偏微分方程/基本解、格林函式和格林核

在過去的兩個章節中，我們學習了測試函式空間和分佈。本章將展示一種利用測試函式空間和分佈來獲得線性偏微分方程解的方法。

分佈解和基本解

在上一章中，我們定義了分佈與光滑函式的乘積和分佈的導數。因此，對於一個分佈 ${\mathcal {T}}$，我們可以計算以下表達式：

$a\cdot \partial _{\alpha }{\mathcal {T}}$

對於一個光滑函式 $a:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 和一個 $d$ 維多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。因此，我們注意到，在一個形式為

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

我們可以將任何分佈 ${\mathcal {T}}$ 代替 $u$ 代入左側。但是，在這種情況下，等式將不成立，因為右側是一個函式，而左側將得到一個分佈（因為分佈的有限和又是分佈，根據練習 4.1；記住只有有限多個 $a_{\alpha }$ 被允許不為零，參見定義 1.2）。但是，如果我們用 ${\mathcal {T}}_{f}$（對應於 $f$ 的正則分佈）替換右側，那麼可能存在分佈 ${\mathcal {T}}$ 滿足該方程。在這種情況下，我們稱之為 *分佈解*。讓我們在方框中總結一下這個定義。

定義 5.1:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

設 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(O)^{*}$ 是一個線性偏微分方程，並令 ${\mathcal {T}}$ 。那麼 ${\mathcal {T}}$ 被稱為上述線性偏微分方程的 **分散式解** 當且僅當

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi )={\mathcal {T}}_{f}(\varphi )$.

定義 5.2:

設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一個開集，並令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

是一個線性偏微分方程。如果 $F:O\to {\mathcal {D}}(O)^{*}$ 具有以下兩個性質

1. $\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):x\mapsto F(x)(\varphi )$ 是連續的，並且
2. $\forall x\in O:\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }F(x)(\varphi )=\delta _{x}(\varphi )$,

我們稱 $F$ 為該偏微分方程的 **基本解**。

關於 $\delta _{x}$ 的定義，請參考練習 4.5。

引理 5.3:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，並令 $\{{\mathcal {T}}_{x}|x\in S\}\subseteq {\mathcal {D}}(O)^{*}$ 為一組分佈，其中 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$。進一步假設對於所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，函式 $S\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\mathcal {T}}_{x}(\varphi )$ 是連續且有界的，並令 $f\in L^{1}(S)$ 是緊支撐的。那麼

${\mathcal {T}}(\varphi ):=\int _{S}f(x){\mathcal {T}}_{x}(\varphi )dx$

是一個分佈。

證明:

令 $C\subset \mathbb {R} ^{d}$ 為 $f$ 的支撐。對於 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，用如下符號表示函式 $C\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\mathcal {T}}_{x}(\varphi )$ 的上確界範數：

$\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }$.

如果 $\|f\|_{L_{1}}=0$ 或 $\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }=0$，則 ${\mathcal {T}}$ 恆等於零，因此是一個分佈。 因此，我們只需要考慮 $\|f\|_{L_{1}}\neq 0$ 且 $\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }\neq 0$ 的情況。

對於每個 $n\in \mathbb {N}$，${\overline {B_{n}(0)}}$ 是一個緊集，因為它是有界閉集。 因此，我們可以用有限個兩兩不相交的集合 $Q_{n,1},\ldots ,Q_{n,k_{n}}$ 來覆蓋 ${\overline {B_{n}(0)}}\cap S$，這些集合的直徑不超過 $1/n$（為了方便，我們選擇這些集合為 ${\overline {B_{n}(0)}}\cap S$ 的子集）。 此外，我們選擇 $x_{n,1}\in Q_{n,1},\ldots ,x_{n,k_{n}}\in Q_{n,k_{n}}$。

對於每個 $n\in \mathbb {N}$，我們定義

${\mathcal {T}}_{n}(\varphi ):=\sum _{j=1}^{k_{n}}\int _{Q_{n,j}}f(x){\mathcal {T}}_{x_{n,j}}(\varphi )dx$

，這是一個分佈的有限線性組合，因此也是一個分佈（參見習題 4.1）。

現在令 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$ 和 $\epsilon >0$ 是任意的。我們選擇 $N_{1}\in \mathbb {N}$ 使得對於所有的 $n\geq N_{1}$

$\forall x\in B_{R_{n}}(0)\cap S:y\in B_{1/n}(x)\Rightarrow |{\mathcal {T}}_{x}(\varphi )-{\mathcal {T}}_{y}(\varphi )|<{\frac {\epsilon }{2\|f\|_{L^{1}}}}$.

我們可以做到這一點，因為連續函式在緊集上是一致連續的。此外，我們選擇 $N_{2}\in \mathbb {N}$ 使得

$\int _{S\setminus B_{n}(0)}|f(x)|dx<{\frac {\epsilon }{2\|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }}}$.

我們可以根據控制收斂定理做到這一點。因為對於 $n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$

$|{\mathcal {T}}_{n}(\varphi )-{\mathcal {T}}(\varphi )|<\sum _{j=1}^{k_{n}}\int _{Q{n,j}}|f(x)||{\mathcal {T}}_{\lambda _{x_{n,j}}}(\varphi )-{\mathcal {T}}_{x}(\varphi )|dx+{\frac {\epsilon \|{\mathcal {T}}_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }}{2\|T_{\cdot }(\varphi )\|_{\infty }}}<\epsilon$,

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):{\mathcal {T}}_{l}(\varphi )\to {\mathcal {T}}(\varphi )$. 因此，根據定理 AI.33，該結論成立。$\Box$

定理 5.4:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

是一個線性偏微分方程，其中 $f$ 是可積的，且具有緊支撐。令 $F$ 為該 PDE 的基本解。那麼

${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}(\varphi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)F(x)(\varphi )dx$

是一個分佈，是該偏微分方程的分佈解。

證明: 由於根據基本解的定義，函式 $x\mapsto F(x)(\varphi )$ 對所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 是連續的，引理 5.3 意味著 ${\mathcal {T}}$ 是一個分佈。

此外，根據定義 4.16，

${\begin{aligned}\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi )&={\mathcal {T}}\left(\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\varphi )\right)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)F(x)\left(\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\varphi )\right)dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }F(x)(\varphi )dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\delta _{x}(\varphi )dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\varphi (x)dx\\&={\mathcal {T}}_{f}(\varphi )\end{aligned}}$.$\Box$

引理 5.5:

令 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$, $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$, $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$. 那麼

$f\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\varphi )=(f\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})*\varphi$.

證明:

根據定理 4.21 2., 對所有 $x\in \mathbb {R} ^{d}$

${\begin{aligned}f\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\varphi )(x)&=f{\mathcal {T}}*(\partial _{\alpha }\varphi )(x)\\&=f{\mathcal {T}}((\partial _{\alpha }\varphi )(x-\cdot ))\\&=f{\mathcal {T}}\left((-1)^{|\alpha |}\partial _{\alpha }(\varphi (x-\cdot ))\right)\\&=f(\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})(\varphi (x-\cdot ))\\&=(\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})(f\varphi (x-\cdot ))\\&=(f\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})(\varphi (x-\cdot ))=(f\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})*\varphi (x)\\\end{aligned}}$.$\Box$

定理 5.6:

令 ${\mathcal {T}}$ 是方程的解

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d}):\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi )=\delta _{0}$,

其中只有有限個 $a_{\alpha }$ 不為零，並且令 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$. 那麼 $u:={\mathcal {T}}*\vartheta$ 是以下方程的解

$\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u=\vartheta$.

證明:

根據引理 5.5，我們有

${\begin{aligned}\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u(x)&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\vartheta )(x)\\&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(\partial _{\alpha }{\mathcal {T}})*\vartheta (x)\\&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\vartheta (x-\cdot ))\\&=\delta _{0}(\vartheta (x-\cdot ))=\vartheta (x)\end{aligned}}$.$\Box$

單位分解

在本節中，您將瞭解數學中一個非常重要的工具，即單位分解。 我們將在本章以及本書的後面用到它。 為了證明單位分解的存在性（我們很快就會定義它是什麼），我們首先需要一些定義。

定義 5.7:

設 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為一個集合。 我們定義

• $\partial S:=\left\{x\in \mathbb {R} {\big |}\forall \epsilon >0:B_{\epsilon }(x)\cap S\neq \emptyset \wedge B_{\epsilon }(x)\cap (\mathbb {R} ^{d}\setminus S)\neq \emptyset \right\}$
• ${\overset {\circ }{S}}:=S\setminus \partial S$

$\partial S$ 稱為 $S$ 的邊界，而 ${\overset {\circ }{S}}$ 稱為 $S$ 的內部。此外，如果 $x\in \mathbb {R} ^{d}$，我們定義

${\text{dist}}(S,x):=\inf _{y\in S}\|x-y\|$.

證明中還需要用到定義 3.13，因此現在將其重新陳述

定義 3.13:

對於 $R\in \mathbb {R} _{>0}$，我們定義

$\eta _{R}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta _{R}(x)=\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}$.

定理和定義 5.8：設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一個開集，並設 $U_{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 是 $\mathbb {R} ^{d}$ 的開子集，使得 $\bigcup _{\upsilon \in \Upsilon }U_{\upsilon }=O$（即，集合 $U_{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 形成 $O$ 的開覆蓋）。那麼存在 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$ 中的一個函式序列 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$，使得以下條件滿足

1. $\forall n\in \mathbb {N} :\forall x\in O:0\leq \eta _{n}(x)\leq 1$
2. $\forall n\in \mathbb {N} :\exists \upsilon \in \Upsilon :{\text{supp }}\eta _{n}\subseteq U_{\upsilon }$
3. $\forall x\in O:|\{n\in \mathbb {N} |\eta _{n}(x)\neq 0\}|<\infty$
4. $\forall x\in O:\sum _{i=0}^{\infty }\eta _{i}(x)=1$

序列 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 被稱為 $O$ 關於 $U_{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 的單位分解。

證明：我們將透過顯式構造這樣的函式序列來證明這一點。

1. 首先，我們構造一個開球序列 $(B_{l})_{l\in \mathbb {N} }$，它具有以下性質

• $\forall n\in \mathbb {N} :\exists \upsilon \in \Upsilon :{\overline {B_{n}}}\subseteq U_{\upsilon }$
• $\forall x\in O:|\{n\in \mathbb {N} |x\in {\overline {B_{n}}}\}|<\infty$
• $\bigcup _{j\in \mathbb {N} }B_{j}=O$.

為了做到這一點，我們首先從序列緊集的定義開始；對於每個 $n\in \mathbb {N}$，我們定義

$K_{n}:=\left\{x\in O{\big |}{\text{dist}}(\partial O,x)\geq {\frac {1}{n}},\|x\|\leq n\right\}$.

這個序列具有以下性質

• $\bigcup _{j\in \mathbb {N} }K_{j}=O$
• $\forall n\in \mathbb {N} :K_{n}\subset {\overset {\circ }{K_{n+1}}}$.

我們現在構建 $(B_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 使得

• $K_{1}\subset \bigcup _{1\leq j\leq k_{1}}B_{j}\subseteq {\overset {\circ }{K_{2}}}$ 和
• $\forall n\in \mathbb {N} :K_{n+1}\setminus {\overset {\circ }{K_{n}}}\subset \bigcup _{k_{n}<j\leq k_{n+1}}B_{j}\subseteq {\overset {\circ }{K_{n+2}}}\setminus K_{n-1}$

對於某些 $k_{1},k_{2},\ldots \in \mathbb {N}$。我們用以下方法做到這一點：為了滿足第一個條件，我們首先用球體覆蓋 $K_{1}$，對於每個 $x\in K_{1}$ 選擇一個球體 $B_{x}$ 使得 $B_{x}\subseteq U_{\upsilon }\cap {\overset {\circ }{K_{2}}}$ 對於一個 $\upsilon \in \Upsilon$。由於這些球體覆蓋了 $K_{1}$，並且 $K_{1}$ 是緊緻的，我們可以選擇一個有限的子覆蓋 $B_{1},\ldots B_{k_{1}}$。

為了滿足第二個條件，我們以類似的方式進行，注意到對於所有 $n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$ $K_{n+1}\setminus {\overset {\circ }{K_{n}}}$ 是緊緻的，而 ${\overset {\circ }{K_{n+2}}}\setminus K_{n-1}$ 是開集。

這個開球序列具有我們期望的性質。

2. 我們選擇相應的函式。由於每個 $B_{n}$，$n\in \mathbb {N}$ 是一個開球，它具有以下形式

$B_{n}=B_{R_{n}}(x_{n})$

其中 $R_{n}\in \mathbb {R}$ 和 $x_{n}\in \mathbb {R} ^{d}$。

很容易證明，由以下定義的函式

${\tilde {\eta }}_{n}(x):=\eta _{R_{n}}(x-x_{n})$

滿足 ${\tilde {\eta }}_{n}(x)=0$ 當且僅當 $x\in B_{n}$。因此，也有 ${\text{supp }}{\tilde {\eta }}_{n}={\overline {B_{n}}}$。我們定義

$\eta (x):=\sum _{j=1}^{\infty }{\tilde {\eta }}_{j}(x)$

以及，對於每個 $n\in \mathbb {N}$，

$\eta _{n}:={\frac {{\tilde {\eta }}_{n}}{\eta }}$.

然後，由於 $\eta$ 從不為零，序列 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是一個 ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$ 函式序列，並且它具有性質 1. - 4.，這一點很容易驗證。 $\Box$

格林函式和格林核

定義 5.9:

令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

為一個線性偏微分方程。如果對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{d}$，${\mathcal {T}}_{G(\cdot ,x)}$ 是定義良好的，並且

$F(x):={\mathcal {T}}_{G(\cdot ,x)}$

是該偏微分方程的一個基本解，則稱該函式 $G:\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 為該偏微分方程的格林函式。

定義 5.10:

令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

為一個線性偏微分方程。如果函式

$G(y,x):=K(y-x)$

是該偏微分方程的格林函式，則稱該函式 $K:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 為該偏微分方程的格林核。

定理 5.11:

令

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

為一個線性偏微分方程（以下簡稱 PDE），使得 $f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{d})$，令 $K$ 為該 PDE 的格林核。如果

$u:=f*K$

如果 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u$ 存在且連續，則 $u$ 是該偏微分方程的解。

證明:

我們選擇 $(\eta _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 作為 $O$ 的單位分解，其中 $O$ 的開覆蓋只包含集合 $O$ 本身。根據單位分解的定義，我們有

$f=\sum _{j\in \mathbb {N} }\eta _{j}f$.

對於每個 $n\in \mathbb {N}$，我們定義

$f_{n}:=\eta _{n}f$

以及

$u_{n}:=f_{n}*K$.

根據 Fubini 定理，對於所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$ 和 $n\in \mathbb {N}$

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}T_{K(\cdot -y)}(\varphi )f_{n}(y)dy&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(x-y)\varphi (x)dxf_{n}(y)dy\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f_{n}(y)K(x-y)\varphi (x)dydx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(f_{n}*K)(x)\varphi (x)dx\\&={\mathcal {T}}_{u_{n}}(\varphi )\end{aligned}}$.

因此，定理 4.11 中給出的 ${\mathcal {T}}_{u_{n}}$ 是一個定義良好的分佈。

定理 5.4 意味著 ${\mathcal {T}}_{u_{n}}$ 是 PDE 的分佈解

$\forall x\in O:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u_{n}(x)=f_{n}(x)$.

因此，對於所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$，我們有，根據定理 4.19，

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u_{n}\right)(x)\varphi (x)dx&={\mathcal {T}}_{\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u_{n}}(\varphi )\\&=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{u_{n}}(\varphi )\\&=T_{f_{n}}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f_{n}(x)\varphi (x)dx\end{aligned}}$.

由於 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }u_{n}$ 和 $f_{n}$ 均為連續函式，根據定理 3.17，它們必須相等。將等式兩邊關於 $n$ 求和得到定理。$\Box$

定理 5.12:

令 $K\in L_{\text{loc}}^{1}$，並令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集。那麼對於所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，函式 $x\mapsto {\mathcal {T}}_{K(\cdot -x)}(\varphi )$ 是連續的。

證明:

如果 $x_{l}\to x,l\to \infty$，那麼

${\begin{aligned}{\mathcal {T}}_{K(\cdot -x_{l})}(\varphi )-{\mathcal {T}}_{K(\cdot -x)}(\varphi )&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(y-x_{l})\varphi (y)dy-\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(y-x)\phi (y)dy\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(y)(\varphi (y+x_{l})-\varphi (y+x))dy\\&\leq \max _{y\in \mathbb {R} ^{d}}|\varphi (y+x_{l})-\varphi (y+x)|\underbrace {\int _{{\text{supp }}\varphi +B_{1}(x)}K(y)dy} _{\text{constant}}\end{aligned}}$

當$l$ 足夠大時，最後一個表示式中的最大值收斂於 $0$，因為 $l\to \infty$，因為 $\varphi$ 的支撐是緊緻的，因此 $\varphi$ 由Heine-Cantor 定理 一致連續。$\Box$

最後一個定理表明，如果我們找到一個區域性可積函式$K$ 使得

$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{K(\cdot -x)}=\delta _{x}$,

我們找到了相應偏微分方程的格林核$K$。我們將在獲得熱方程和泊松方程解的過程中依賴這個定理。

來源

• Hasse Carlsson (2011), 分佈理論講義 (PDF)
• Daniel Matthes (2013/2014), 偏微分方程講義 {{citation}}: 請檢查日期值：|year= (幫助)