This is a new page and we hope you will help proof reading it and add to it!!
扭轉彈簧常數和側向彈簧常數之間的關係存在爭議。請檢視 ("原子力顯微鏡懸臂樑的正常和扭轉彈簧常數" Green, Christopher P. and Lioe, Hadi and Cleveland, Jason P. and Proksch, Roger and Mulvaney, Paul and Sader, John E., Review of Scientific Instruments, 75, 1988-1996 (2004), DOI:http://dx.doi.org/10.1063/1.1753100 ) 和 ("原子力顯微鏡中的側向力校準：一種新的側向力校準方法和最佳化的一般指南" Cannara, Rachel J. and Eglin, Michael and Carpick, Robert W., Review of Scientific Instruments, 77, 053701 (2006), DOI:http://dx.doi.org/10.1063/1.2198768 ) 獲取詳細資訊。
典型的 AFM 設定。微加工懸臂樑的偏轉，其尖端透過在樣品表面掃描時反射從懸臂樑背面反射的雷射束來測量。
AFM 中使用大量技術來測量形貌並研究奈米尺度的表面力
用於成像樣品形貌
接觸模式，其中尖端與基底接觸。提供高解析度，但可能會損壞脆弱的表面。
輕敲/間歇接觸模式 (ICM)，其中尖端振盪並輕敲表面。
非接觸模式 (NCM)，其中尖端振盪但不接觸樣品。 用於測量表面特性（併成像它們）
側向力顯微鏡 (LFM)，當尖端側向掃描時，它會傾斜，這可以透過光電探測器測量。此方法用於測量奈米尺度的摩擦力。
力調製顯微鏡。快速上下移動尖端，同時將其壓入樣品，可以測量表面的硬度並對其進行機械錶徵。
電場力顯微鏡。如果表面存在不同量的電荷，則懸臂樑會因吸引和排斥而發生偏轉。開爾文探針顯微鏡通常比測量靜態偏轉更靈敏。開爾文探針顯微鏡。透過在非接觸模式下對振盪懸臂樑施加振盪電壓並測量感應的電荷振盪，可以繪製表面電荷分佈圖。
雙掃描方法 - 下面介紹的另一種開爾文探針方法。
磁力顯微鏡。如果懸臂樑已磁化，它將根據樣品的磁化強度發生偏轉。
力譜或力距離曲線。上下移動懸臂樑以接觸並壓入樣品，可以測量力隨距離的變化。
奈米壓痕。當懸臂樑深深地壓入樣品時，它可能會留下壓痕，並且在進行壓痕時，力距離曲線可以說明屈服強度、彈塑性變形動力學。
液體樣品 AFM。透過將懸臂樑浸入液體中，也可以對溼樣品進行成像。第一次很難獲得良好的雷射對準。
電化學 AFM。
掃描門 AFM
奈米光刻
典型的 AFM 懸臂樑的 SEM 影像 原子力顯微鏡的力測量：技術、解釋和應用。表面科學報告 59 (2005) 1–152，作者：Hans-Jurgen Butt、Brunero Cappella 和 Michael Kappl。152 頁，對不同環境中的力和相互作用進行了廣泛的回顧，以及如何使用 AFM 測量和控制這些力。 懸臂樑的寬度為 w，厚度為 t，長度為 L，從懸臂樑中間到尖端的尖端高度為 h。
AFM 懸臂樑的典型幾何形狀。長度 l、厚度 t、寬度 w 和尖端高度 h 從梁的中間測量 當懸臂樑在 z 方向上受點力 F N {\displaystyle F_{N}} [ 1]
z ( x ) = 1 2 F N L E I ( x 2 − 1 3 L x 3 ) {\displaystyle z(x)={\frac {1}{2}}{\frac {F_{N}L}{EI}}\left(x^{2}-{\frac {1}{3L}}x^{3}\right)}
懸臂樑長度為 L {\displaystyle L} E {\displaystyle E} I {\displaystyle I}
懸臂樑的尖端偏轉為
Δ z = z ( L ) = 1 3 F N E I L 3 {\displaystyle \Delta _{z}=z\left(L\right)={\frac {1}{3}}{\frac {F_{N}}{EI}}L^{3}}
得到彈簧常數 k N {\displaystyle k_{N}}
F N = k N Δ z {\displaystyle F_{N}=k_{N}\Delta _{z}}
因此
k N = 3 E I L 3 {\displaystyle k_{N}=3{\frac {EI}{L^{3}}}}
懸臂樑在x-z平面上尖端的角度 θ x {\displaystyle \theta _{x}}
θ N = z ′ ( L ) {\displaystyle \theta _{N}=z^{\prime }\left(L\right)}
z ′ ( x ) = 1 2 F L E I ( 2 x − 1 L x 2 ) {\displaystyle z^{\prime }\left(x\right)={\frac {1}{2}}{\frac {FL}{EI}}\left(2x-{\frac {1}{L}}x^{2}\right)}
z ′ ( L ) = 1 2 F E I L 2 = 3 2 z ( L ) L {\displaystyle z^{\prime }\left(L\right)={\frac {1}{2}}{\frac {F}{EI}}L^{2}={\frac {3}{2}}{\frac {z\left(L\right)}{L}}}
鉸接梁和固定梁的偏轉角與懸臂樑尖端之間的差異。固定梁將產生更大的偏轉訊號 得到關係
θ N = 3 2 Δ z L {\displaystyle \theta _{N}={\frac {3}{2}}{\frac {\Delta _{z}}{L}}}
尖端偏轉距離和尖端偏轉角度之間。這比我們預期梁在底部剛性鉸接時的結果大3/2，表明當梁彎曲時，我們得到的雷射束偏轉比其筆直時更大。
AFM 懸臂樑，帶偏轉角和探測器設定。來自樣品 Z 形貌的 Z 偏轉在 xz 平面上產生偏轉，並由頂部和底部探測器對測量。懸臂樑上的側向力會產生扭轉（yz 平面的偏轉和左右探測器訊號）以及 xy 平面的側向偏轉，探測器無法測量。 懸臂樑可以以多種方式彎曲，這可以透過大多數 AFM 配備的象限光電探測器來檢測。正常形貌訊號由懸臂樑尖端在 x-z 方向上的“正常”偏轉給出， θ x z = θ N , {\displaystyle \theta _{xz}=\theta _{N,}} V L R = V 1 + V 3 − V 2 − V 4 {\displaystyle V_{LR}=V_{1}+V_{3}-V_{2}-V_{4}}
施加在尖端上的側向力也會使懸臂樑在 x-y 和 x-z 平面彎曲。側向偏轉不能被象限檢測器檢測到，因為它不會改變雷射束偏轉，並且偏轉也很小，我們將在後面看到。側向力也會使懸臂樑尖端扭轉，在 y-z 方向產生扭轉偏轉， θ y z = θ t o r , {\displaystyle \theta _{yz}=\theta _{tor},} V L R = V 1 + V 2 − V 3 − V 4 . {\displaystyle V_{LR}=V_{1}+V_{2}-V_{3}-V_{4}.}
對於 z 方向的偏轉，“正常”彈簧常數將力與偏轉聯絡起來， F N = k N Δ z {\displaystyle F_{N}=k_{N}\Delta _{z}}
k N = 1 4 Y w t 3 L 3 {\displaystyle k_{N}={\frac {1}{4}}Y{\frac {wt^{3}}{L^{3}}}}
用偏轉角表示， θ N = 3 2 Δ z L , {\displaystyle \theta _{N}={\frac {3}{2}}{\frac {\Delta _{z}}{L}},}
F N = c N θ N {\displaystyle F_{N}=c_{N}\theta _{N}}
其中 c N = 2 3 k N L {\displaystyle c_{N}={\frac {2}{3}}k_{N}L}
AFM 懸臂樑和作用在尖端和樣品之間的力。 如果一個振盪器受到吸引力，將它從靜止位置拉開，則諧振頻率會下降（在突然卡入時，它將為零）。一個擠壓它的排斥力會增加諧振頻率。
AFM 尖端接近樣品時的排斥力和吸引力狀態。 如果 AFM 尖端被移動到與樣品接觸，則諧振頻率首先由於吸引力而略微下降，然後由於排斥力而上升。最終，排斥力變得如此之大，以至於我們無法振動它，我們就實現了接觸。
接觸模式：由於尖端處於接觸狀態，因此力明顯高於非接觸模式，並且易碎的樣品以及尖端很容易損壞。另一方面，緊密接觸使解析度良好，掃描速度可以很高。
隨著懸臂樑在力距離曲線的吸引力和排斥區域之間移動，變化的諧振頻率可用於測量懸臂樑的位置，並使其保持在力距離曲線的吸引力或排斥部分。
輕敲模式和非接觸模式 AFM 的尖端振盪頻率位於尖端諧振頻率的兩側。綠色訊號是振盪幅度，黃色是相位。 非接觸模式：如果我們以高於其自由諧振頻率的頻率振盪懸臂樑，並使用反饋迴路來維持略低於自由振盪振盪幅度的設定值，它將使尖端向下移動，直到吸引力降低諧振頻率，並使振盪幅度下降到設定值水平。
輕敲模式：如果我們以低於其自由振盪的頻率振盪懸臂樑，將其移動到樣品附近，它首先會以較低的頻率振盪，這將使臺階移動得更近，試圖提高振盪幅度，最終，當它到達排斥力時，它將穩定在諧振頻率不能再增加而不會產生過高振幅的位置。
典型的 AFM 懸臂樑特性
用途
k (N/m)
f (kHz)
非接觸 (NC)
10-100
100-300
間歇接觸 (IC)
1-10
20-100
接觸
0.1-1
1-50
輕敲模式（也稱為間歇接觸模式）是最常用的工作模式，在該模式下，懸臂樑尖端會間歇地經歷吸引力和排斥力。在這種模式下，懸臂樑以或接近其自由共振頻率振盪。因此，測量的力靈敏度透過懸臂樑的品質因數得到提高。在輕敲模式操作中，懸臂樑振動幅度在反饋電路中使用，即在成像過程中保持振盪幅度恆定。因此，它也被稱為幅度調製原子力顯微鏡 (AM-AFM)。輕敲模式的主要優點是，可以消除尖端與樣品之間的橫向力，從而大大提高影像解析度。輕敲模式實驗通常在空氣或液體中進行。幅度調製不適用於真空環境，因為懸臂樑的品質因數非常高（高達 105），這意味著反饋響應非常慢。
如果樣品在 y 方向上橫向掃描，摩擦力會對懸臂樑施加扭矩，使其橫向彎曲，這可以用來測量摩擦力。橫向力會使尖端產生橫向和扭轉偏轉。只有扭轉可以在光電探測器中檢測到。
對於橫向彎曲，橫向彈簧常數對應於法向彈簧常數，但寬度和厚度互換
k l a t = 1 4 Y t w 3 L 3 = k N w 2 t 2 {\displaystyle k_{lat}={\frac {1}{4}}Y{\frac {tw^{3}}{L^{3}}}=k_{N}{\frac {w^{2}}{t^{2}}}}
以及類似於上述的角偏轉公式。由於 AFM 懸臂樑的厚度通常遠小於寬度，因此橫向彈簧常數比 k N . {\displaystyle k_{N}.}
對於作用在懸臂樑上的橫向力 F l a t {\displaystyle F_{lat}}
F l a t = k l a t Δ y − l a t {\displaystyle F_{lat}=k_{lat}\Delta _{y-lat}}
如果橫向力施加到 AFM 尖端上， F l a t {\displaystyle F_{lat}} τ {\displaystyle \tau }
τ = h F t o r {\displaystyle \tau =hF_{tor}}
扭曲角度 θ t o r {\displaystyle \theta _{tor}} Δ y − t o r = θ t o r h . {\displaystyle \Delta _{y-tor}=\theta _{tor}h.}
扭轉彈簧常數的關係式為（請檢查此公式）
F t o r = k t o r Δ y − t o r {\displaystyle F_{tor}=k_{tor}\Delta _{y-tor}}
其中
k t o r = G w t 3 3 h 2 L = Y w t 3 8 h 2 L = k N 1 2 ( L h ) 2 {\displaystyle k_{tor}=G{\frac {wt^{3}}{3h^{2}L}}={\frac {Ywt^{3}}{8h^{2}L}}=k_{N}{\frac {1}{2}}\left({\frac {L}{h}}\right)^{2}}
然後
τ = h 2 k t o r θ t o r = 1 2 k N L 2 θ t o r = 1 2 k N L 2 Δ y − t o r h {\displaystyle \tau =h^{2}k_{tor}\theta _{tor}={\frac {1}{2}}k_{N}L^{2}\theta _{tor}={\frac {1}{2}}k_{N}{\frac {L^{2}\Delta _{y-tor}}{h}}}
從上面我們有
k l a t k t o r = 2 ( w h t L ) 2 {\displaystyle {\frac {k_{lat}}{k_{tor}}}=2\left({\frac {wh}{tL}}\right)^{2}}
係數 2 ( w h t L ) 2 {\displaystyle 2\left({\frac {wh}{tL}}\right)^{2}} 2 ( 20 ∗ 10 2 ∗ 100 ) 2 = 2.0 {\displaystyle 2\left({\frac {20\ast 10}{2\ast 100}}\right)^{2}=2.0}
AFM 在橫向力模式下的掃描的典型訊號 - 摩擦環掃描。在轉折點處，探針粘附在表面，訊號隨著檢測器靈敏度呈線性斜率。當橫向探針-樣品力超過樣品和基底之間的靜摩擦力時，探針將開始以動態摩擦力滑動，併產生穩定的訊號。 為了獲得最佳的扭轉靈敏度 - 但以下內容並不總是正確的，因為它高度依賴於所需的接觸力等：對於高扭轉靈敏度， w h >> t L {\displaystyle wh>>tL} k N {\displaystyle k_{N}}
但是，當在探針上施加橫向力時，懸臂樑將橫向彎曲多少，扭轉多少？施加的橫向力將以胡克定律行為移動兩個自由度 - 扭轉和橫向運動。施加的力 F t o r {\displaystyle F_{tor}} F l a t . {\displaystyle F_{lat.}}
那麼，將探針沿 y 方向推動的有效彈簧常數為
F t o r = k e f f Δ y {\displaystyle F_{tor}=k_{eff}\Delta _{y}}
其中 Δ y = Δ y , l a t + Δ y , t o r {\displaystyle \Delta _{y}=\Delta _{y,lat}+\Delta _{y,tor}}
k e f f = 1 1 k l a t + 1 k t o r = k l a t 1 + k l a t k t o r {\displaystyle k_{eff}={\frac {1}{{\frac {1}{k_{lat}}}+{\frac {1}{k_{tor}}}}}={\frac {k_{lat}}{1+{\frac {k_{lat}}{k_{tor}}}}}}
而扭轉彈簧的偏轉量 Δ y , t o r {\displaystyle \Delta _{y,tor}}
Δ y , t o r = Δ y 1 + k t o r k l a t {\displaystyle \Delta _{y,tor}={\frac {\Delta _{y}}{1+{\frac {k_{tor}}{k_{lat}}}}}}
當 k t o r < k l a t , {\displaystyle k_{tor}<k_{lat,}} Δ y {\displaystyle \Delta _{y}}
Δ y , l a t k l a t = Δ y , t o r k t o r Δ y , l a t = k t o r k l a t Δ y , t o r {\displaystyle \Delta _{y,lat}k_{lat}=\Delta _{y,tor}k_{tor}\Delta _{y,lat}={\frac {k_{tor}}{k_{lat}}}\Delta _{y,tor}}
然後扭轉偏轉角為
θ t o r = Δ y , t o r h = k l a t k l a t + k t o r F t o r h k e f f = k l a t k l a t + k t o r 1 + k l a t k t o r k l a t F t o r h = 1 h F t o r k t o r {\displaystyle \theta _{tor}={\frac {\Delta _{y,tor}}{h}}={\frac {k_{lat}}{k_{lat}+k_{tor}}}{\frac {F_{tor}}{hk_{eff}}}={\frac {k_{lat}}{k_{lat}+k_{tor}}}{\frac {1+{\frac {k_{lat}}{k_{tor}}}}{k_{lat}}}{\frac {F_{tor}}{h}}={\frac {1}{h}}{\frac {F_{tor}}{k_{tor}}}}
正如扭轉彈簧和橫向彈簧串聯的假設所預期的那樣。因此，當施加恆定力時，探測器訊號是力的測量值。
問題：在摩擦回線掃描過程中，探針透過靜摩擦力固定在表面上，並且其偏轉量是恆定的，需要將扭轉偏轉量和橫向偏轉量都包括在內，才能找到探針在從表面滑移之前實際偏轉的距離，橫向偏轉可能會影響摩擦回線曲線的開始部分嗎？
懸臂樑基頻振動頻率是 AFM 中一個易於測量的量，可以用來評估懸臂樑是否符合規格。它由以下公式給出：
f [ H z ] = t β i 2 4 π L 2 Y 3 ρ = ( 1 ∗ 10 − 6 ) ( 1.875 ) 2 4 π ( 100 ∗ 10 − 6 ) 2 ( 160 ∗ 10 9 ) 3 ∗ 2330 = 1. 338 5 × 10 5 {\displaystyle f[Hz]={\frac {t\beta _{i}^{2}}{4\pi L^{2}}}{\sqrt {\frac {Y}{3\rho }}}={\frac {\left(1\ast 10^{-6}\right)\left(1.875\right)^{2}}{4\pi \left(100\ast 10^{-6}\right)^{2}}}{\sqrt {\frac {\left(160\ast 10^{9}\right)}{3\ast 2330}}}=1.\,338\,5\times 10^{5}}
在AFM中易於測量的量：長度L，共振頻率f，探針長度 l t i p , {\displaystyle l_{tip},} w {\displaystyle w}
不太容易測量的是：厚度t，橫截面（通常有傾斜的側壁），力常數 k n o r m , {\displaystyle k_{norm},}
E = 1 2 k x 2 = 1 2 k B T {\displaystyle E={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}k_{B}T}
⟨ x ⟩ r m s = k B T k s p r i n g {\displaystyle \left\langle x\right\rangle _{rms}={\sqrt {\frac {k_{B}T}{k_{spring}}}}}
⟨ x ⟩ r m s = k B 300 = 0.6. {\displaystyle \left\langle x\right\rangle _{rms}={\sqrt {k_{B}300}}=0.6.} k B 300 10 − 20 = 0.4 {\displaystyle {\frac {k_{B}300}{10^{-20}}}=0.4}
因此，在室溫下，熱噪聲可能會成為一些AFM懸臂樑的一個問題！
開爾文探針顯微鏡方法和雙掃描方法可用於繪製AFM表面上的電場。
開爾文探針顯微鏡（KPM）的原理。鎖相放大器在探針上產生訊號，靜電探針-表面相互作用透過雷射和鎖相放大器讀取，並進行相應的調整。 在開爾文探針顯微鏡（KPM）方法中，在AFM探針和表面之間施加電壓。對探針施加直流和交流電壓，使探針和表面之間的總電位差為 V t o t {\displaystyle V_{tot}}
V t o t = − V S + V D C t + V A C t ⋅ sin ( ω ⋅ t ) , {\displaystyle V_{tot}=-V_{S}+V_{DCt}+V_{ACt}\cdot \sin(\omega \cdot t),}
其中 V S = V S ( x , y ) {\displaystyle V_{S}=V_{S}(x,y)} x , y {\displaystyle x,y} V D C t {\displaystyle V_{DCt}} V A C t {\displaystyle V_{ACt}} ω {\displaystyle \omega }
交流訊號的頻率遠低於懸臂樑的共振頻率（相差 10 倍），因此可以透過鎖相放大器將這兩個訊號分離。透過靜電力的作用，該裝置測量表面電勢。如果假設探針和表面之間的靜電力（ F {\displaystyle F} [ 2]
F = ∂ C ∂ z ⋅ V t o t 2 2 , {\displaystyle F={\frac {{\frac {\partial C}{\partial z}}\cdot V_{tot}^{2}}{2}},}
其中 C {\displaystyle C} z {\displaystyle z}
如果假設平行板電容器
C = A c ϵ 0 z {\displaystyle C={\frac {A_{c}\epsilon _{0}}{z}}}
其中 A c {\displaystyle A_{c}}
∂ C ∂ z = − A c ϵ 0 z 2 {\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial z}}=-{\frac {A_{c}\epsilon _{0}}{z^{2}}}}
結合力（ F {\displaystyle F} V t o t {\displaystyle V_{tot}}
F = ∂ C ∂ z 2 ⋅ ( − V S + V D C t + V A C t ⋅ sin ( ω ⋅ t ) ) 2 = {\displaystyle F={\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\Big (}-V_{S}+V_{DCt}+V_{ACt}\cdot \sin(\omega \cdot t){\Big )}^{2}=}
∂ C ∂ z 2 ⋅ ( ( V D C t − V S ) 2 + V A C t 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) 2 + 2 ⋅ ( V D C t − V S ) ⋅ V A C t ⋅ sin ( ω ⋅ t ) ) . {\displaystyle {\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\Big (}(V_{DCt}-V_{S})^{2}+V_{ACt}^{2}\cdot \sin(\omega \cdot t)^{2}+2\cdot (V_{DCt}-V_{S})\cdot V_{ACt}\cdot \sin(\omega \cdot t){\Big )}.}
使用畢達哥拉斯恆等式
[ cos ( x ) 2 + sin ( x ) 2 = 1 ] {\displaystyle {\big [}\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}=1{\big ]}}
和棣莫弗公式
[ ( cos ( x ) + i ⋅ sin ( x ) ) n = cos ( n ⋅ x ) + i ⋅ sin ( n ⋅ x ) ] , {\displaystyle {\big [}(\cos(x)+i\cdot \sin(x))^{n}=\cos(n\cdot x)+i\cdot \sin(n\cdot x){\big ]},}
我們發現
V A C t 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) 2 = V A C t 2 ⋅ ( 1 − cos ( ω ⋅ t ) 2 ) = {\displaystyle V_{ACt}^{2}\cdot \sin(\omega \cdot t)^{2}=V_{ACt}^{2}\cdot \ {\big (}1-\cos(\omega \cdot t)^{2}{\big )}=}
1 2 ⋅ V A C t 2 ⋅ ( 2 − 2 ⋅ cos ( ω ⋅ t ) 2 ) = {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}\cdot {\big (}2-2\cdot \cos(\omega \cdot t)^{2}{\big )}=}
1 2 ⋅ V A C t 2 − 1 2 ⋅ V A C t 2 ⋅ cos ( 2 ⋅ ω ⋅ t ) . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t).}
將其代入力的公式（ F {\displaystyle F} [ 3]
F = ( ∂ C ∂ z 2 ⋅ ( ( V D C t − V S ) 2 + 1 2 ⋅ V A C t 2 ) + ( 2 ⋅ ( V D C t − V S ) ⋅ V A C t ) ⋅ sin ( ω ⋅ t ) − {\displaystyle F={\Big (}{\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\big (}(V_{DCt}-V_{S})^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}{\big )}+{\big (}2\cdot (V_{DCt}-V_{S})\cdot V_{ACt}{\big )}\cdot \sin(\omega \cdot t)-}
( 1 2 ⋅ V A C t 2 ) ⋅ cos ( 2 ⋅ ω ⋅ t ) ) {\displaystyle ({\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2})\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t){\Big )}}
F = k 1 + k 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) + k 3 ⋅ cos ( 2 ⋅ ω ⋅ t ) , {\displaystyle F=k_{1}+k_{2}\cdot \sin(\omega \cdot t)+k_{3}\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t),}
其中
k 1 = ∂ C ∂ z 2 ⋅ ( ( V D C t − V S ) 2 + 1 2 ⋅ V A C t 2 ) {\displaystyle k_{1}={\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\big (}(V_{DCt}-V_{S})^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}{\big )}}
k 2 = ( 2 ⋅ ( V D C t − V S ) ⋅ V A C t ) {\displaystyle k_{2}=(2\cdot (V_{DCt}-V_{S})\cdot V_{ACt})} k 3 = − 1 2 ⋅ V A C t 2 {\displaystyle k_{3}=-{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}}
頻率 ω {\displaystyle \omega } k 2 {\displaystyle k_{2}} V D C t {\displaystyle V_{DCt}} V D C t = V S {\displaystyle V_{DCt}=V_{S}} V D C t {\displaystyle V_{DCt}} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} V S ( x , y ) {\displaystyle V_{S}(x,y)}
雙掃描 (DS) 方法的原理是，首先進行一次地形線掃描，然後將探針抬起距離 d，並在源漏電壓開啟的情況下進行另一次線掃描。 在雙掃描 (DS，有時稱為提升模式方法) 中，首先在輕敲模式或非接觸模式下，對 AFM 探針或樣品不施加任何電勢進行線掃描。接下來，將 AFM 探針抬升數十奈米（30-70 奈米）到表面上方。在這個高度進行新的線掃描，但這次在非接觸模式下對樣品施加電勢。在所需的掃描區域重複此過程，直到整個區域都被掃描。為了對錶面電勢進行成像，對懸臂樑振動的相位進行對映。原理如圖所示，其中 d 是第二次掃描中探針與表面之間的距離。相移取決於作用在探針上的力 ( F {\displaystyle F} [ 4]
ϕ = tan − 1 ( k Q ⋅ ∂ F ∂ z ) {\displaystyle \phi =\tan ^{-1}({\frac {k}{Q\cdot {\frac {\partial F}{\partial z}}}})}
其中 Q {\displaystyle Q} k {\displaystyle k} z {\displaystyle z}
對於小的相移，相位可以寫成
ϕ ≈ Q ⋅ ∂ F ∂ z k . {\displaystyle \phi \approx {\frac {Q\cdot {\frac {\partial F}{\partial z}}}{k}}.}
力的導數可以寫成
∂ F ∂ z = 1 2 ∂ 2 C ∂ z 2 ⋅ V s 2 , {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial z}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\cdot V_{s}^{2},}
其中 V s {\displaystyle V_{s}} C {\displaystyle C} [ 5]
∂ 2 C ∂ z 2 = 2 A c ϵ 0 z 3 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}={\frac {2A_{c}\epsilon _{0}}{z^{3}}}.}
將相位和力的導數的方程結合起來，可以得到相移的相位依賴關係
ϕ ≈ Q ⋅ ∂ 2 C ∂ z 2 ⋅ V s 2 k ⋅ 2 . {\displaystyle \phi \approx {\frac {Q\cdot {\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\cdot V_{s}^{2}}{k\cdot 2}}.}
要找到表面電勢，必須估計相位方程的其他部分。 如果已知懸臂樑的尺寸（規則懸臂樑）和材料，則可以確定彈簧常數 ( k {\displaystyle k}
k = E ⋅ w ⋅ h 3 4 ⋅ L 3 , {\displaystyle k={\frac {E\cdot w\cdot h^{3}}{4\cdot L^{3}}},}
其中 E {\displaystyle E} w {\displaystyle w} h {\displaystyle h} L {\displaystyle L} Q {\displaystyle Q} r {\displaystyle r}
∂ 2 C ∂ z 2 = 2 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ ϵ 0 z 3 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot \epsilon _{0}}{z^{3}}},}
其中 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} [ 6]
DS 和 KPM 方法各有優劣。DS 方法操作更簡單，因為它的引數相互關聯較少，需要調整的引數也更少。KPM 方法速度更快，因為它不需要兩次掃描（DS 方法需要掃描解析度為 512 × {\displaystyle \times } 0.8 {\displaystyle 0.8} 1 r 3 {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}} 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}
A. Bachtold, M. S. Fuhrer, S. Plyasunov, M. Forero, E. H. Anderson, A. Zettl, and P. L. McEuen; Physical Review Letters 84(26), 6082-6085 (2000). G. Koley and M. G. Spencer; Applied Physics Letters 79(4), 545-547 (2001). T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005). V. Vincenzo, and M Palma, and P. Samorí; Advanced Materials 18, 145-164 (2006). Veeco, "Electrostatic Force Microscopy for AutoProbe CP Research Operating Instructions", 2001 (Manual). D. Ziegler and A. Stemmer; Nanotechnology 22, 075501 (2011). 各種懸臂樑特性概述
另請參閱有關編輯此書籍的說明，瞭解如何新增參考文獻 奈米技術/關於#如何貢獻 。
↑ Senturia `Micromechanics' ↑ Veeco, "Electrostatic Force Microscopy for AutoProbe CP Research Operating Instructions", 2001 (Manual) ↑ V. Vincenzo, and M Palma, and P. Samorí; Advanced Materials 18, 145-164 (2006) ↑ T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005) ↑ T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005) ↑ T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005) ↑ http://en.nanoscopy.ru ↑ Massimo Sandal, Fabrizio Benedetti, Alberto Gomez-Casado, Marco Brucale, Bruno Samorì (2009). "Hooke: an open software platform for force spectroscopy". Bioinformatics . 25 (11): 1428–1430. {{cite journal }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )
![{\displaystyle f[Hz]={\frac {t\beta _{i}^{2}}{4\pi L^{2}}}{\sqrt {\frac {Y}{3\rho }}}={\frac {\left(1\ast 10^{-6}\right)\left(1.875\right)^{2}}{4\pi \left(100\ast 10^{-6}\right)^{2}}}{\sqrt {\frac {\left(160\ast 10^{9}\right)}{3\ast 2330}}}=1.\,338\,5\times 10^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62323afd5c3ca378ab0419c064f575c3e00b258)
![{\displaystyle {\big [}\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}=1{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0696684a3724bfb996e2073cd431b5c3de701f73)
![{\displaystyle {\big [}(\cos(x)+i\cdot \sin(x))^{n}=\cos(n\cdot x)+i\cdot \sin(n\cdot x){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec7fcd029d75dad5753978b35662645bc5ac1da)
