數學證明與數學原理/預備知識/數學語句
數學家的工作基礎並非數字、圖表或公式，而是語句。我們寫下一個語句，再寫下其他旨在說服人們它為真的語句，然後，如果一切順利，我們就宣佈該語句為定理，並從一個新的語句開始。
因此，在繼續之前，討論一下我們所說的語句以及如何使用它們會很有幫助。雖然我們不會說我們正在定義語句，因為這種定義將由語句組成，而我們還沒有決定定義究竟是什麼。
一個語句是一個有意義的句子，它可以是真或假。（在語法上，這大致對應於陳述語氣。）例如
- 人類是凡人。
是一個恰好為真的語句，而
- 太陽繞地球執行。
是一個恰好為假的語句（至少根據現行的天文理論）。
另一方面，句子
- 哪些球隊將在板球世界盃決賽中對戰？
是一個問題（疑問語氣），而不是一個語句。有一些問題可以回答是或否，但問題本身不能是真或假。同樣，句子
- 去完成你的作業。
是一個命令或請求（祈使語氣），而
- 多麼精彩的進球！
是一個感嘆；都不是語句。
在數學中，語句必須是關於數學概念或物件的。例如
- 人類是凡人。
貓是哺乳動物。
- 是一個生物學語句，而
數字 4 是偶數。
是一個數學語句，因為它涉及一個數學物件，數字 4，和一個數學概念，偶數性。
此外，數學語句要求清晰、明確且不受意見影響。自然語言本質上是模糊的，有時是主觀的，因此在一定程度上，特殊的數學語言已經發展起來以避免這種情況。人類有非凡的能力來正確解釋模稜兩可的措辭並填補隱藏的假設，但數學概念通常並不熟悉，因此需要更加小心。
- 例如，考慮
我的貓是黑白色。
- 這看起來像一個非常簡單無害的語句。但當你試圖確定它的實際含義時，似乎它還有更多內容。首先，這個句子可以以幾種方式解析。例如
- 我的貓是黑色的，我的貓是白色的。
- 我的貓是黑白色混合的。
我的貓部分是黑色的，部分是白色的。
- 我們知道，某事物不可能既是黑色又是白色的，而黑白色混合通常稱為灰色，因此我們接受第三種解釋，而沒有思考它。我們也自動假設這個語句指的是我的貓的皮毛，並且排除了例如它的眼睛，它的眼睛恰好是綠色的。並且“我的貓”這個短語在沒有實際說出這句話的情況下，還蘊含著我有一隻貓的含義，並且因為我說的是“我的貓”而不是“我的貓之一”，所以意味著我只有一隻貓。為了將這個語句擴充套件成它在明確語言中實際所說的或隱含的
- 我至少擁有一隻貓。
- 我沒有擁有兩隻不同的貓。
- 我擁有的貓有皮毛。
- 我擁有的貓身上的一些皮毛是黑色的。
- 我擁有的貓身上的一些皮毛是白色的。
我擁有的貓身上所有的皮毛要麼是黑色的，要麼是白色的。
- 由於自然語言可能是模糊的，因此已經發展出符號表示法，它不僅更加精確，而且更加簡潔，因為它允許用很少的符號來捕獲複雜的含義。讓我們比較一下歐幾里得的《幾何原本》中在發明這種表示法之前的一個語句，以及現在如何表達同一個語句。
- 歐幾里得：如果兩個數相乘得到某些數，那麼這些數的積將相等。（卷七，命題 16，T.L. 希思的翻譯）
現代：如果a和b是任意兩個數，那麼ab = ba。
- 最後，數學語句不應是意見問題。因此，句子
4 很漂亮。
- 可能是一個關於數字的語句，但它是一個意見陳述而不是事實陳述。有些人可能同意，有些人可能不同意，因此無法對它是否為真或假達成普遍共識。實際上，這類句子確實出現在數學中，但僅僅作為評論。例如
- 這個公式非常複雜。
這個語句似乎很明顯，但很難證明。
自指語句在電視劇《星際迷航》的劇集“我，馬德”中，銀河系即將被一群好意但專橫的機器人種族接管。他們唯一明顯的弱點是，很容易被人類不合理的行為所迷惑。因此，一個計劃誕生了，一個非常愚蠢和不合理的滑稽劇被上演，作為最後的一擊，其中一個人類對機器人首領諾曼說：“現在仔細聽我說，諾曼，我在撒謊。”這個機器人顯然別無選擇，只能試圖判斷這個語句是真是假，它陷入了無限的矛盾迴圈。機器人被停用了，（劇透警告！）銀河系得救了。
- 打敗機器人的句子是基於
這句話是假的。
這被稱為說謊者悖論。如果這個句子是真，那麼因為它聲稱自己是假的，所以它一定是假的。但如果它是假的，那麼它一定不是假的，也就是真的。對於這個悖論有許多解釋和可能的解決方案，但對於數學目的來說，將這個句子排除在語句之外就足夠了。這個悖論的原因似乎在於這個語句在某種程度上是關於它自身的。在數學中，這種“自指”句子不被認為是語句，因此避免了整個問題。
雖然語句是數學中使用最主要的句子型別，但堅持說沒有其他型別出現是愚蠢的。請求和問題都用來陳述問題，而請求則用於邏輯論證中。
謂詞- 語句概念的一個變體是謂詞。你可以把它想象成一個函式，它的值要麼是真要麼是假。例如
x 是一個偶數。
- 是變數x中的一個謂詞。它本身不是一個語句，因為它是否為真取決於x的值。當x被一個特定的值代替，比如 4，你就會得到
4 是一個偶數。
這作為一個語句。
- 謂詞的概念被推廣以允許不止一個變數。這是最一般的情況，因為你可以將語句看作是零個變數中的謂詞。多個變數中的謂詞有時是關係，一些例子是
- x = y
- 三角形X與三角形Y全等。
- 點R位於點P和Q之間。
a:b::c:d
練習- 判斷以下句子是否可以作為語句接受。如果是，則判斷它們是否清晰明確。
- 所有等邊三角形都是等腰三角形。
- 有些等腰三角形是等邊三角形。
- 所有等腰三角形都是等邊三角形。
- 有些有理數是整數。
- 有些有理數不是整數。
- 並非所有整數都是有理數。