線性代數/空間中的向量/解答

解答

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問題 1

找出每個向量的規範名稱。

從 $(2,1)$ 到 $(4,2)$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的向量
從 $(3,3)$ 到 $(2,5)$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的向量
從 $(1,0,6)$ 到 $(5,0,3)$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的向量
從 $(6,8,8)$ 到 $(6,8,8)$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的向量

答案

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

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問題 2

判斷這兩個向量是否相等。

從 $(5,3)$ 到 $(6,2)$ 的向量，以及從 $(1,-2)$ 到 $(1,1)$ 的向量。
從 $(2,1,1)$ 到 $(3,0,4)$ 的向量，以及從 $(5,1,4)$ 到 $(6,0,7)$ 的向量。

答案

不，它們的標準位置不同。
${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}$
是的，它們的標準位置相同。
${\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}$

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問題 3

點 $(1,0,2,1)$ 是否在經過 $(-2,1,1,0)$ 和 $(5,10,-1,4)$ 的直線上？

答案

該直線是這個集合。

\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}7\\9\\-2\\4\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}

注意，這個系統

{\begin{array}{*{2}{rc}r}-2&+&7t&=&1\\1&+&9t&=&0\\1&-&2t&=&2\\0&+&4t&=&1\end{array}}

無解。因此，給定點不在直線上。

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問題 4

描述經過點 $(1,1,5,-1)$ 、 $(2,2,2,0)$ 和 $(3,1,0,4)$ 的平面。
原點在這個平面上嗎？

答案

請注意
${\begin{pmatrix}2\\2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\5\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3\\1\\0\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\5\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\-5\\5\end{pmatrix}}$
因此，該平面是以下集合。
$\{{\begin{pmatrix}1\\1\\5\\-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\0\\-5\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$
不，該方程組
${\begin{array}{*{3}{rc}r}1&+&1t&+&2s&=&0\\1&+&1t&&&=&0\\5&-&3t&-&5s&=&0\\-1&+&1t&+&5s&=&0\end{array}}$
無解。

問題 5

描述包含該點和直線的平面。

{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}\qquad \{{\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}

答案

向量

{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}

不在直線上。因為

{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}}

該平面可以這樣描述。

\{{\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\end{pmatrix}}+m{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}}\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}

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問題 6

求這些平面的交線。

\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}\qquad \{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}

答案

重合點是這個方程組的解。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}t&&&=&1+2m\\t&+&s&=&1+3k\\t&+&3s&=&4m\end{array}}

高斯消元法

\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&0&-2&1\\1&1&-3&0&1\\1&3&0&-4&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&0&-2&1\\0&1&-3&2&0\\0&3&0&-2&-1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&0&-2&1\\0&1&-3&2&0\\0&0&9&-8&-1\end{array}}\right)

得到 $k=-(1/9)+(8/9)m$ ，因此 $s=-(1/3)+(2/3)m$ 和 $t=1+2m$ 。交線如下。

\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}(-{\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}m)+{\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,m\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}1\\2/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\8/3\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,m\in \mathbb {R} \}

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問題 7

如果可能，求每對直線的交點。

$\{{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
$\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ , $\{s{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}+w{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s,w\in \mathbb {R} \}$

答案

方程組
${\begin{array}{*{1}{rc}r}1&=&1\\1+t&=&3+s\\2+t&=&-2+2s\end{array}}$
得到 $s=6$ 和 $t=8$ ，因此這就是解集。
$\{{\begin{pmatrix}1\\9\\10\end{pmatrix}}\}$
這個系統
${\begin{array}{*{1}{rc}r}2+t&=&0\\t&=&s+4w\\1-t&=&2s+w\end{array}}$
給出 $t=-2$ ， $w=-1$ ，以及 $s=2$ ，所以它們的交點是這個點。
${\begin{pmatrix}0\\-2\\3\end{pmatrix}}$

問題 8

當平面不經過原點時，對位於平面上的向量的操作比平面經過原點時更復雜。考慮本節中平面

\{{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}-0.5\\0\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}

以及它所顯示的三個向量，其端點為 $(2,0,0)$ ， $(1.5,1,0)$ ，以及 $(1.5,0,1)$ 。

重新繪製圖像，包括平面中長度是端點為 $(1.5,1,0)$ 的向量的兩倍的向量。你的向量的端點不是 $(3,2,0)$ ；它是什麼？
重新繪製圖像，包括平面中顯示端點為 $(1.5,0,1)$ 和 $(1.5,1,0)$ 的向量的和的平行四邊形。和的端點，在對角線上，不是 $(3,1,1)$ ；它是什麼？

答案

所示向量

不是將

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 1$

加倍的結果，而是

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 2={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$

它的引數是原來的兩倍。
向量

不是由以下式子相加的結果

$({\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 1)+({\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot 1)$

加倍的結果，而是

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 1+{\begin{pmatrix}-0.5\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot 1={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

它只是將引數相加。

問題 9

證明線段 ${\overline {(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2})}}$ 和 ${\overline {(c_{1},c_{2})(d_{1},d_{2})}}$ 的長度和斜率相同，如果 $b_{1}-a_{1}=d_{1}-c_{1}$ 且 $b_{2}-a_{2}=d_{2}-c_{2}$ 。這是唯一的條件嗎？

答案

"如果"部分的證明很簡單。如果 $b_{1}-a_{1}=d_{1}-c_{1}$ 且 $b_{2}-a_{2}=d_{2}-c_{2}$ ，那麼

{\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}={\sqrt {(d_{1}-c_{1})^{2}+(d_{2}-c_{2})^{2}}}

因此它們的長度相同，斜率也易於計算。

{\frac {b_{2}-a_{2}}{b_{1}-a_{1}}}={\frac {d_{2}-c_{2}}{d_{1}-a_{1}}}

(如果分母為 $0$ ，則它們都具有未定義的斜率)。

對於“當且僅當”，假設兩條線段具有相同的長度和斜率（未定義斜率的情況很容易；我們將處理兩條線段都具有斜率 $m$ 的情況）。此外，不妨假設 $a_{1}<b_{1}$ 且 $c_{1}<d_{1}$ 。第一條線段是 ${\overline {(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2})}}=\{(x,y)\,{\big |}\,y=mx+n_{1},\;x\in [a_{1}..b_{1}]\}$ （對於某些截距 $n_{1}$ ），第二條線段是 ${\overline {(c_{1},c_{2})(d_{1},d_{2})}}=\{(x,y)\,{\big |}\,y=mx+n_{2},\;x\in [c_{1}..d_{1}]\}$ （對於某些 $n_{2}$ ）。然後這些線段的長度為

{\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+((mb_{1}+n_{1})-(ma_{1}+n_{1}))^{2}}}={\sqrt {(1+m^{2})(b_{1}-a_{1})^{2}}}

並且，類似地， ${\sqrt {(1+m^{2})(d_{1}-c_{1})^{2}}}$ 。因此， $|b_{1}-a_{1}|=|d_{1}-c_{1}|$ 。因此，正如我們假設的 $a_{1}<b_{1}$ 並且 $c_{1}<d_{1}$ ，我們有 $b_{1}-a_{1}=d_{1}-c_{1}$ 。

另一個等式類似。

問題 10

如何定義 $\mathbb {R} ^{0}$ ？

答案

我們將在後面定義它為一個包含一個元素的集合——一個“原點”。

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問題 11

一個人以 $3$ 英里/小時的速度向東行駛，發現風看起來是從正北方向吹來的。當他將速度提高到兩倍時，風看起來是從東北方向吹來的。風的實際速度是多少？（Klamkin 1957）

答案

考慮這個人以 3 英里/小時的速度行駛，同一個人以 6 英里/小時的速度行駛，真風，人以 3 英里/小時的速度行駛時的視風以及人以 6 英里/小時的速度行駛時的視風，分別作為向量 ${\vec {p}}_{1}=\left(3,0\right),{\vec {p}}_{2}=\left(6,0\right),{\vec {w}}=\left(x,y\right),{\vec {a}}_{1}$ 和 ${\vec {a}}_{2}$ 在一個二維空間中，其中東和北分別位於 x 軸和 y 軸的正方向。

從之前的考慮和視風是真風速度減去人運動速度的向量和的事實來看，我們有 ${\begin{cases}{\vec {a}}_{1}=\left(x,y\right)-\left(3,0\right)\\{\vec {a}}_{2}=\left(x,y\right)-\left(6,0\right)\end{cases}}$ 。

從題目中我們知道 ${\vec {a}}_{1}$ 與 ${\vec {p}}_{1}$ 正交。這意味著 ${\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{1}=0\implies \left(\left(x,y\right)-\left(3,0\right)\right)\cdot \left(3,0\right)=0\implies \left(x-3\right)3+\left(y-0\right)0=0\implies 3x-9=0\implies x=3$ .

題目還指出，方向向量為 ${\vec {a}}_{2}$ 的直線與方向向量為 ${\vec {p}}_{2}$ 的直線形成 45° 角。這意味著 ${\vec {a}}_{2}\cdot {\vec {p}}_{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left|{\vec {a}}_{2}\right|\left|{\vec {p}}_{2}\right|\implies \left(\left(x,y\right)-\left(6,0\right)\right)\cdot \left(6,0\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left|\left(x,y\right)-\left(6,0\right)\right|\left|\left(6,0\right)\right|\implies \left(x-6\right)6+\left(y-0\right)0={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\sqrt {\left(x-6\right)^{2}+\left(y-0\right)^{2}}}\right)6\implies x-6={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {x^{2}-12x+36+y^{2}}}$ .

從上面我們知道 $x=3$ ，所以： $x-6={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {x^{2}-12x+36+y^{2}}}\implies 3-6={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {9-36+36+y^{2}}}\implies -3={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {9+y^{2}}}\implies 9={\frac {9+y^{2}}{2}}\implies 9=y^{2}\implies y=\pm 3$

方程 ${\vec {a}}_{1}=\left(x,y\right)-\left(3,0\right)$ 以及視風 ${\vec {a}}_{1}$ 來自北方的這一事實意味著 $y<0$ ，所以 $y=-3$

真風的速率 ${\vec {w}}$ 是 $\left(3,-3\right)$ ，其大小為 ${\sqrt {3^{2}+\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {18}}=3{\sqrt {2}}$ .

這是引用的來源中給出的答案。

向量三角形如下，所以 ${\vec {w}}=3{\sqrt {2}}$ 來自西北方向。

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問題 12

歐幾里得將平面描述為“一個與它自身上的直線均勻平行的表面”。評論家（如希羅）將此解釋為“(平面表面是) 這樣的，如果一條直線穿過它上面的兩點，這條線在各個方面的所有地方完全與它重合”。（來自希思 1956 年的翻譯，第 171-172 頁。）在本節中描述的平面是否具有這種性質？這種描述是否充分定義了平面？

答案

歐幾里得無疑是在設想 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的平面。然而，請注意， $\mathbb {R} ^{1}$ 和 $\mathbb {R} ^{3}$ 也滿足該定義。

參考文獻

Klamkin, M. S. (提出者) (1957), "Trickie T-27", 數學雜誌, 30 (3): 173 {{引用}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
Heath, T. (1956), 歐幾里得幾何原本, 第 1 卷, Dover.