光學/費馬原理

原理

費馬原理，也稱為“最小時間原理”，指出

“光線以最短時間到達目的地的路徑傳播”。

它是光學的基本定律，其他幾何光學定律可以從它推匯出來。

反射定律的推導

利用費馬原理推導反射定律很簡單。反射定律可以用初等微積分和三角學推導。反射定律的推廣是斯涅爾定律，它將在下面使用相同的原理推匯出來。

光線傳播的介質沒有改變。為了使光線在兩點之間傳播的時間最短，我們應該使光線所走的路徑最短。

θ_i = θ_r。
入射角等於反射角

1. 光線的總路徑長度由下式給出

$L=d_{1}+d_{2}\,$

2. 利用勾股定理從歐幾里得幾何中，我們看到

$d_{1}={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,$ and $d_{2}={\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}\,$

3. 當我們將 d₁ 和 d₂ 的兩個值代入上面的公式，我們得到

$L={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}$

4. 為了使光線傳播的路徑最短，我們對 L 求關於 x 的一階導數。

${\frac {dL}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}+{\frac {-(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=0$

5. 將兩邊設為相等。

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}={\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}$

6. 現在我們可以看出，左邊不過是$\sin \theta _{i}$，而右邊$\sin \theta _{r}$意味著

$\sin \theta _{i}=\sin \theta _{r}\!\$

7. 對等式兩邊取反正弦，我們發現入射角等於反射角

$\theta _{i}=\theta _{r}\!\$

斯涅爾定律推導

利用費馬原理推導斯涅爾定律非常簡單。 斯涅爾定律可以使用基礎微積分和三角學推匯出。斯涅爾定律是對上述情況的推廣，它不要求介質在各個地方都相同。

斯涅爾定律將 n₁、θ₁ 和 n₂、θ₂ 聯絡起來。

為了標記光在不同介質中的速度，使用名為 n₁ 和 n₂ 的折射率。

$v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}\!\$

$v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}$

這裡 $c$ 是真空中的光速，$n_{1},n_{2}\geq 1\,$，因為所有材料都會減慢光線透過時的速度。

1. 行程時間等於行程距離除以速度。

$T={\frac {d_{1}}{v_{1}}}+{\frac {d_{2}}{v_{2}}}$

2. 使用來自歐幾里得幾何的勾股定理，我們看到

${\frac {d_{1}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}\,$ 和 ${\frac {d_{2}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}\,$

3. 將此結果代入公式 (1) 中，我們得到

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}$

4. 為了最小化傳輸時間，我們對變數 $x$ 求導，並將其設為零

${\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$

5. 仔細檢查上面的等式後，我們發現它不過是

${\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

6. 這導致

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

7. 將 ${\frac {n_{1}}{c}}$ 代入 ${\frac {1}{v_{1}}}$ 和 ${\frac {n_{2}}{c}}$ 代入 ${\frac {1}{v_{2}}}$，我們得到

${\frac {n_{1}}{c}}\sin \theta _{1}={\frac {n_{2}}{c}}\sin \theta _{2}$

8. 乘以 $c$ 給我們最終結果

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\!\$