一般力學

如果上一章中的粒子集合形成一個剛體，以角速度ω繞其質心旋轉，則可以擴充套件關於上一章中慣性矩的結果。

我們得到

I_{ij}=\sum _{n}m_{n}(r_{n}^{2}\delta _{ij}-{r_{n}}_{i}{r_{n}}_{j})

其中 (r_n1, r_n2, r_n3) 是第 n 個質量的位置。

在連續體的極限情況下，這將變成

I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\,dV

其中 ρ 是密度。

無論哪種方式，我們都得到，將 L 分解為軌道角動量和內稟角動量，

L_{i}=M\epsilon _{ijk}R_{j}V_{k}+I_{ij}\omega _{j}

並且，將 T 分解為旋轉動能和平動動能，

T={\frac {1}{2}}MV_{i}V_{i}+{\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}

透過適當的選擇軸，總是可以使 I 成為一個對角矩陣。

常見幾何形狀的質量慣性矩

簡單形狀的均勻密度慣性矩是眾所周知的。

質量 M，半徑 a

I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{3}}Ma^{2}

質量 M，半徑 a

I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{5}}Ma^{2}

質量 M，長度 a，沿 z 軸方向

I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{12}}Ma^{2}\quad I_{zz}=0

質量 M，半徑 a，位於 x-y 平面內

I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}Ma^{2}\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}

質量為 M，半徑為 a，高度為 h，沿著 z 軸方向

I_{xx}=I_{yy}=M\left({\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {h^{2}}{12}}\right)\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}

質量為 M，邊長為 a 平行於 x 軸，邊長為 b 平行於 y 軸

I_{xx}=M{\frac {b^{2}}{12}}\quad I_{yy}=M{\frac {a^{2}}{12}}\quad I_{zz}=M\left({\frac {a^{2}}{12}}+{\frac {b^{2}}{12}}\right)

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