數學證明與數學原理/預備知識/什麼是數學
正如我們在本書開頭提到的，數學作為一個整體，與大多數人孩提時學習的數學大相徑庭。因此，討論一下我們所說的“數學”是什麼意思，並不會有什麼壞處。實際上，對數學進行定義是一件很困難的事情，主要原因是定義會隨著時間推移而發生變化。但專注於數學的不同方面也許會有所幫助，儘管讀者可能會覺得這種方法就像盲人摸象一樣。
作為知識體系，數學在哲學和科學之間佔據著某個位置。與科學不同，它依賴於演繹推理而非歸納推理作為真理的檢驗標準。與哲學不同，它關注特定實體，例如數字、空間和關係。儘管這些實體是抽象的，但它們似乎具有獨立的存在，並以意想不到的方式表現。與科學一樣，數學尋求發現和描述模式，但這些模式不一定與現實世界中的任何事物相關。與哲學一樣，它試圖運用理性來解決根本問題，但僅限於那些它認為屬於數學範疇的問題。
更具體地說，數學是對諸如數量（算術、代數）、空間（幾何）、變化（微積分）和抽象結構（集合論、組合數學）等事物的研究。但真正將數學與眾不同的是研究方法，而不是研究物件。數學試圖架起一座橋樑來擴充套件知識。它不使用實驗或觀察來做到這一點，而是使用邏輯推演。這並不是說數學不使用實驗，而是實驗用於指導研究方向，而不是用於驗證理論。
數學的另一個方面是活動或過程。你可能會認為這包括計算平方根或求導數，但那只是很小的一部分。作為一種活動，數學所扮演的角色雖然重要，但你卻很少看到或甚至想到它。然而，你可能經常在不知不覺中做數學或使用數學。解決數獨難題本質上就是一個數學過程，但幾乎任何遊戲或謎題，從棒球到魔獸世界，都包含著數學的方面。當你觀看 YouTube 上的影片或在亞馬遜上訂購東西時，一個演算法會開始工作，以推薦你可能感興趣的類似影片或產品。這些演算法極其複雜（仍然不完美但正在改進）並且會根據新資料進行自我修改，但它們最終都是基於對觀眾或客戶個人偏好的數學模型。在個人層面上，你可能會使用某種數學推理來做出你日常生活中的決定。例如，如果你要買新房子，你可能會考慮通勤時間、學校質量以及不同地區的犯罪率等因素。權衡這些問題的重要性並做出你預測會產生最佳結果的決定，至少在某種程度上，是一個數學過程。
作為一種過程，數學的位置可以在下圖中體現。
Data collection Existing Mathematical theory
↘ ↓
Model → Mathematical reasoning → Predictions
↗ ↑
Simplifying assumptions Logic
此圖顯示了數學在科學理論以及上面給出的示例中的位置。
有人說過（引用伽利略的話），大自然用數學的語言與我們交談。如果是這樣，那麼這種語言的詞彙和語法是什麼？顯然，數學符號和方程是詞彙的一部分，但抽象概念，如數字和三角形也是如此。如果語法是將詞彙組合起來以形成有意義的事物的規則，那麼數學的語法就是演繹推理。數學家將這種推理封裝在定理和證明中，但要真正理解數學，就必須瞭解其規則。
雖然右邊曼德勃羅集的影像很常見，並且具有視覺上的衝擊力，但還有另一層數學美無法立即看到。那就是所有複雜、蕾絲狀的圖案和無休止地重複的圖案都是使用一個簡單的公式生成的
- z→z2+c
在製作這樣的影像時，需要相當多的創造力；選擇顏色是為了突出細節，增強美學效果，並且對影像進行構圖，以呈現最佳效果。但這些類似於照片的燈光和構圖，而物體本身才是明星。
曼德勃羅集特別上鏡，但更重要的是，它是一個數學美的例子。就像這種情況下，曼德勃羅集的旋渦狀圖案源於上面的簡單公式一樣，通常情況下，看似非常簡單的假設會導致極其複雜和有趣的現象。有時，會發現具有欺騙性的簡單圖案，但這些圖案的原因卻出乎意料地複雜。這樣，數學概念似乎擁有了生命，以意想不到的方式表現，但由於其數學性質，它們只能以唯一的方式表現。這也許是數學美的核心，但數學的藝術還更進一步。有時，數學問題的解決方案出乎意料地簡單，需要一個只有在看到之後才顯得明顯的技巧。在這種情況下，數學的優雅可以透過對人類工藝的欣賞來創造。
就像大象一樣，數學的任何一個方面都不能真正體現這個學科的本質。但是，希望我們已經向你展示了足夠的證據，說明數學是一個有生命的實體，而不僅僅是你可能認為的那樣硬邦邦、光滑滑的東西，如果你只是觸控過它的象牙，你可能會有這樣的想法。