常微分方程/齊次方程 1

常係數齊次方程

考慮一個形式為

$p_{0}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\ldots +p_{n-1}(x){\frac {dy}{dx}}+p_{n}(x)y=f(x)$

常係數是指微分方程的左側 - y 的所有項的係數（即 p₁(x) 等）都是常數。雖然這看起來不切實際，但它實際上在電路和諧波運動中經常出現。

“齊次”是指方程的右側。如果 f(x)=0，則方程是齊次的；如果不是，則為非齊次。同樣，它看起來沒用，但事實並非如此。這使得問題變得更容易解決。我們將在稍後處理非齊次方程。

因此，常係數齊次方程是一個具有以下形式的方程

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+c_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+c_{2}{\frac {d^{n-2}y}{dx^{n-2}}}+\ldots +c_{n}y=0$

其中 c₁、c₂ 等都是常數。

二階方程

為了展示如何求解這些方程，讓我們從最基本的情況開始 - 二階方程

$A{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+B{\frac {dy}{dx}}+Cy=0$

其中 A、B 和 C 是常數。

輔助二次方程

對於一個 DE

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0,$

進行以下替換

$y=e^{mx}\,$

這也給出

${\frac {dy}{dx}}=me^{mx}\,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m^{2}e^{mx}\,$

DE 現在是

$am^{2}e^{mx}+bme^{mx}+ce^{mx}=0\,$

用 $e^{mx}$ 除，得到（注意：$e^{mx}$ 永遠不會等於零）

$am^{2}+bm+c=0\,$

這是微分方程的輔助二次方程（AQ）。輔助二次方程有四類結果

1. $b^{2}-4ac>0,\,$，得到兩個不同的實根。
2. $b^{2}-4ac=0,\,$，得到兩個重合的實根。
3. $b^{2}-4ac<0,\,$，得到複數根。

a：純虛數根。

b：共軛複數對。

微分方程的求解方法取決於 AQ 的類別。

類別 1：不同的實根

考慮微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{dx}}-6y=0$

AQ 為

$m^{2}+m-6=0\,$

$(m+3)(m-2)=0\,$

這給了我們以下根

$m=2,\ m=-3$

回到我們用來得到 AQ 的替換，我們有

$y=e^{2x},\ y=e^{-3x}$

作為微分方程的兩個不同的解。根據疊加原理，因此通解為

$y=Ae^{2x}+Be^{-3x}\,$

類別 1 微分方程的通解

一般而言，對於二階微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

輔助二次方程為

$am^{2}+bm+c=0\,$

根為 α 和 β，通解為

$y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}\,$

類別 2：重合的實根

考慮微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}+4y=0$

AQ 為

$m^{2}-4m+4=0\,$

$(m-2)(m-2)=0\,$

所以，$e^{2x}\,$ 是一個解。但是，我們不能把它作為兩個解，因為產生的兩個因子會被吸收進常數，只剩下一個常數，因此微分方程就沒有完整的解。

為了得到另一個解，我們將使用降階法。為此，我們假設它具有以下形式：

$y_{2}=u(x)y_{1}=u(x)e^{2x}\,$

最後，我們將檢查我們的假設是否正確。現在，我們將代入這個方程並解出u(x)

$y_{2}''-4y_{2}'+4y_{2}=0\,$

$u''(x)e^{2x}+2u'(x)e^{2x}+2u'(x)e^{2x}+4u(x)e^{2x}-4(u'(x)e^{2x}+2u(x)e^{2x})+4u(x)e^{2x}=0\,$

$u''(x)e^{2x}=0\,$

$e^{2x}\,$ 始終不為零，因此，只有當以下情況成立時，乘積才能等於零：

$u''(x)=0\,$

積分兩次得到：

$u(x)=a_{1}x+a_{2}\,$

因此：

$y_{2}=(a_{1}x+a_{2})y_{1}\,$

$y_{2}=(a_{1}x+a_{2})e^{2x}\,$

我們的通解是：

$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\,$

$y=C_{1}e^{2x}+C_{2}(a_{1}x+a_{2})e^{2x}\,$

$y=(C_{1}+a_{2})e^{2x}+C_{2}a_{1}xe^{2x}\,$

由於每個常數都是任意的，我們可以簡單地寫成

$y=C_{1}e^{2x}+C_{2}xe^{2x}\,$

降階法可以應用於不同的方程，並且 u(x) 不總是等於 x。 你可以在下面看到 $y=xe^{x}$ 是一個有效的解。

$y=xe^{2x}\,$

${\frac {dy}{dx}}=2xe^{2x}+e^{2x}=e^{2x}(2x+1)\,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2e^{2x}+2e^{2x}(2x+1)=e^{2x}(4x+4)\,$

為了檢驗，將這些代入原始的微分方程。

$e^{2x}(4x+4)-4e^{2x}(2x+1)+4xe^{2x}=0\,$

$4xe^{2x}+4e^{2x}-8xe^{2x}-4e^{2x}+4xe^{2x}=0\,$

$0=0\,$

因此，$y=xe^{2x}\,$ 也是一個解。

二階微分方程的通解

一般而言，對於二階微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

對於輔助方程具有重根 α 的情況，通解為

$y=(A+Bx)e^{\alpha x}\,$

類別 3a：純虛根

為了得到復根，輔助方程的判別式必須小於零，因此

$b^{2}-4ac<0\,$

此外，為了使解為純虛數，b 的值必須恰好為零。

因此，

$4ac>0\,$

這意味著 a 和 c 必須具有相同的符號：a 和 c 都為正數或都為負數。 如果我們考慮我們的通用二階微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

將 b 設定為零得到

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+cy=0$

除以 a 得到

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {c}{a}}y=0$.

因此，y 項始終為正，這可以用以下表示

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$.

(這裡使用ω，因為它在簡諧運動中被使用，而這也是這個微分方程的主要用途)。現在求解這個微分方程有兩種方法。第一種方法依賴於我們發現可以使用三角函式的週期性在求導時進行替換。用以下公式進行替換

$y=\cos \omega x\,$

${\frac {dy}{dx}}=-\omega \sin \omega x\,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-\omega ^{2}\cos \omega x\,$

並將結果代入微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=-\omega ^{2}\cos \omega x+\omega ^{2}\cos \omega x=0$

這驗證了$\cos \omega x\,$是一個解。類似的結論對用$y=\sin \omega x\,$進行替換也成立。

因此我們的解為

$y=\cos \omega x\,$

$y=\sin \omega x\,$

所以通解是

$y=A\cos \omega x+B\sin \omega x.\,$

求解這個方程的另一種方法是使用尤拉公式

$e^{\omega ix}=\cos \omega x+i\sin x\,$

以及

$e^{-\omega ix}=\cos \omega x-i\sin x\,$

從我們最初的微分方程，我們得到特徵方程為

$m^{2}+\omega ^{2}=0\,$

得到根為

$m=\pm i\omega \,$

因此，與一階微分方程類似，通解為

$y=Ae^{\omega ix}+Be^{-\omega ix}\,$

$y=A(\cos \omega x+i\sin \omega x)+B(\cos \omega x-i\sin \omega x)\,$

$y=(A+B)\cos \omega x+i(A-B)\sin \omega x\,$

由於 A 和 B 是任意的，為了方便，我們可以設定新的常數，令我們的新 A 等於 A+B，我們的新 B 等於 _i_ (A-B)。

因此，我們的通解為

$y=A\cos \omega x+B\sin \omega x\,$

3a 類微分方程的通解

一般而言，對於二階微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$

通解是

$y=A\cos \omega x+B\sin \omega x\,$

3b 類：共軛復根

由於已經證明多項式的復根總是成對出現，因此 AQ 中唯一剩下的類別是解為共軛復根的類別。

鑑於解是複數，我們知道在 AQ 中

$am^{2}+bm+c=0\,$

$b^{2}-4ac,<0,\ b\neq 0\,$ (見 3a 類)。

該方程的根的形式為

$(p\pm iq)\,$

然後通解為

$y=Ae^{(p+iq)x}+Be^{(p-iq)x}\,$

$y=e^{px}\left(Ae^{iqx}+Be^{-iqx}\right)\,$

從尤拉公式，我們現在可以得到

$y=e^{px}\left(A\left(\cos qx+i\sin qx\right)+B\left(\cos qx-i\sin qx\right)\right)\,$

$y=e^{px}\left((A+B)\cos qx+i(A-B)\sin qx\right)\,$

由於 A 和 B 是任意的，我們可以像在 3a 類中一樣將它們合併，這樣我們就可以得到通解

$y=e^{px}\left(A\cos qx+B\sin qx\right)\,$

3b 類微分方程的通解

一般而言，對於二階微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

其中 AQ 的根為

$m=p\pm iq,$

通解是

$y=e^{px}\left(A\cos qx+B\sin qx\right)\,$

我們現在已經涵蓋了所有可能的齊次二階微分方程型別，而且我們甚至沒有進行任何積分！現在我們將看一下更高階的等效方程。

n階方程

如何將上述內容擴充套件到n階？ 嗯，n階對x的階數要求與二階方程相同。因此，我們仍然需要涉及$e^{mx}$的函式。 只有兩點主要區別。 首先，我們將有更多項 - 我們不能僅僅代入輔助二次方程來獲得根。 其次，根更多。 我們最終將得到n個根，因此y將是n個方程的總和。

三階方程的示例

考慮三階微分方程

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-4{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-7{\frac {dy}{dx}}+6y=0$.

找到形式為

$m^{3}-4m^{2}-7m+6=0\,$

$m=-1,2,3\,$

因此，我們的不同解是

$y=e^{-x},\ e^{2x},\ e^{3x}\,$

這給了我們一個通解

$y=Ae^{-x}+Be^{2x}+Ce^{3x}\,$