數學證明與數學原理/預備知識/數學命題

數學家工作的素材不是數字、圖形或公式，而是命題。我們寫下一個命題，寫下其他旨在讓人們相信它是真的命題，然後如果一切順利，我們就宣佈該命題是一個定理，並從一個新的命題開始。

所以在繼續之前，討論一下我們所說的命題以及如何使用它們將很有幫助。我們不會說我們正在定義一個命題，因為這樣的定義將由命題組成，而我們還沒有決定定義到底是什麼。

什麼是命題？

命題是一個有意義的句子，可以是真或假。（在語法上，這大致對應於陳述語氣。）例如

人類是凡人。

是一個碰巧為真的命題，而

太陽繞地球執行。

是一個碰巧為假的命題（至少根據目前的宇宙學理論）。

另一方面，句子

哪兩支球隊將在板球世界盃決賽中對決？

是一個問題（疑問語氣），而不是命題。有些問題可以回答是或否，但問題本身不能是真或假。同樣，句子

去完成你的家庭作業。

是一個命令或請求（祈使語氣），而

多麼精彩的進球！

是一個感嘆；兩者都不是命題。

數學命題

在數學中，命題必須關於數學概念或物件。例如

人類是凡人。

貓科動物是肉食動物。

是一個生物學命題，而

數字 4 是偶數。

是一個數學命題，因為它涉及一個數學物件，即數字 4，和一個數學概念，即偶數。

此外，數學命題要求清晰、明確，不受主觀意見的影響。自然語言本質上含糊不清，有時帶有主觀性，因此在一定程度上，為了避免這種情況，已經發展出特殊的數學語言。人類有非凡的能力正確地解釋含糊不清的措辭並填補隱藏的假設，但數學概念通常不熟悉，因此需要更加謹慎。

例如，考慮

我的貓是黑白色的。

這似乎是一個非常簡單無害的陳述。但是當您嘗試確定它的實際含義時，似乎還有更多內容。首先，這個句子可以以多種方式解析。例如

我的貓是黑色的，我的貓是白色的。

我的貓是黑色和白色的混合。

我的貓部分是黑色的，部分是白色的。

我們知道，一樣東西不可能既是黑色又是白色的，而黑色和白色的混合通常被稱為灰色，因此我們接受第三種解釋，沒有經過思考。我們還自動假設該陳述是指我的貓的毛皮，不包括，例如，它的眼睛，它們恰好是綠色的。而且“我的貓”這個短語還有更多含義，它沒有真正說出來，而是表明我有一隻貓，因為我說的是“我的貓”，而不是“我的貓之一”，這意味著我只有一隻貓。為了將該陳述擴充套件成它在不含糊的語言中實際上所說或暗示的內容

我至少擁有一隻貓。

我沒有兩隻不同的貓。

我擁有的那隻貓有毛皮。

我擁有的那隻貓的毛皮部分是黑色的。

我擁有的那隻貓的毛皮部分是白色的。

我擁有的那隻貓的所有毛皮都是黑色或白色的。

由於自然語言可能含糊不清，因此已經發展出符號表示法，它不僅更精確，而且也更簡潔，因為它允許用幾個符號來捕捉複雜含義。讓我們比較一下歐幾里得的《幾何原本》中在發明這種表示法之前的命題，以及現在如何表達相同的命題。

歐幾里得：如果兩個數相乘得到某個數，則所得到的數彼此相等。（第七卷命題 16，T.L. 希思翻譯）

現代：如果 *a* 和 *b* 是任意兩個數，則 *ab* = *ba*。

最後，數學命題不能是主觀意見。所以句子

4 很漂亮。

可能是一個關於數字的命題，但它是一個關於意見而不是事實的命題。有些人可能同意，有些人可能不同意，因此無法就它是否為真或假達成普遍共識。實際上，這樣的句子確實出現在數學中，但僅作為評論。例如

這個公式非常複雜。

這個命題看似很明顯，但很難證明。

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在電視劇《星際迷航》的“我，瑪德”一集中，銀河系即將被一群善意但專橫的機器人統治。他們唯一的明顯弱點是，他們很容易被人類的非理性行為所迷惑。因此，一個計劃誕生了，一個非常愚蠢和不合理的滑稽表演上演了，作為最後的致命一擊，一個人類對機器人領導者諾曼說：“現在仔細聽，諾曼，我在撒謊。”這個機器人，顯然別無選擇，只能試圖決定該陳述是真是假，陷入了無限矛盾的迴圈。機器人被停用，（劇透警告！）銀河系得救了。

打敗機器人的句子基於

這個句子是假的。

這被稱為說謊者悖論。如果這個句子為真，那麼由於它說它是假的，它就必須是假的。但如果它為假，那麼它就必須不是假的，或者為真。這個悖論有很多解釋和可能的解決方法，但就數學目的而言，將這個句子作為不是命題而將其排除就足夠了。這個悖論的原因似乎在於，這個命題在某種程度上是關於它自身的。在數學中，這樣的“自指”句子不被視為命題，因此整個問題都被避免了。

雖然命題是數學中使用最多的句子型別，但堅持說沒有其他型別出現是愚蠢的。請求和問題都用來陳述問題，請求在邏輯論證中使用。

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命題概念的一個變體是謂詞。您可以將其視為一個函式，其值是真或假。例如

*x* 是一個偶數。

是變數 *x* 中的謂詞。它本身不是一個命題，因為它是真是假取決於 *x* 的值。當 *x* 被替換為一個特定值時，比如 4，您將得到

4 是一個偶數。

它是一個命題。

謂詞的概念可以推廣到允許一個以上的變數。這是最一般的情況，因為您可以將命題視為零個變數的謂詞。多個變數的謂詞有時被稱為關係，以下是一些例子

*x* = *y*

三角形 *X* 與三角形 *Y* 全等。

點 *R* 位於點 *P* 和 *Q* 之間。

*a*:*b*::*c*:*d*

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1. 判斷以下句子是否可以作為命題接受。如果是，則判斷它們是否清晰明確。
2. 所有等邊三角形都是等腰三角形。
3. 有些等腰三角形是等邊三角形。
4. 所有等腰三角形都是等邊三角形。
5. 有些有理數是整數。
6. 有些有理數不是整數。
7. 並非所有整數都是有理數。