數學證明與數學原理/歷史/歐幾里得之後
在歐幾里得之後 2000 年裡，儘管數學整體發展很大，但公理方法的進展卻非常緩慢。希臘文化開始衰落，最終被羅馬帝國所吸收。羅馬人不像他們的前輩那樣對幾何學感興趣，他們對幾何學的邏輯結構更不感興趣。當羅馬滅亡時，歐洲大部分地區陷入了黑暗時代，但在阿拉伯世界和印度次大陸，數學的進步仍在繼續。（應該提一下，數學在世界其他地方獨立發展，但缺乏交流意味著這些知識不會在我們的故事中發揮重要作用。）
也許這一時期實用數學最重要的進步是十進位制算術的發明。隨著科學知識從阿拉伯人那裡逐漸傳入歐洲，十進位制算術進入了歐洲，但直到印刷術的使用才完全取代了現有的羅馬數字系統。
雖然幾何學的知識在這一時期得到了擴充套件，但數字的理解方式發生了更大的變化。很難想象一個世界，數字的概念與我們今天熟悉的概念不同。但是，如果你看一下幾何原本中的數字部分，很容易從它的結構和措辭中看出歐幾里得生活在一個這樣的世界裡。
首先，希臘人對比率的理解與我們不同。對他們來說，比率只存在於兩個類似的量之間，例如兩個長度。將速度定義為距離與時間的比率的想法對他們來說毫無意義。說希臘人知道無理數只是部分正確。他們知道不可公度的比率，這些比率在現代思維方式中對應於無理數，但他們不認為這些比率是數字。他們確實有除法的概念，即乘法的反面，但對他們來說，這是一個與評估比率不同的概念。
更微妙的是，他們認為數字是給定單位的倍數。這個單位可以分成若干個較小的單位，從這些較小的單位中，你可以得到原始單位的分數。但數字本身在以足夠小的原始單位分割表示時總是整數。用現代術語來說，數字對他們來說總是理性的。由於兩個數字具有相同的型別，歐幾里得認為在它們之間存在比率是可能的，但這實際上與用一個數字除以另一個數字不同。
他們沒有零或負數的概念。事實上，他們是否將 1 視為一個真正的數字都值得懷疑，因為他們認為數字與多數是同義詞。
這一時期的另一個創新是發明了表示數學概念的符號。今天使用的大多數符號都源於文藝復興時期。例如
- 等號（=）是由羅伯特·雷科德在 1557 年發明的
- 加號和減號（+ 和 -）首次出現在 1489 年約翰內斯·維德曼的一本書中。
負數和零是從印度透過阿拉伯人傳入歐洲的。儘管人們對它們是否代表任何真實的概念以及當一個問題的答案是負數時該怎麼辦存在疑慮，但由於它們使代數變得更加簡單和方便，人們還是接受了它們。並不是說它們從未出現問題。例如，只要你堅持加法、減法和乘法，零就可以，但像（用現代符號）a/0 這樣的表示式呢？它表示無窮大嗎？
至於負數，在算術運算方面，它們很好，一旦人們弄清楚了負數乘以負數等於正數這個相當奇怪的規則。但當你試圖比較它們的大小的時候，麻煩就來了。這有點牽強，但可以接受負數表示小於零的東西。但如果 -1<0<1，那麼 1/-1 必須 >1，那麼當然這意味著 -1 = 1/-1 > 1 > -1，這是不可能的。
對於這些問題，求助於直覺沒有用，因為零和負數從一開始就不直觀。歐幾里得也幫不了忙，因為他只處理正數和比率。因此，通常的做法是閉上眼睛，想想英國，繼續下去，直到得到答案。即使有明顯的問題，你得到的答案可能也是正確的，這引出了最大的悖論：不正確的方法怎麼能產生正確的結果呢？
然而，新的數字型別不斷出現。透過將負數與平方根結合起來，你得到了像 √-1 這樣的表示式，現在可能比所謂的“實數”不那麼熟悉，但在當時，它並不比一開始承認負數更糟糕。同樣，也有一些不當行為，例如 -1 = (√-1)×(√-1) = √((-1)×(-1)) = √1 = 1。但同樣，便利性因素以及你得到的結果仍然是正確的，這意味著這些問題被忽略了。在這種情況下，是在求解三次方程時使用它們。求解三次方程的方法包括求平方根，在許多情況下，根號下的量是負數。儘管如此，當進行計算並找到解時，它與原始方程相符。
隨著新的計算方法，特別是十進位制分數的引入，比率和商之間的區別正在消失。量作為數字和度量單位組合的概念正在接近其現代形式。但這意味著無理數的幾何解釋不再有效，因此希臘人精心構建的它們的邏輯基礎也不再成立。對數的發明引入了沒有幾何或代數基礎的無理數，但它們仍然非常有用。
微積分的發明使用了另一種新型數字，萊布尼茨公式中的無窮小和牛頓公式中的流數。流數和無窮小是相關的但不同的概念，但它們都被用來完成一種巧妙的技巧。為了找到瞬時變化率或曲線的切線的斜率，你計算了兩個非常小的量的商。從另一個角度來看牛頓和萊布尼茨所做的事情是，他們使用這兩個量實際上為零的假設來簡化這個除法的結果。因此，在計算的一部分中，這些量不為零，但在計算的另一部分中，它們為零。對於無窮小，萊布尼茨想象這些量無限小，但不知何故不為零。這樣一來，你可以在進行除法時將它們視為不為零，然後在稍後的最終結果中將它們視為太小而無法造成影響。流數以不同的方式做了同樣的事情。為了計算面積，無窮小以一種更可疑的方式使用。一個區域被分成無限多個無限薄的條帶，然後將條帶的面積加起來計算總面積。儘管存在哲學上的困難，但這種方法得出了正確答案，並且比早期的方法更容易。與其他創新一樣，微積分的實用性導致大多數人忽略了它有問題的基礎。
但對許多人來說，這是最後一根稻草，對微積分公式的公開批評開始出現。也許最著名的批評者是喬治·貝克萊，他在 18 世紀初出版了一本名為分析家的小冊子。貝克萊似乎是被一位數學家激發的，這位數學家說他論證上帝存在的論據不如嚴格。貝克萊的回應是採用了一種以牙還牙的論證；數學本身，特別是微積分，並沒有達到這位數學家對貝克萊的要求的嚴謹性標準。
越來越明顯的是，數學的基礎設施急需修復。但尚不清楚如何解決這些問題，這個問題持續了一個多世紀。