常微分方程/繪圖 1

一階微分方程

一階微分方程基本上將x值、y值和點(x,y)處的梯度y'聯絡起來。由於有3個變數，因此無法以二維形式表示DE的解。但是，我們可以透過消除其中一個變數，在二維空間中繪製圖來表示解。

有兩種主要方法，一種是下面描述的斜率場，另一種是與斜率場相關的等傾線。

斜率場

斜率場是DE解的切線段集，排列在xy平面上。它試圖透過顯示xy平面上的所有解的表示，而不是透過顯示一個或多個解來顯示DE的解。

(直線)的梯度定義為y的變化除以x的變化。透過將x的變化設為1，我們得到y的變化等於梯度，即DE的主題y'。可能需要一些重新排列才能將DE轉換為所需的格式，即

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y).$

現在，如果我們在點P(xy)處繪製一條線，其中x分量等於1，y分量等於該點的y'，那麼我們就得到了透過該點的解的切線的一部分。DE的解將遵循這些線的斜率。

透過在xy平面上以間隔繪製這些線，我們可以很好地瞭解DE的解是什麼樣的。請注意，我們不必實際求解DE，我們只需在點處代入x和y的值，然後我們就有斜率場。當DE不可解時，這特別有用，例如

${\frac {dy}{dx}}=x^{x}.$

儘管在理論上易於評估，但斜率場在沒有計算機的情況下難以繪製，因為即使是小的斜率場也包含數百條線，手工繪製這些線不切實際（即使可能）。通常，為了清晰起見，切線段會進行縮放，以便它們不會相互干擾。

示例 1: y'=1

圖 1: y'=1 的斜率場

圖 2: y'=1 的一些解

考慮DE

${\frac {dy}{dx}}=1.$

這可能是最簡單的DE（除了y'=0）。它只是說明解的梯度始終為1。這顯然導致一般解

$y=x+C,\,$

其中C是我們的積分常數。

此DE的斜率場（右）由x分量為1，y分量為y'（即1）的線組成，這些線在xy平面上間隔開來。此DE的解，例如

$y=x\,$

和

$y=x+1\,$

顯然遵循斜率場。圖 2 中顯示了一些解，可以很容易地看出它們之間的相似之處。

請注意，解不一定與斜率場中的任何線相交。這些線只是可以繪製到無限多個解的無限多個可能切線的一部分。

如果DE為

${\frac {dy}{dx}}=k,$

那麼斜率場的梯度將為k，解的梯度也將為k。

示例 2: y'=x

圖 3: y'=x 的斜率場

圖 4: y'=x 的斜率場和一些解

此斜率場將更加複雜，因為切線段的梯度將根據該段在x軸上的位置而變化。線的x分量仍然為1，但y分量現在為x，這使得梯度隨著x的增加而更加正，隨著x的減小而更加負。

DE的解

${\frac {dy}{dx}}=x$

是

$y={\frac {1}{2}}x^{2}+c$

圖 4 中繪製了這些解的集合以及斜率場，以顯示兩者之間的關係。

示例 3: y'=sin x

這是最後一個示例，其中導數等於僅x的函式。DE為

${\frac {dy}{dx}}=\sin x$

下圖圖 5 顯示了斜率場。

圖 5：y'=sin x 的斜率場

DE 的解為

$y=-\cos x+C\,$

一組疊加在斜率場上的解看起來像這樣

圖 6：y'=sin x 的斜率場疊加了一些解

示例 4：y'=y

圖 7：y'=y 的斜率場

圖 8：y'=y 的斜率場和一些解

現在我們來解決更棘手的 DE 問題，其中導數與因變數 y 有關。最簡單的情況是當 y(x) 為常數時，但這已經涵蓋了，因為它與 x 為常數相同（參見示例 1）。

在斜率場中，線的 x 分量保持為 1，但 y 分量等於 y。一個常見的錯誤是假設由於梯度是 y 的函式，因此 y 分量被設定為 1。然而，這意味著這些線將不再代表由 Δy/Δx 定義的梯度。

當 y 變大時，線的傾斜度會增加，但如果 x 改變，則不會改變。斜率場看起來像圖 7。

解如下

${\frac {dy}{dx}}=y$

$\int {\frac {1}{y}}dy=\int 1dx$

$\ln y=x+C\,$

$y=Ce^{x}\,$

這是有道理的，因為指數函式是唯一一個在微分或積分時不改變的函式。圖 8 顯示了一些疊加在斜率場上的解。

這是一個很好的例子，說明斜率場可能有點誤導。場的均勻間隔（一個人為屬性，因為帶線的點是在均勻間隔的網格上選擇的）不能傳達這樣一個事實：隨著 C 線性增加（就像在圖 8 中一樣），解越來越遠。

示例 5：y' = sin y

圖 9：v'=-0.01v+sin y 的斜率場

圖 10：v'=-0.01v+sin y 的斜率場和一些解

這是一個很難進行積分的積分（我使用的是計算機），但斜率場仍然很容易繪製：每條線的 y 分量取決於 y 值的正弦。這在 y 軸上每隔 2π 個單位重複一次，但在 π 和 -π 之間，斜率場看起來像圖 9。

的通解為

${\frac {dy}{dx}}=\sin y$

是

$y=\pm 2\operatorname {arccot} e^{-x-C}.\,$

現在，即使我並沒有自己做 DE，而且我不知道它是否正確，我仍然可以將其與斜率場進行比較，就像在圖 10 中一樣。這兩種方法之間的高度一致性強烈表明 DE 的解是正確的。如果你有電腦或好的圖形計算器，這是一個非常有用的方法來檢查結果。

示例 6：y'=xy

圖 11：y'=xy 的斜率場

圖 12：y'=xy 的斜率場和一些解

這是我將做的最後一個斜率場示例，它涉及與 x 和 y 都有關的導數

${\frac {dy}{dx}}=xy.$

斜率場看起來像圖 11，儘管 DE 中同時存在 x 和 y，但線的 x 分量仍然都是 1。這永遠不會改變。

斜率場及其解如圖 12 所示。

繪製一階 DE 的下一種方法是使用 等斜線，等斜線與斜率場有密切關係。

接下來：等斜線