數學證明與數學原理/歷史/平行公理問題
改革數學基礎的一個重要步驟是發展了現在被稱為非歐幾何的東西。這源於人們認為《幾何原本》存在一個重大缺陷。實際上，正如我們之前提到的，《幾何原本》確實存在許多缺陷，無論大小，都是在事後才被發現的。
歐幾里得，效仿亞里士多德，區分了公理和公設。公理指的是那些普遍適用的真理，而公設則是與手頭主題相關的真理。因此，歐幾里得的五個公設並不包括像
從相等的東西中減去相等的東西，結果仍然相等。
這樣的陳述。公設包含關於點、線、圓和角的假設。例如
可以用任何中心和任何半徑畫一個圓。
這些公設中的大多數看起來簡單直觀，但第五公設既冗長又不太明顯。它的實際陳述是
如果一條直線與兩條直線相交，使得同側內角之和小於兩個直角，那麼這兩條直線如果無限延長，將在該側相交，且相交角小於兩個直角。
這看起來像一個可以從其餘公理和公設中證明的定理，但尋找這樣一個證明一直是一個懸而未決的問題。如果沒有找到證明，也許可以找到一個新的、更簡單、更明顯的公設來代替它。人們偶爾會發表錯誤的證明，但這些證明後來被發現存在邏輯錯誤，這反而使問題更加令人著迷。在之前也有一些關於該問題的進展，但第一個重大突破來自 18 世紀初的喬瓦尼·薩凱里，巧合的是，這與貝克萊寫《分析者》的時間一致。
但在詳細介紹這個問題之前，值得討論一下《幾何原本》中發現的其他一些問題。從第一卷第一命題開始，關於等邊三角形的作圖，歐幾里得在沒有證明的情況下就假設了他所畫的兩個圓存在交點。從圖中，它看起來似乎很明顯，兩個圓相交，但這並不能替代證明；有許多例子表明，從圖中看起來很明顯的東西實際上並不成立。在第一卷第四命題中，歐幾里得試圖證明，如果兩個三角形有兩條邊和它們的夾角相等，那麼這兩個三角形全等。證明使用了剛體運動，即三角形可以在平面上移動而不改變其性質的想法。至少需要一個公設才能使這成為一個有效的論證，但現代作者通常將第四命題本身作為公理。還有其他一些例子，但這些例子已經足夠說明，今天的證明標準與歐幾里得時代的標準非常不同。
薩凱里試圖找到一個證明，並於 1733 年發表了其結果，書名頗為雄心勃勃，叫做《歐幾里得從所有瑕疵中解脫出來》。他的方法是考慮一個所謂的薩凱里四邊形。（實際上，歐瑪爾·海亞姆早些時候就研究過這些，但數學中使用的名字往往不準確。另一方面，由於薩凱里的貢獻幾乎被歷史遺忘，直到 1889 年才被貝爾特拉米重新發現，也許現在看來是公平的。）一個薩凱里四邊形 ABCD 有兩條相對的邊 AD 和 BC 相等，且在 A 和 B 處有直角。可以證明，角 C 和 D 然後相等。利用平行公設，可以證明 C 和 D 實際上是直角，薩凱里四邊形只是一個矩形。同樣可以證明，如果 C 和 D 是直角，那麼平行公設必須成立，所以為了證明平行公設，只需要排除 C 和 D 是鈍角的情況，以及 C 和 D 是銳角的情況。這是一個關於將問題簡化為三種情況的眾多例子之一，而第五公設成立的情況在某種程度上處於其餘兩種情況的邊界。
可以使用剩下的四個公理來排除鈍角情況，但證明關鍵地利用了第二個公設，即一條直線可以無限延長。事實證明，球面幾何，因為其在天文方面的應用，其研究時間幾乎與平面幾何一樣長，是一個完全一致的幾何體系，其中第二個公設和第五公設都不成立。必須重新解釋“直線”一詞，使其表示“大圓”，並在術語上做出其他改變，但從純粹的邏輯角度來看，這種“球面幾何”與平面幾何相似，只是用新的公設代替了第二個和第五個公設。這個事實的重要性直到很久以後才被認識到。
剩下的就是銳角情況。薩凱里為這種假設的幾何發展了一套完整的理論，希望能推匯出矛盾。最後，他證明了在這個幾何中，兩個相似三角形必須全等的定理，他認為這個事實與空間的本質相矛盾。儘管沒有邏輯上的矛盾，只有一個違反直覺和經驗的陳述，但薩凱里仍然把證明留在了那裡。
雖然薩凱里的嘗試在技術上失敗了，但它具有影響力，因為它促使後來的作者考慮第五公設是否真的可以從其他四個公設中推匯出來，以及一種新的幾何型別，一種完全一致的幾何，是否可能從銳角情況中產生。其中一位是約翰·蘭伯特，他在 1766 年出版了《平行線理論》。這種“非歐幾何”可能仍然會證明是矛盾的，但與此同時，它產生了有趣的定理，並具有奇特的吸引力。
到 19 世紀初，研究這種新的假設幾何可能存在某種好處的想法引起了高斯的注意。雖然他沒有發表自己的作品，但他確實透過信件與他人交流了他的想法。（據說，高斯擔心如果他發表了這個有爭議的主題，他的聲譽會受損，“波奧提亞人的喧囂”，但如果任何人的聲譽能經受住打擊，那將是高斯的聲譽。）最終，雅諾什·波爾約和尼古拉·羅巴切夫斯基，可能受到高斯的影響，在 1830 年代初都獨立發表了關於這種新幾何的論文。
與此同時，尋找第五公設的更簡單替代方案的努力產生了多種可能性，例如
- 如果一條直線垂直於兩條平行線中的一條，那麼它也垂直於另一條。
- 對於一條給定直線上的兩個點，到平行線的距離相等。（西姆森）
- 過不在給定直線上的一點，恰好可以畫一條平行線。（普萊費爾）
其他公設，例如（效仿薩凱里）存在矩形，具有簡單性的優點，但缺乏效力。因此，如果以它們作為起點來繼續進行幾何學中的其他部分，就需要做更多的工作。另一個這樣的公理是，存在相似的但並不全等的三角形。
應該注意的是，路易·貝特朗在 1778 年發表了被認為是最有說服力的公設“證明”。證明依賴於關於無限面積的某些直覺想法，但這些想法在新幾何中被證明是錯誤的。伯恩哈德·蒂鮑特在 1809 年給出了另一個令人信服的論證，它依賴於方向在平面運動中保持不變的想法。對這些所謂的證明的考察得出的結論是，雖然這個假設的平面在某種意義上可能存在，但它一定是一個非常奇怪的地方。
這個問題最終在 1866 年由尤金尼奧·貝爾特拉米解決。他構建了所謂的這種新幾何在歐幾里得幾何中的模型。在這個模型中，每個幾何術語和性質在歐幾里得平面上都有不同的解釋。透過這些新的解釋，歐幾里得幾何的所有公設都成立，除了第五公設，它是錯誤的。
這樣，任何在假設第五公設為假的情況下推匯出的矛盾，反過來，也將導致一個與假設該公設為真相矛盾的矛盾。實際上，這證明了不存在第五公設的證明，當然前提是歐幾里得幾何是無矛盾的。
與更近期的模型相比，貝爾特拉米的模型有些複雜，因此我們將簡要描述所謂的 龐加萊圓盤模型。在一個平面上固定一個圓 C。
- “點”指的是圓盤 *C* 內部的一個點。
- “線”指的是與圓盤 *C* 垂直相交的圓弧。
- 距離、角度和麵積的公式可以用參與其中的點和線的性質來表示。一個早期的結果是，三角形的面積與其角虧成正比，角虧定義為三角形內角和與 π 的差值。
這種新的幾何體系可能是邏輯一致的，但它肯定不是實際宇宙的幾何體系，是嗎？實際上，在小尺度上，新的幾何體系幾乎與歐幾里得幾何體系相同。因此，如果有人試圖透過實驗來確定第五公設是否成立，例如透過測量三角形的內角和，如果三角形太小，實驗將是無定論的。但宇宙相對於我們所在的一部分是廣闊的，因此我們無法測量到足夠大的三角形來發現歐幾里得宇宙和非歐幾里得宇宙之間的差異。
事實上，根據愛因斯坦的廣義相對論，時空是彎曲的，類似於非歐幾里得幾何中線“彎曲”相互靠近或遠離的方式。時空彎曲的程度取決於天體的存在，引力的效應實際上被認為是這種彎曲的效應。因此，相對論指出空間實際上是非歐幾里得的，但這對解釋物理宇宙是有用的。
實際上，考慮到由於引力造成的區域性變化，現代宇宙學正接近於回答宇宙是否是“平坦的”，換句話說，是否是歐幾里得的。當然，我們只能描述可觀測宇宙是什麼樣的，不可觀測宇宙超出了科學的範圍。此外，由於歐幾里得情況位於正曲率情況（鈍角）和負曲率情況（銳角）之間的邊界，歐幾里得的結果永遠不會是決定性的；測試精度的提高仍然可能使天平傾向於其他情況之一。事實證明，我們正處於這種情況，儘管測量精度表明歐幾里得在百分之幾之內。
這些發展對數學哲學的影響是深遠的，也許與進化論對生物學的影響相當。公理和公設不再被視為不言自明的真理。一種幾何體系可能比另一種幾何體系更能描述你在現實世界中看到的東西，但沒有絕對真實的幾何體系。如果不存在絕對的真實世界幾何體系，那麼也許其他數學概念（如數字）也是如此。
從某種程度上說，這使得數學與象棋或大富翁這樣的遊戲處於同一水平。數學理論的公理對應於遊戲的規則。正如一組規則可能比另一組規則導致更有趣的遊戲一樣，一組公理可能導致比另一組公理更有用或更有趣的數學理論。但不存在一組完美的規則來創造一個完美的遊戲。
但這種新發現的不確定性並非完全是壞事。擺脫了幾何必須與直覺和觀察世界相符的限制，新的幾何型別開始出現，從而產生了新的數學領域。
其中之一是法諾平面，它有點和線，但沒有距離或角度的概念。點和線的數量是有限的，因此整個幾何體系可以用一個簡單的圖來表示。
另一個好處是，可以為現有的公理集找到新的解釋。這意味著可以為為完全不同的東西開發的理論找到新的應用。
- 莫里斯·克萊因，《數學：確定性的喪失》，牛津大學出版社，1980 年，第 4 章。
- 威廉·弗蘭克蘭，《平行理論：歷史批判》，大學出版社，1910 年