數學證明和數學原理/歷史/歐幾里得

大約公元前 300 年歐幾里得寫了幾何原本，這是有史以來最成功的教科書。它不僅在它被寫成後 2000 年仍在使用，而且對未來數學的發展產生了巨大影響，這些影響通常是歐幾里得無法預料到的。

幾何原本

幾何原本的大部分內容涉及幾何學，但也包含了我們現在稱為數論的內容。幾何學在歐幾里得之前已經研究了數千年，雖然它可能包含了一些原創材料（我們只是不知道），但它無疑旨在總結當時已知的更基本的結果，供學習這個主題的新生學習。

讓幾何原本與眾不同的是它的嚴謹性標準。早期的幾何學是一些隨機事實、經驗法則和近似的集合。歐幾里得的方法是從少量“基本原理”開始。這些包括公理、公設和定義，這些都要毫無疑問地被認為是正確的。歐幾里得使用這些術語時，它們之間存在差異，我們不需要深入細節，但定義旨在澄清所用術語的含義，而公理和公設被認為是不言自明的，要麼是因為它們是常識的產物，要麼是因為它們是基本的宇宙理解中顯而易見的。從堅實的基本原理開始，進一步的結果使用演繹邏輯新增，就像石頭一層一層地用水泥固定在一起，形成一座宏偉的塔樓。

事後看來，我們可以看到歐幾里得作品中的缺陷。但是，使用這種方法來創造一個如此廣泛的知識體系，並且在每個細節中都具有如此確定性的理想仍然存在。這種公理化方法是數學的特徵，也是所謂的形式科學的特徵。相比之下，科學方法是在更晚的時期經過更長的時間才發展起來的，它體現了所謂的自然科學。

歐幾里得的影響

由於人們對歐幾里得的瞭解實在太少，因此很難說幾何原本是如何被構建成現在的樣子的。但有兩個哲學家對它的影響是可以被察覺的。第一個是柏拉圖，他的理想理論。它指出現實世界中的每個物體都只是理想世界中完美版本的不完美複製品。歐幾里得幾何中的點、線和平面是現實世界中存在的理想化版本。在現實世界中，一個田野可能近似地是平坦的，但它也有岩石、溝壑，可能還有兔子洞或老樹樁。但歐幾里得幾何中的平面是現實世界中平坦、無特徵的完美版本。

幾何原本的結構幾乎肯定受到亞里士多德工具論的啟發。亞里士多德看到了避免迴圈推理需要基本原理。此外，歐幾里得對公理、公設和定義的使用幾乎完全符合亞里士多德的觀點。歐幾里得使用的邏輯比亞里士多德描述的要靈活得多，但公平地說，亞里士多德的邏輯不足以完成歐幾里得要求的任務。

使用邏輯方法建立幾何結果可以追溯到泰勒斯。然而，據我們所知，這些是孤立的定理，而不是歐幾里得所創造的那種統一整體的一部分。但他的方法幾乎肯定影響了柏拉圖和亞里士多德，因此成為了幾個世紀後發展起來的公理化方法的種子。

同樣地，希俄斯人希波克拉底（不要與醫生希波克拉底混淆）通常被認為是第一個將幾何學的闡述按邏輯順序排列的人。不幸的是，只有他的作品的片段還存在，因此不可能判斷它的邏輯排列程度或歐幾里得受到它的影響程度。

另一個可能的影響不是哲學上的，而是文化上的。托勒密一世，歐幾里得在亞歷山大城教學時統治者，非常積極地鼓勵知識的傳播和進步，並建立了著名的亞歷山大圖書館。（從歷史上看，這種態度似乎相當罕見，總的來說，君主往往漠不關心知識本身的追求，儘管有些人對此表示公開的敵意。）有些人聲稱，休閒階層的出現以及當時對實用事物普遍的厭惡也發揮了作用。