常微分方程/帶阻尼力的運動

帶阻尼力的簡諧運動可用於描述在摩擦力影響下彈簧末端的質量運動。

運動定律

摩擦力被認為服從線性定律，也就是說，它由以下表達式給出

{\vec {F_{f}}}=-\lambda {\vec {v}}\,

其中

$\lambda \,$ 是一個正常數，代表阻尼摩擦力的係數，
${\vec {F_{f}}}\,$ 代表摩擦力，以及
${\vec {v}}\,$ 是速度。

請注意，減號表示阻尼摩擦力始終與運動方向相反。

運動的微分方程

帶阻尼力的運動的微分方程將由下式給出

$m{\ddot {x}}+\lambda {\dot {x}}+kx=0$

為了獲得等於1 的主係數，我們將此方程除以質量

${\ddot {x}}+{\frac {\lambda }{m}}{\dot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0$

能量不守恆

我們可以用速度 ${\dot {x}}\,$ 乘以運動方程，以獲得可積形式

$m{\ddot {x}}{\dot {x}}+\lambda {\dot {x}}^{2}+kx{\dot {x}}=0$

現在我們將此方程從0 積分到t 以獲得能量表達式

$m{{{{\dot {x}}^{2}}(t)} \over 2}+k{{{x^{2}}(t)} \over 2}=m{{{{\dot {x}}^{2}}(0)} \over 2}+k{{{x^{2}}(0)} \over 2}-{\lambda \over 2}\int _{0}^{t}{{\dot {x}}^{2}}dt$

用以下符號表示機械能

$E(t):=m{{{{\dot {x}}^{2}}(t)} \over 2}+k{{{x^{2}}(t)} \over 2}\,}$

能量的變化由下式給出：

$E(t)-E(0)=-{\lambda \over 2}\int _{0}^{t}{{\dot {x}}^{2}}dt$

也就是說，如果阻尼摩擦力系數 $\lambda$ 不為零，或者速度平方積分不為零，系統就會損失能量。從物理角度來說，摩擦將機械能轉化為熱能。

初始條件

對於自由運動方程，通常需要兩條資訊來恰當地描述物體的運動。

物體的起始位置。 $x_{2}$
物體的起始運動方向和速度。 $v$

通常情況下，兩者缺一不可。為了簡便起見，我們把平衡點以下的所有位移都設為 $x>0$ ，平衡點以上的所有位移都設為 $x<0$ 。

向上運動 $v<0$ ，向下運動 $v>0$ 。

解

我們尋找以下形式的通解：

$x(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\,$

將該解代入方程，得到一個二次方程：

$ms^{2}+\lambda s+k=0\,$

該方程的解為：

$s_{1},s_{2}={\frac {-\lambda \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-4mk}}}{2m}}$

而 $A_{1},A_{2}$ 由初始條件決定。顯然，該解可能有實數根或複數根。無論哪種情況，根的實部總是負數（因為 $k$ 和 $m$ 都是正數），意味著解是穩定的。當兩個根都是實數時，該系統稱為 **過阻尼** 系統；當該系統有兩個複數根（其中一個是另一個的複共軛）時，該系統稱為 **欠阻尼** 系統。當 $\lambda$ =0 時，兩個根的實部都為零，解是振盪的，即能量守恆的。