物理數學方法/向量空間

正如在初等物理學中所見，向量的概念，即具有“大小”和“方向”的量（無論這些是什麼）在物理學的幾個部分中非常方便。在這裡，我們希望將這個想法放線上性代數的嚴格基礎上，以方便其在物理學中的進一步應用。鼓勵感興趣的讀者查閱華夏公益教科書線性代數以瞭解該主題的複雜細節。

向量空間

設$F$為域，設$V$為一個集合。$V$被稱為在$F$上的向量空間，以及加法和標量乘法的二元運算，當且僅當

$\forall \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} \in V$

(i) $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$ ...(交換律)

(ii) $\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C}$ ...(結合律)

(iii) $\exists \mathbf {0} \in V$使得$\mathbf {A} +\mathbf {0} =\mathbf {A}$ ...(單位元)

(iv)$\exists (\mathbf {-A} )\in V$使得$\mathbf {A} +\mathbf {-A} =\mathbf {0}$ ...(逆元)

$\forall$ $a,b\in F$

(v) $(a+b)\mathbf {A} =a\mathbf {A} +b\mathbf {A}$

(vi)$a(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=a\mathbf {A} +a\mathbf {B}$

(vii)$a(b\mathbf {A} )=(ab)\mathbf {A}$

向量空間 $V$ 的元素被稱為 **向量**，而標量域 $F$ 的元素被稱為 **標量**。在大多數物理學問題中，標量域 $F$ 要麼是實數集 $\mathbb {R}$，要麼是複數集 $\mathbb {C}$。

向量空間的例子

(i) $\mathbb {R} ^{n}$ 在 $\mathbb {R}$ 上可以被看作是普通物理學中 “箭頭” 型向量的空間。

(ii) 所有實係數多項式 $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ 的集合在 $\mathbb {R}$ 上是一個向量空間。

(iii) 事實上，所有函式 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 的集合在 $\mathbb {R}$ 上也是一個向量空間，加法和標量乘法按通常方式定義。

雖然將向量看作 “箭頭” 在大多數向量空間例子中都很好用，並且對解決問題很有幫助，但後兩個例子特意給出了這種直覺失效的情況。

基

集合 $E\subset V$ 被稱為 **線性無關** 當且僅當

$a_{1}\mathbf {E} _{1}+a_{2}\mathbf {E} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {E} _{n}=\mathbf {0}$ 意味著 $a_{1}=a_{2}=\ldots =0$，只要 $\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2},\ldots ,\mathbf {E} _{n}\in E$

如果對於每個 $\mathbf {A} \in V$，都存在 $e_{1},e_{2},\ldots$ 使得 $\mathbf {A} =e_{1}\mathbf {E} _{1}+e_{2}\mathbf {E} _{2}+\ldots$。（我們目前先不考慮項數的有限性）那麼稱集合 $E\subset V$ **覆蓋** $V$。

如果集合 $B\subset V$ 線性無關，並且集合 $B$ 覆蓋 $V$，則稱集合 $B\subset V$ 是 $V$ 的 **基**。

如果一個向量空間有一個包含 $n$ 個元素的有限基，則稱該向量空間是 **n 維** 的。

例如，我們可以考慮實數域上的向量空間 $\mathbb {R} ^{3}$。向量 $(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)$ 構成 $\mathbb {R} ^{3}$ 的多個可能的基之一。這些向量通常表示為 ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$ 或者 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$。

定理

令 $V$ 是一個向量空間，並令 $B=\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ 是 $V$ 的一個基。那麼，$V$ 中的任何具有 $n+1$ 個元素的子集都是線性相關的。

證明

令 $E\subset V$ 且 $E=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n+1}\}$

根據基的定義，存在標量 $a_{1i},a_{2i},\ldots ,a_{ni}$ 使得 $u_{i}=\displaystyle \sum _{m}a_{mi}\mathbf {b} _{m}$

因此我們可以寫成 $\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}c_{i}\mathbf {u} _{i}=\mathbf {0}$ 作為 $\displaystyle \sum _{m=1}^{n}\sum _{i=1}^{n+1}c_{i}a_{mi}\mathbf {b} _{m}=\mathbf {0}$ 也就是說

$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{1}a_{1m}=0$
$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{2}a_{2m}=0$
$\ldots$
$\displaystyle \sum _{m=1}^{n}c_{n+1}a_{3(n+1)}=0$

該方程對於 $c_{i}$ 有非平凡解。因此，$E$ 是線性相關的。

如果一個向量空間有一個包含 $n$ 個元素的有限基，我們說該向量空間是 **n 維的**

內積

關於內積空間的深入探討將在關於 希爾伯特空間 的章節中提供。這裡我們希望使用基來介紹內積。

設 $V$ 是在 $\mathbb {R}$ 上的向量空間，設 $B=\{\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$ 是 $V$ 的一個基。因此，對於 $V$ 中的每一個成員 $\mathbf {u}$，我們可以寫成 $\mathbf {u} =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}\mathbf {b} _{i}$。 $b_{i}$ 稱為 $\mathbf {u}$ 相對於基 $B$ 的 **分量**。

我們將 **內積** 定義為一個二元運算 $(\cdot ):V\times V\to \mathbb {R}$ 作為 $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\displaystyle \sum _{i}x_{i}y_{i}$，其中 $x_{i},y_{i}$ 是 $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ 相對於 $B$ 的分量。

注意這裡定義的內積本質上依賴於基。除非另有說明，我們將假設基為 ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$，在處理普通“向量”的內積時。

線性變換

設 $U$，$V$ 是 $F$ 上的向量空間。一個函式 $T:U\to V$ 被稱為線性變換，如果對所有 $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\in U$ 和 $c\in F$ 滿足

(i)$T(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2})=T(\mathbf {u} _{1})+T(\mathbf {u} _{2})$

(ii)$T(c\mathbf {u} _{1})=cT(\mathbf {u} _{1})$

現在設 $E=\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{m}\}$ 和 $F=\{\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\ldots ,\mathbf {f} _{n}\}$ 分別是 $U,V$ 的基。

設 $\mathbf {e'} _{i}=T(\mathbf {e} _{i})$。由於 $F$ 是一個基，我們可以寫成 $\mathbf {e'} _{i}=\sum _{j}a_{ij}\mathbf {f} _{j}$.

因此，根據線性性，我們可以說如果$T(\mathbf {u} )=\mathbf {v}$，我們可以用$\mathbf {u}$的成分表示$\mathbf {v}$的成分，表示為$v_{j}=\sum _{i}u_{i}a_{ij}$

係數的集合$a_{ij}$被稱為**矩陣**，寫作

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$，我們可以說$T$可以表示為關於基$E,F$的矩陣$\mathbf {A}$

特徵值問題

設$V$是實數域上的向量空間，設$T:V\to V$是線性變換。

形如 $T\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u}$ 的方程，用於求解 $\mathbf {u} \in V$ 和 $\lambda \in \mathbb {R}$，被稱為特徵值問題。解 $\lambda$ 被稱為 $T$ 的特徵值，而相應的 $\mathbf {u}$ 被稱為特徵向量或特徵函式。（這裡我們假設 $T\mathbf {u} =T(\mathbf {u} )$)