數學證明與數學原理/集合/類

到目前為止，我們唯一證明存在的集合是∅。我們希望繼續構建更多集合，例如{∅}、{{∅}}、{∅, {∅}}等等，並定義重要的集合運算，例如並集和交集。非正式地說，要做到這一點，可以使用以下公式：

$\{a\}=\{x:x=a\}$

$\{a,b\}=\{x:x=a\operatorname {or} x=b\}$

$a\cup b=\{x:x\in a\operatorname {or} x\in b\}$

空集可以使用以下公式來匹配這種模式：

$\varnothing =\{x:False\}$

更一般地說，給定謂詞P(x)，我們希望使用以下公式：

$\{x:P(x)\}$

表示包含P(x) 為真的所有x 的集合。然而，正如歷史部分所見，隨意使用任何謂詞會導致悖論。因此，每次使用該公式時，都必須有一個定理說明存在這樣的集合，以及一個定理說明這樣的集合是唯一的。我們需要一些機制來簡化這個過程。

類

雖然在 Zermelo-Fraenkel 集合論中沒有正式定義類的概念，但非正式定義它仍然很有價值，因為它是一個有用的概念。具體來說，如果P(x) 是一個謂詞，則定義類P 為：

$P=\{x:P(x)\}$

在邏輯上，類$P$只是一個謂詞$P(x)$，其中$x\in P$是$P(x)$的簡寫。我們非正式地將類視為滿足其定義公式的所有集合的集合。

關於集合的大部分內容也適用於類，只要記住存在限制。一方面，類只能出現在∈符號的右側。此外，由於類不是我們話語宇宙中的物件，因此它們不能在量詞中使用。最後，=符號僅在集合之間定義。我們可以對類進行類似的定義

P=Q 當且僅當對於所有x，P(x) 與Q(x) 相同

但請記住，替換公理不適用於這種型別的相等性。

示例：如果Q(x) 表示謂詞

非$(x\in x)$

那麼Q 就是導致羅素悖論問題的“集合”。悖論得以避免，因為語句Q∈Q（它將Q 放在∈符號的左側）甚至不能合法地形成。

如果a 是一個固定的集合，那麼我們可以定義謂詞A(x) 為：

$x\in a$

那麼類A 和集合a 具有相同的元素，換句話說：

$(x\in A)\operatorname {iff} \ (x\in a)$

從某種意義上說，你可以說A=a，但我們在這裡踏入了不穩定的領域，因為A 和a 是不同型別；a 是一個集合，而A 技術上仍然是一個謂詞。

集合化謂詞

與你可能的想法相反，這與 20 世紀初的蘇聯農業無關。謂詞 $P(x)$ 被稱為 **集體化**，當

對於某些 $y$，對所有 $x$，$x\in y$ 當且僅當 $P(x)$。

（這是一個二階謂詞的例子，這意味著一個謂詞應用於謂詞而不是物件。這種東西在我們目前使用的邏輯中不存在，但你可以將其視為對上面短語的簡寫。）用不太正式的語言，$P(x)$ 是集體化，當存在一個集合 $y$，其元素是 $x$，對於這些 $P(x)$ 為真。

例如，謂詞

對於所有 $y$，不 $y\in x$

是集體化的，因為它適用於 ∅。另一方面

不 $x\in x$

不能是集體化的，因為它會導致本章引言中討論的羅素悖論。

為了瞭解它如何有用，定義謂詞 $Q(y)$，表示

對於所有 $x$，$x\in y$ 當且僅當 $P(x)$。

然後 $P(x)$ 是集體化，與 $Q(y)$ 的存在性質相同。此外，如果我們有唯一性屬性，那麼

對於 $Y$，$Q(Y)$

是定義明確的。為了證明唯一性屬性，我們需要

對於所有 $y$，$z$，$Q(y)$ 和 $Q(z)$ 意味著 $y=z$。

展開來說，就是

定理 SO1：對於所有 $y$，$z$，如果對於所有 $x$，$x\in y$ 當且僅當 $P(x)$，並且對於所有 $x$，$x\in z$ 當且僅當 $P(x)$，那麼 $y=z$。

這看起來可能很複雜，但證明它並不難。我們將開始一個提綱，並將細節留給讀者。

Choose arbitrary $b$ and $c$, we must now prove that if for all $x$, $x\in b$ iff $P(x)$ and for all $x$, $x\in c$ iff $P(x)$, then $b=c$. Assume for all $x$, $x\in b$ iff $P(x)$ and for all $x$, $x\in c$ iff $P(x)$. So the new goal is to prove $b=c$. Axiom S4 says we can do this by showing $b\subseteq c$ and $c\subseteq b$. To prove $b\subseteq c$ we need to prove that for all x, $x\in b$ implies $x\in c$. But for arbitrary $a$ we have $a\in b$ iff $P(a)$ and $P(a)$ iff $a\in c$ so $a\in b$ implies $a\in c$ by Prop. 9 in the Logical equivalence section.

透過理解定義集合

我們現在可以做出以下定義

定義 SO2：如果 $P(x)$ 是集合化的，則定義

$\{x:P(x)\}$

作為集合，其中

對於所有 $z$，$z\in \{x:P(x)\}$ 當且僅當 $P(z)$。

由此產生的集合被稱為透過理解定義的。在接下來的幾個部分中，我們將遵循相同的計劃；陳述一個公理或證明一個定理，使某個謂詞成為集合化的，然後為相應的集合定義符號。

如果 $P(x)$ 不是集合化的，正如我們一直強調的那樣，那麼嚴格來說

$\{x:P(x)\}$

是未定義的。但是，將它視為一個類似集合的物件很有用，稱為類。

並集

為了從單元素集和對集得到三元組，我們將使用一種更通用的方法來組合集合。通常情況下，從定義兩個集合的並集開始，但這實際上是一個更基本操作的特殊情況，即在一個集合上的並集。

公理 SO3（並集公理）： 對於所有 $z$，謂詞

存在 $y$，使得 $x\in y$ 且 $y\in z$

是集合化的。

非正式地說，這意味著，給定 $z$，存在一個集合 $u$，使得 $x\in u$ 當且僅當 $x$ 是 $z$ 中某個元素的元素。

這允許我們做出如下定義

定義 SO7： $\bigcup z:=\{x:\operatorname {for\ some} y,x\in y\operatorname {and} y\in z\}$

表示式 $\bigcup z$ 讀作 "關於 $z$ 的並集"。

以下證明留作練習

定理 SO8： 對於所有 $x$，$z$，$x\in z$ 蘊含 $x\subseteq \bigcup z$

定理 SO9： 對於所有 $x$，$y$，$z$，$(x\in z\operatorname {implies} x\subseteq y)\operatorname {implies} \bigcup z\subseteq y$

非正式地說，$\bigcup z$包含$z$的每個元素作為一個子集，並且是最小的這樣的集合。

要得到兩個集合的通常並集，將此並集與一對結合起來

定義 SO10: $x\cup y:=\bigcup \{x,y\}$

然後我們可以證明通常的定義作為一個定理

定理 SO11: 對於所有 $x$，$y$，$x\cup y=\{z:z\in x\operatorname {or} z\in y\}$

像往常一樣，證明留作練習。

現在可以定義三元組、四元組等，以滿足需要儘可能多的元素

定義 SO12: $\{x,y,z\}:=\{x,y\}\cup \{z\}$

定義 SO13: $\{x,y,z,u\}:=\{x,y,z\}\cup \{u\}$

等等。

以下證明留作練習

定理 SO14: $\bigcup \varnothing =\varnothing$

定理 SO15: 對於所有 $x$，$\bigcup \{x\}=x$

定理 SO16: 對於所有 $x$，$y$，$\bigcup (x\cup y)=(\bigcup x)\cup (\bigcup y)$

定理 SO17: 對於所有 $x$，$y$，$z$，$\{x,y,z\}=\{x,z,y\}=\{y,z,x\}$

這裡，$x=y=z$ 是 $x=y$ 和 $y=z$ 的簡寫。

分離公理

在討論交集之前，我們需要另外一個公理來保證交集的存在。這是一個受限的理解公理，它認為任何謂詞都能定義一個集合。這也是它被稱為“受限理解公理”的原因。不受限，且不正確的版本，使用類的語言，認為任何類都是一個集合。受限版本，實際上說的是，任何集合的子類都是一個集合。更正式地說，對於謂詞 $P(x)$ 和 $Q(x)$，如果對所有 $x$$P(x)$ 蘊含 $Q(x)$ 並且 $Q(x)$ 是可收集的，那麼 $P(x)$ 也是可收集的。更正式地說

公理 SO18（分離）：對於所有 $z$，如果對所有 x，$P(x)$ 蘊含 $x\in z$ 那麼 $P(x)$ 是可收集的。

如果 $R(x)$ 是一個謂詞，那麼定義為 $R(x)$ 和 $x\in z$ 的 $P(x)$ 具有必要的性質，因此我們可以定義

$\{x\in z:R(x)\}:=\{x:x\in z\operatorname {and} R(x)\}$

對$R(x)$沒有限制。任何謂詞都可以在這裡使用，這使得公理非常強大，但並非強大到足以導致矛盾（至少在目前為止沒有人知道）。

嘗試使用此公理來重現羅素悖論可能會有所幫助；由於避免矛盾的想法，這種嘗試很可能失敗。令$c$為一個集合，並定義

$b:=\{x\in c:\operatorname {not} x\in x\}$

現在假設$b\in b$。那麼$b$不滿足不屬於自身的條件，因此不屬於自身，導致矛盾。另一方面，假設不屬於自身。那麼，$b\in c$或不屬於自身中至少有一個必須為假。第二個可能性根據假設為真，因此$b\in c$為假。但這遠非矛盾，這次沒有悖論。

交集

交集類似於並集，只是將“存在”替換為“對所有”。我們按照與並集相同的計劃定義交集。然而，在這種情況下，我們可以使用分離公理來證明一個定理，該定理取代了並集公理。

定理 SO19（交集的存在性）：對所有$z$不等於∅，謂詞

對所有$y$，$y\in z$蘊含$x\in y$

是集合化的。

不太正式地說，這意味著，給定$z$，存在一個集合$n$，使得$x\in n$當且僅當$x$是$z$中每個元素的元素。在證明中將需要假設$z$不等於∅。

證明（概述）：令 $Q(x)$ 為謂詞

對於所有 $y$，$y\in z$ 意味著 $x\in y$。

從非 $z=\varnothing$，上一頁的定理 S8 指出存在某個 $w\in z$。選擇一個，比如 $d\in z$。現在可以證明 $Q(x)$ 意味著 $x\in d$，因此根據分離公理，$Q(x)$ 是集合化的。

這使我們能夠在 $z$ 不是 ∅ 時進行定義

定義 SO20： $\bigcap z:=\{x:\operatorname {for\ all} y,y\in z\operatorname {implies} x\in y\}$

表示式 $\bigcap z$ 讀作“關於 $z$ 的交集”。$\bigcap \varnothing$ 未定義。

為了得到兩個集合的通常交集，將這個交集與一對集合結合起來

定義 SO21： $x\cap y:=\bigcap \{x,y\}$

然後我們可以證明通常的定義作為一個定理

定理 SO22: 對於所有 $x$, $y$, $x\cap y=\{z:z\in x\operatorname {and} z\in y\}$

證明留作練習。

定義 SO23: 當 $x\cap y=\varnothing$ 時，$x$ 和 $y$ 是不相交的。一個集合 $z$（通常被視為其他集合的集合）是成對不相交的，如果對於所有 $x$, $y$, $x\in z$ 且 $y\in z$ 意味著 $x=y$ 或 $x$ 和 $y$ 是不相交的。

換句話說，當 $x$ 和 $y$ 沒有共同元素時，它們是不相交的，而 $z$ 是成對不相交的，如果任何兩個不同的元素都是不相交的。