x=αx+βx
向量分配律：α(x+y)=αx+αy
標量單位元：1x=x

另一種定義

熟悉群論和域論的人可能會發現以下另一種定義更簡潔

$(V,+)$ 是一個阿貝爾群.
$\forall \alpha \in F,(\forall x,y\in V),\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x)$
$\forall x\in V,1x=x$

子空間

子空間是向量空間內部的向量空間。當我們觀察各種向量空間時，經常需要考察它們的子空間。

向量空間 V 的子空間 S 是指 S 是 V 的子集，並且它具有以下關鍵特徵：

S 對標量乘法封閉：如果 λ∈R，v∈S，則 λv∈S。
S 對加法封閉：如果 u，v ∈ S，則 u+v∈S。
S 包含 0，即零向量。

任何具有這些特徵的子集都是子空間。

示例

讓我們考察一些常見向量空間的子空間，並看看如何證明向量空間的某個子集實際上是一個子空間。

平凡子空間

在 R² 中，包含零向量 ({0}) 的集合是 R² 的子空間。

標量乘法封閉性：對於 R 中的所有 a，有 a 0=0。

加法封閉性：0+0=0。由於 0 是該集合中唯一的成員，因此我們只需要檢查 0。

零向量：0 是該集合中唯一的成員，它也是零向量。

一個稍微不平凡的子空間

在 R² 中，所有來自 R² 的形式為 (0,α) 的向量集合 V，其中 α∈R，是一個子空間。

標量乘法封閉性：a (0,α) = (0,a α)，其中 a α∈R。

加法封閉性：(0,α) +(0,β) =(0, α + β)，其中 α + β∈R。

零向量：在 V 中，將 α 取為零，我們得到零向量 (0,0)。

一系列子空間

從 R 中選擇任意數字，比如 ρ。那麼形式為 (α, ρα) 的所有向量的集合 V 是 R² 的子空間。

標量乘法封閉性：a (α, ρα) = (aα, ρaα)，它屬於 V。

加法封閉性：(α, ρα) +(β, ρβ) =(α + β, ρα + ρβ) = (α+β, ρ(α+β))，它屬於 V。

零向量：將 α 取為零，我們得到 (0, ρ0) = (0,0)，它屬於 V。

這意味著 V₂ = 所有形式為 (α,2α) 的向量的集合是 R² 的子空間。

而 V₃ = 所有形式為 (α,3α) 的向量的集合是 R² 的子空間。

而 V₄ = 所有形式為 (α,4α) 的向量的集合是 R² 的子空間。

而 V₅ = 所有形式為 (α,5α) 的向量的集合是 R² 的子空間。

而 V_π = 所有形式為 (α,πα) 的向量的集合是 R² 的子空間。

而 V_√2 = 所有形式為 $(\alpha ,{\sqrt {2}}\alpha )$ 的向量的集合是 R² 的子空間。

正如你所見，即使是像 R² 這樣的簡單向量空間也可以有許多不同的子空間。

線性組合、生成空間和生成集、線性相關性和線性

線性組合

定義：假設 $V$ 是一個在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 向量空間，並且 $S$ 是 $V$ 的一個非空子集。那麼，向量 $x\in V$ 被稱為是 $S$ 中元素的 線性組合，如果存在有限數量的元素 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in S$ 以及 $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F$ 使得 $x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...a_{n}y_{n}$ 。

生成空間

定義：假設 $V$ 是一個在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 向量空間。所有 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V$ 的線性組合的集合稱為 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的 生成空間。有時用 $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ 表示。

注意 $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V)$ 是 $V$ 的子空間。

證明：考慮兩個向量 x 和 y 在向量 ${v_{1},v_{2},...,v_{n}}.$ 的跨度內進行加法和標量乘法的封閉性。

$x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}$

$y=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+...+b_{n}v_{n}$

$x+y=(a_{1}+b_{1})*v_{1}+(a_{2}+b_{2})*v_{2}+...+(a_{n}+b_{n})*v_{n}$ ，它也包含在集合中。

$k*x=(k*a_{1})v_{1}+(k*a_{2})v_{2}+...+(k*a_{n})v_{n}$ ，它也包含在集合中。

生成集

定義：假設 $V$ 是一個在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空間*， $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 是該向量空間中的向量。集合 ${y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ 是向量空間 $V$ 的 **生成集** 當且僅當 $V$ 中的每個向量都是 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的線性組合。或者， $\forall x\in V,(\exists a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F),x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{n}y_{n}$

線性無關

定義：假設 $V$ 是一個在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空間*， $S=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是 $V$ 的一個有限子集。那麼我們說 $S$ 是線性無關的，如果 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...a_{n}x_{n}=0$ 意味著 $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0$ 。線性無關是線性代數中一個非常重要的主題。這個定義意味著線性相關的向量可以形成零向量作為非平凡的組合，由此我們可以得出結論，其中一個向量可以表示為其他向量的線性組合。