偏微分方程/分佈

分佈和緩增分佈

定義 4.1:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，令 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 為一個函式。我們稱 ${\mathcal {T}}$ 為一個 **分佈** 當且僅當

• ${\mathcal {T}}$ 是線性的 ($\forall \varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(O),b,c\in \mathbb {R} :{\mathcal {T}}(b\varphi +c\vartheta )=b{\mathcal {T}}(\varphi )+c{\mathcal {T}}(\vartheta )$)
• ${\mathcal {T}}$ 是序列連續的（如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在碰撞函式的收斂概念中，則 ${\mathcal {T}}(\varphi _{l})\to {\mathcal {T}}(\varphi )$ 在實數中）

我們用 ${\mathcal {D}}(O)^{*}$ 表示 ${\mathcal {D}}(O)$ 的所有分佈集合

定義 4.2:

令 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$ 為一個函式。我們稱 ${\mathcal {T}}$ 為一個 **緩增分佈** 當且僅當

• ${\mathcal {T}}$ 是線性的 ($\forall \varphi ,\vartheta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}),b,c\in \mathbb {R} :{\mathcal {T}}(b\varphi +c\vartheta )=b{\mathcal {T}}(\varphi )+c{\mathcal {T}}(\vartheta )$)
• ${\mathcal {T}}$ 是序列連續的（如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在 Schwartz 函式收斂的概念中，那麼 ${\mathcal {T}}(\varphi _{l})\to {\mathcal {T}}(\varphi )$ 在實數中）

我們將所有緩增分佈的集合表示為 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$.

定理 4.3:

令 ${\mathcal {T}}$ 是一個緩增分佈。那麼 ${\mathcal {T}}$ 到衝擊函式的限制是一個分佈。

證明:

令 ${\mathcal {T}}$ 是一個緩增分佈，並令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是開集。

1.

我們證明 ${\mathcal {T}}(\varphi )$ 對 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 具有一個明確定義的值。

根據定理 3.9，每個衝擊函式都是一個 Schwartz 函式，這就是為什麼表示式

${\mathcal {T}}(\varphi )$

對每個 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 有意義。

2.

我們證明該限制是線性的。

令 $a,b\in \mathbb {R}$ 且 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$。由於定理 3.9，$\varphi$ 和 $\vartheta$ 也是 Schwartz 函式，因此我們有

$\forall a,b\in \mathbb {R} ,\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(O):{\mathcal {T}}(a\varphi +b\vartheta )=a{\mathcal {T}}(\varphi )+b{\mathcal {T}}(\vartheta )$

由於 ${\mathcal {T}}$ 對所有 Schwartz 函式是線性的，因此 ${\mathcal {T}}$ 對 bump 函式也是線性的。

3.

我們證明 ${\mathcal {T}}$ 對 ${\mathcal {D}}(O)$ 的限制是逐點連續的。令 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在 bump 函式的收斂意義下。根據定理 3.11，$\varphi _{l}\to \varphi$ 在 Schwartz 函式的收斂意義下。由於 ${\mathcal {T}}$ 作為一個緩增分佈是逐點連續的，所以 ${\mathcal {T}}(\varphi _{l})\to {\mathcal {T}}(\varphi )$。$\Box$

卷積

定義 4.4:

令 $f,g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$。積分

$f*g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,(f*g)(y):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y-x)dx$

被稱為 $f$ 和 $g$ 的 **卷積**, 當它存在時表示為 $f*g$.

兩個函式的卷積並不總是存在, 但存在使其存在的充分條件。

定理 4.5:

令 $p,q\in [1,\infty ]$ 使得 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ 且令 $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ 和 $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d})$. 那麼對於所有的 $y\in O$, 積分

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y-x)dx$

具有一個明確定義的實數值。

證明:

根據Hölder 不等式,

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)g(y-x)|dx\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|g(y-x)|^{q}dx\right)^{1/q}<\infty$.$\Box$

現在我們將證明卷積是可交換的, 即 $f*g=g*f$.

定理 4.6:

令 $p,q\in [1,\infty ]$ 使得 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ （其中 ${\frac {1}{\infty }}=0$）並且令 $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ 以及 $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d})$。那麼對於所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$

$\forall y\in \mathbb {R} ^{d}:(f*g)(y)=(g*f)(y)$

證明:

我們使用微分同胚 $x\mapsto y-x$ 應用多維積分替換法得到

$(f*g)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y-x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y-x)g(x)dx=(g*f)(y)$.$\Box$

引理 4.7:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，並且令 $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$。那麼 $f*\eta _{\delta }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.

證明:

令 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 為任意值。 那麼，由於對於所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)\partial _{\alpha }\eta _{\delta }(y-x)|dx\leq \|\partial _{\alpha }\eta _{\delta }\|_{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|dx$

並且進一步

$|f(x)\partial _{\alpha }\eta _{\delta }(y-x)|\leq |f(x)|$,

萊布尼茨積分法則（定理 2.2）適用，並且透過多次使用萊布尼茨積分法則，我們得到

$\partial _{\alpha }f*\eta _{\delta }=f*\partial _{\alpha }\eta _{\delta }$.$\Box$

正則分佈

在本節中，我們將簡要研究一類稱為正則分佈的分佈。 特別地，我們將看到對於某些型別的函式，存在相應的分佈。

定義 4.8:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為一個開集，令 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(O)^{*}$。 如果對於所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ ${\mathcal {T}}(\varphi )$ 可以寫成

${\mathcal {T}}(\varphi )=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

對於一個函式 $f:O\to \mathbb {R}$，該函式與 $\varphi$ 無關，那麼我們稱 ${\mathcal {T}}$ 為一個正則分佈。

定義 4.9:

設 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$。如果對於所有 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ ${\mathcal {T}}(\phi )$ 可以寫成

${\mathcal {T}}(\phi )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$

對於一個函式 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$，它與 $\phi$ 無關，那麼我們稱 ${\mathcal {T}}$ 為 **正則緩增分佈**。

與這個定義相關的兩個問題可以被提出：給定一個函式 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$，是 ${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 對於 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 開集，由

${\mathcal {T}}_{f}(\varphi ):=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

定義良好且是一個分佈？或者 ${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$ 由

${\mathcal {T}}_{f}(\phi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$

函式是否定義良好且為緩增分佈？一般來說，這兩個問題的答案是否定的，但如果函式$f$具有相應的正確性質，那麼這兩個問題都可以回答為是，如下面的兩個定理所示。但在我們陳述第一個定理之前，我們必須定義區域性可積性意味著什麼，因為在 bump 函式的情況下，區域性可積性將是$f$為了定義相應的正則分佈而需要的性質

定義 4.10:

設$O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$為開集，$f:O\to \mathbb {R}$為函式。我們說$f$是 **區域性可積** 的，當且僅當對於$O$的所有緊子集$K$

$-\infty <\int _{K}f(x)dx<\infty$

我們寫$f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$.

現在我們準備給出關於$f$的一些充分條件，以便透過以下方式定義相應的正則分佈或正則緩增分佈

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\varphi ):=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

或

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\phi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$:

定理 4.11:

設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，並設 $f:O\to \mathbb {R}$ 為一個函式。那麼

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\varphi ):=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

是正則分佈當且僅當 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$.

證明:

1.

我們證明如果 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$，那麼 ${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 是一個分佈。

良定義性由積分的三角不等式和積分的單調性得出

${\begin{aligned}\left|\int _{U}\varphi (x)f(x)dx\right|\leq \int _{U}|\varphi (x)f(x)|dx=\int _{{\text{supp }}\varphi }|\varphi (x)f(x)|dx\\\leq \int _{{\text{supp }}\varphi }\|\varphi \|_{\infty }|f(x)|dx=\|\varphi \|_{\infty }\int _{{\text{supp }}\varphi }|f(x)|dx<\infty \end{aligned}}$

為了使絕對值嚴格小於無窮大，第一個積分首先必須具有一個定義明確的值。因此，${\mathcal {T}}_{f}$ 確實對映到 $\mathbb {R}$，良定義性得到證明。

連續性類似地由以下得出

$|T_{f}\varphi _{l}-T_{f}\varphi |=\left|\int _{K}(\varphi _{l}-\varphi )(x)f(x)dx\right|\leq \|\varphi _{l}-\varphi \|_{\infty }\underbrace {\int _{K}|f(x)|dx} _{{\text{independent of }}l}\to 0,l\to \infty$

，其中 $K$ 是所有 $\varphi _{l},l\in \mathbb {N}$ 和 $\varphi$ 支撐集所在的緊集（注意：所有 $\varphi _{l},l\in \mathbb {N}$ 支撐集都包含在其中的緊集存在是 ${\mathcal {D}}(O)$ 收斂的定義的一部分，見最後一章。正如定理 3.11 的證明中所述，我們也可以得出 $\varphi$ 的支撐集也包含在 $K$ 中）。

線性性來自積分的線性性質。

2.

我們證明如果 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是一個分佈，那麼 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$ （事實上，我們甚至證明了，如果 ${\mathcal {T}}_{f}(\varphi )$ 對每個 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 都有一個定義明確的實數值，那麼 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$。因此，根據本證明的第 1 部分，其中證明了如果 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$，那麼 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是 ${\mathcal {D}}^{*}(O)$ 中的分佈，我們有，如果 ${\mathcal {T}}_{f}(\varphi )$ 對每個 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 都是一個定義明確的實數，那麼 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是 ${\mathcal {D}}(O)$ 中的分佈。

令 $K\subset U$ 是一個任意的緊集。我們定義

$\mu :K\to \mathbb {R} ,\mu (\xi ):=\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|$

$\mu$ 是連續的，甚至是具有 Lipschitz 常數 $1$ 的 Lipschitz 連續的：令 $\xi ,\iota \in \mathbb {R} ^{d}$。根據三角不等式，兩者

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\|\xi -x\|\leq \|\xi -\iota \|+\|\iota -y\|+\|y-x\|~~~~~(*)$

和

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\|\iota -y\|\leq \|\iota -\xi \|+\|\xi -x\|+\|x-y\|~~~~~(**)$

，可以透過兩次應用三角不等式得到。

我們在 $\mathbb {R} ^{d}\setminus O$ 中選擇序列 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 和 $(y_{m})_{m\in \mathbb {N} }$，使得 $\lim _{l\to \infty }\|\xi -x_{l}\|=\mu (\xi )$ 和 $\lim _{m\to \infty }\|\iota -y_{m}\|=\mu (\iota )$，並考慮兩種情況。首先，我們考慮如果 $\mu (\xi )\geq \mu (\iota )$ 會發生什麼。然後我們有

${\begin{aligned}|\mu (\xi )-\mu (\iota )|&=\mu (\xi )-\mu (\iota )&\\&=\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|-\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\iota -y\|&\\&=\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|-\lim _{m\to \infty }\|\iota -y_{m}\|&\\&=\lim _{m\to \infty }\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\xi -x\|-\|\iota -y_{m}\|\right)&\\&\leq \lim _{m\to \infty }\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\xi -\iota \|+\|x-y_{m}\|\right)&(*){\text{ with }}y=y_{m}\\&=\|\xi -\iota \|&\end{aligned}}$.

其次，我們考慮當 $\mu (\xi )\leq \mu (\iota )$ 時會發生什麼。

${\begin{aligned}|\mu (\xi )-\mu (\iota )|&=\mu (\iota )-\mu (\xi )&\\&=\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\iota -y\|-\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|&\\&=\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\iota -y\|-\lim _{l\to \infty }\|\xi -x_{l}\|&\\&=\lim _{l\to \infty }\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\iota -y\|-\|\xi -x_{l}\|\right)&\\&\leq \lim _{l\to \infty }\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\xi -\iota \|+\|y-x_{l}\|\right)&(**){\text{ with }}x=x_{l}\\&=\|\xi -\iota \|&\end{aligned}}$

由於始終滿足以下任一條件：$\mu (\xi )\geq \mu (\iota )$ 或 $\mu (\xi )\leq \mu (\iota )$，我們已經證明了 Lipschitz 連續性，因此也證明了連續性。根據極值定理，$\mu$ 因此在 $\kappa \in \mathbb {R} ^{d}$ 處存在最小值。由於 $\mu (\kappa )=0$ 將意味著 $\|\xi -x_{l}\|\to 0,l\to \infty$ 對於序列 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 在 $\mathbb {R} ^{d}\setminus O$ 中成立，但這與 $\mathbb {R} ^{d}\setminus O$ 是閉集且 $\kappa \in K\subset O$ 矛盾，因此我們有 $\mu (\kappa )>0$。

因此，如果我們定義 $\delta :=\mu (\kappa )$，則 $\delta >0$。此外，該函式

$\vartheta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\vartheta (x):=(\chi _{K+B_{\delta /4}(0)}*\eta _{\delta /4})(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta _{\delta /4}(y)\chi _{K+B_{\delta /4}(0)}(x-y)dy=\int _{B_{\delta /4}(0)}\eta _{\delta /4}(y)\chi _{K+B_{\delta /4}(0)}(x-y)dy$

的支撐包含在$O$中，在$K$內等於$1$，並且根據引理 4.7，它也包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$中。因此，它也包含在${\mathcal {D}}(O)$中。因此，根據積分的單調性，

$\int _{K}|f(x)|dx=\int _{O}|f(x)|\chi _{K}(x)dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|\vartheta (x)dx$

，$f$確實區域性可積。$\Box$

定理 4.12:

設$f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$，即

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{2}dx<\infty$

那麼

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\phi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$

是一個正則的緩增分佈。

證明:

從Hölder 不等式中，我們得到

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\phi (x)||f(x)|dx\leq \|\phi \|_{L^{2}}\|f\|_{L^{2}}<\infty$.

因此，${\mathcal {T}}_{f}$ 是定義良好的。

由於積分的三角不等式和赫爾德不等式，我們有

$|T_{f}(\phi _{l})-T_{f}(\phi )|\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}|(\phi _{l}-\phi )(x)||f(x)|dx\leq \|\phi _{l}-\phi \|_{L^{2}}\|f\|_{L^{2}}$

此外

${\begin{aligned}\|\phi _{l}-\phi \|_{L^{2}}^{2}&\leq \|\phi _{l}-\phi \|_{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}|(\phi _{l}-\phi )(x)|dx\\&=\|\phi _{l}-\phi \|_{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})|(\phi _{l}-\phi )(x)|{\frac {1}{\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})}}dx\\&\leq \|\phi _{l}-\phi \|_{\infty }\left\|\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})(\phi _{l}-\phi )\right\|_{\infty }\underbrace {\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})}}dx} _{=\pi ^{d}}\end{aligned}}$.

如果$\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函式空間的收斂概念中，那麼這個表示式將變為零。因此，連續性得到了驗證。

線性性來自積分的線性性。$\Box$

等連續性

我們現在介紹等連續性的概念。

定義 4.13:

設 $M$ 是一個帶有度量 $d$ 的度量空間，設 $X\subseteq M$ 是 $M$ 中的一個集合，設 ${\mathcal {Q}}$ 是一組從 $X$ 到實數 $\mathbb {R}$ 的連續函式的集合。我們稱此集合 ${\mathcal {Q}}$ 為**等度連續**，當且僅當

$\forall x\in X:\exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}:\forall y\in X:d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall f\in {\mathcal {Q}}:|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

因此，等度連續實際上是定義在從 $X$（度量空間中的一個集合）到實數 $\mathbb {R}$ 的連續函式的集合上的。

定理 4.14:

設 $M$ 為一個度量空間，其度量記為 $d$，設 $Q\subseteq M$ 為 $M$ 中的一個 序列緊緻 集合，設 ${\mathcal {Q}}$ 為從 $Q$ 到實數 $\mathbb {R}$ 的一個等度連續連續函式集。則有：如果 $(f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是 ${\mathcal {Q}}$ 中的一個序列，使得對於每個 $x\in Q$，$f_{l}(x)$ 都有極限，那麼對於函式 $f(x):=\lim _{l\to \infty }f_{l}(x)$，它將 $Q$ 對映到 $\mathbb {R}$，則有 $f_{l}\to f$ 一致收斂。

證明:

為了證明一致收斂，根據定義，我們必須證明對於所有 $\epsilon >0$，存在一個 $N\in \mathbb {N}$，使得對於所有 $l\geq N:\forall x\in Q:|f_{l}(x)-f(x)|<\epsilon$。

所以讓我們假設相反的情況，這等同於對邏輯語句取反

$\exists \epsilon >0:\forall N\in \mathbb {N} :\exists l\geq N:\exists x\in Q:|f_{l}(x)-f(x)|\geq \epsilon$.

我們選擇一個序列 $(x_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ 在 $Q$ 中。我們取 $x_{1}$ 在 $Q$ 中，使得 $|f_{l_{1}}(x_{1})-f(x_{1})|\geq \epsilon$ ，對於任意選擇的 $l_{1}\in \mathbb {N}$，如果我們已經選擇了 $x_{k}$ 和 $l_{k}$ 對於所有 $k\in \{1,\ldots ,m\}$，我們選擇 $x_{m+1}$ 使得 $|f_{l_{m+1}}(x_{m+1})-f(x_{m+1})|\geq \epsilon$，其中 $l_{m+1}$ 大於 $l_{m}$。

由於 $Q$ 是序緊的，存在一個收斂子序列 $(x_{m_{j}})_{j\in \mathbb {N} }$ 的 $(x_{m})_{m\in \mathbb {N} }$。我們將該子序列的極限稱為 $x$。

由於 ${\mathcal {Q}}$ 是等度連續的，我們可以選擇 $\delta \in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$\|x-y\|<\delta \Rightarrow \forall f\in {\mathcal {Q}}:|f(x)-f(y)|<{\frac {\epsilon }{4}}$.

此外，由於 $x_{m_{j}}\to x$（當然，如果 $j\to \infty$），我們可以選擇 $J\in \mathbb {N}$ 使得

$\forall j\geq J:\|x_{m_{j}}-x\|<\delta$.

但是，對於 $j\geq J$ 和 反三角不等式，以下成立

$|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x)|\geq \left||f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|-|f(x_{m_{j}})-f(x)|\right|$

由於我們有 $|f(x_{m_{j}})-f(x)|<{\frac {\epsilon }{4}}$，根據反三角不等式和 t 的定義，我們可以得到

$|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|\geq \left||f_{l_{m_{j}}}(x_{m_{j}})-f(x_{m_{j}})|-|f_{l_{m_{j}}}(x)-f_{l_{m_{j}}}(x_{m_{j}})|\right|\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{4}}$

, 我們得到

${\begin{aligned}|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x)|&\geq \left||f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|-|f(x_{m_{j}})-f(x)|\right|\\&=|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|-|f(x_{m_{j}})-f(x)|\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{4}}-{\frac {\epsilon }{4}}\\&\geq {\frac {\epsilon }{2}}\end{aligned}}$

因此，我們與 $f_{l}(x)\to f(x)$ 產生矛盾。$\Box$

定理 4.15:

令 ${\mathcal {Q}}$ 為一組可微函式，從凸集 $X\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 對映到 $\mathbb {R}$。如果存在一個常數 $b\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得對於 ${\mathcal {Q}}$ 中的所有函式， $\forall x\in X:\|\nabla f(x)\|\leq b$（因為所有函式都要求可微，所以每個 ${\mathcal {Q}}$ 中的函式都存在 $\nabla f$），那麼 ${\mathcal {Q}}$ 是等度連續的。

證明：我們要證明等度連續性，所以我們要證明

$\forall x\in X:\exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}:\forall y\in X:\|x-y\|<\delta \Rightarrow \forall f\in {\mathcal {Q}}:|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

令 $x\in X$ 為任意點。

我們選擇 $\delta :={\frac {\epsilon }{b}}$.

令 $y\in X$ 使得 $\|x-y\|<\delta$，並令 $f\in {\mathcal {Q}}$ 為任意函式。根據多元平均值定理，存在一個 $\lambda \in [0,1]$ 使得

$f(x)-f(y)=\nabla f(\lambda x+(1-\lambda )y)\cdot (x-y)$

元素 $\lambda x+(1-\lambda )y$ 位於 $X$ 內，因為 $X$ 是凸的。由 柯西-施瓦茨不等式 可得

$|f(x)-f(y)|=|\nabla f(\lambda x+(1-\lambda )y)\cdot (x-y)|\leq \|\nabla f(\lambda x+(1-\lambda )y)\|\|x-y\|<b\delta ={\frac {b}{b}}\epsilon =\epsilon$$\Box$

廣義乘積法則

定義 4.16:

如果 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}),\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{d})\in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是兩個 $d$ 維多重索引，我們定義 **$\alpha$ 對 $\beta$ 的二項式係數** 為

${\binom {\alpha }{\beta }}:={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}$.

我們還定義多重索引集上的小於等於關係。

定義 4.17:

令 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}),\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{d})\in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是兩個 $d$ 維多重指標。 我們定義 $\beta$ 小於或等於 $\alpha$ 當且僅當

$\beta \leq \alpha :\Leftrightarrow \forall n\in \{1,\ldots ,d\}:\beta _{n}\leq \alpha _{n}$.

對於 $d\geq 2$，存在向量 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $\alpha \leq \beta$ 或 $\beta \leq \alpha$ 均不成立。 對於 $d=2$，以下兩個向量是這種情況的例子

$\alpha =(1,0),\beta =(0,1)$

這個例子可以推廣到更高維度（見練習 6）。

有了這些多重指標定義，我們就可以寫出乘積規則的更一般版本。 但為了證明它，我們需要另一個引理。

引理 4.18:

如果 $n\in \{1,\ldots ,d\}$ 且 $e_{n}:=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$，其中 $1$ 位於第 $n$ 個位置，我們有

${\binom {\alpha -e_{n}}{\beta -e_{n}}}+{\binom {\alpha -e_{n}}{\beta }}={\binom {\alpha }{\beta }}$

對於任意多重指標 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。

證明:

對於自然數的普通二項式係數，我們有公式

${\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}={\binom {n}{k}}$.

因此，

${\begin{aligned}{\binom {\alpha -e_{n}}{\beta -e_{n}}}+{\binom {\alpha -e_{n}}{\beta }}&={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}-1}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}+{\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}\\&={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots \left({\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}-1}}+{\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}}}\right)\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}\\&={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}={\binom {\alpha }{\beta }}\end{aligned}}$$\Box$

這是廣義乘積法則。

定理 4.19:

令 $f\in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d})$ 並且令 $|\alpha |\leq n$。那麼

$\partial _{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}\partial _{\beta }f\partial _{\alpha -\beta }g$

證明:

我們透過歸納法證明此結論，歸納變數為 $|\alpha |$。

1.

首先考慮歸納基 $|\alpha |=0$。此時，公式簡化為

$f(x)g(x)=f(x)g(x)$

，這顯然成立。因此，我們完成了歸納基的證明。

2.

接下來進行歸納步。假設對於所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 滿足 $|\alpha |=n$，結論都成立。現在考慮 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $|\alpha |=n+1$。選擇一個 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 使得 $\alpha _{k}>0$（因為 $|\alpha |=k+1>0$）。我們再次定義 $e_{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$，其中 $1$ 位於第 $k$ 個位置。根據 施瓦茲定理 和普通的乘積法則，我們有

$\partial _{\alpha }fg=\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg\right)=\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg+f\partial _{x_{k}}g\right)$.

根據導數的線性性質和歸納假設，我們有

${\begin{aligned}\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg+f\partial _{x_{k}}g\right)&=\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg\right)+\partial _{\alpha -e_{k}}\left(f\partial _{x_{k}}g\right)\\&=\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }\partial _{x_{k}}f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }\partial _{x_{k}}g\end{aligned}}$.

由於

$\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }=\partial _{\alpha -(\varsigma +e_{k})}$

和

$\{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d}|0\leq \varsigma \leq \alpha -e_{k}\}=\{\varsigma -e_{k}\in \mathbb {N} _{0}^{d}|e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha \}$,

我們可以在上述兩個和式中第一個的指標進行移位，並且根據定義，我們有

$\partial _{\varsigma }\partial _{x_{k}}=\partial _{\varsigma +e_{k}}$.

有了這些，我們得到

$\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }\partial _{x_{k}}f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }\partial _{x_{k}}g=\sum _{e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma -e_{k}}}\partial _{\varsigma }f\cdot \partial _{\alpha -\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }g$

根據引理 4.18，

${\binom {\alpha -e_{k}}{\beta -e_{i}}}+{\binom {\alpha -e_{k}}{\beta }}={\binom {\alpha }{\beta }}$.

此外，我們有

${\binom {\alpha -e_{i}}{0}}={\binom {\alpha }{0}}=1$ 其中 $0=(0,\ldots ,0)$ 在 $\mathbb {N} _{0}^{d}$ 中，

和

${\binom {\alpha -e_{k}}{\alpha -e_{k}}}={\binom {\alpha }{\alpha }}=1$

（這兩個規則可以從 ${\binom {\alpha }{\beta }}$ 的定義中得到驗證）。由此可得

${\begin{aligned}\partial _{\alpha }(fg)&=\sum _{e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma -e_{k}}}\partial _{\varsigma }f\cdot \partial _{\alpha -\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }g\\&={\binom {\alpha -e_{k}}{0}}f\partial _{\alpha }g+\sum _{e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha -e_{k}}\left[{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma -e_{k}}}+{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\right]\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }g+{\binom {\alpha -e_{k}}{\alpha -e_{k}}}f\partial _{\alpha }g\\&=\sum _{\varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }\end{aligned}}$.$\Box$

分佈的運算

對於 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$，存在諸如 $\varphi$ 的微分，$\varphi$ 和 $\vartheta$ 的卷積以及 $\varphi$ 和 $\vartheta$ 的乘法之類的運算。在下一節中，我們想為分佈 ${\mathcal {T}}$ 而不是 $\varphi$ 定義這三種運算（微分、與 $\vartheta$ 的卷積以及與 $\vartheta$ 的乘法）。

引理 4.20:

令 $O,U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是開集，並令 $L:{\mathcal {D}}(O)\to L_{\text{loc}}^{1}(U)$ 是一個線性函式。如果存在一個線性且逐點連續的（在定義 4.1 的意義上）函式 ${\mathcal {L}}:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(O)$ 使得

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O),\vartheta \in {\mathcal {D}}(U):\int _{O}\varphi (x){\mathcal {L}}(\vartheta )(x)dx=\int _{U}L(\varphi )(x)\vartheta (x)dx$

，那麼對於任何分佈 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(O)^{*}$，函式 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是一個分佈。因此，函式

$\Lambda :{\mathcal {D}}(O)^{*}\to {\mathcal {D}}(U)^{*},\Lambda ({\mathcal {T}}):={\mathcal {T}}\circ {\mathcal {L}}$

實際上對映到 ${\mathcal {D}}(U)^{*}$。該函式具有以下性質

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })={\mathcal {T}}_{L(\varphi )}$

證明:

我們需要證明兩個斷言：首先，函式 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是一個分佈，其次，如上定義的 $\Lambda$ 具有以下性質

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })={\mathcal {T}}_{L(\varphi )}$

1.

我們證明函式 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是一個分佈。

${\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 在 $\mathbb {R}$ 中具有明確定義的值，因為 ${\mathcal {L}}$ 對映到 ${\mathcal {D}}(O)$，這正是 ${\mathcal {T}}$ 的原像。函式 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是連續的，因為它是由兩個連續函式複合而成，它也是線性的，原因相同（參見練習 2）。

2.

我們證明 $\Lambda$ 具有以下性質

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })={\mathcal {T}}_{L(\varphi )}$

對於每個$\vartheta \in {\mathcal {D}}(U)$，我們有

$\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })(\vartheta ):=({\mathcal {T}}_{\varphi }\circ {\mathcal {L}})(\vartheta ):=\int _{O}\varphi (x){\mathcal {L}}(\vartheta )(x)dx{\overset {\text{by assumption}}{=}}\int _{U}L(\varphi )(x)\vartheta (x)dx=:{\mathcal {T}}_{L(\varphi )}(\vartheta )$

由於兩個函式相等等價於這兩個函式在每個點處的值相等，這表明了所需的性質。$\Box$

我們也對Schwartz 分佈有類似的引理

引理 4.21:

設$L:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ 是一個線性函式。如果存在一個線性且順序連續（按照定義 4.2 的意義）的函式${\mathcal {L}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 使得

$\forall \phi ,\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}):\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x){\mathcal {L}}(\theta )(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}L(\phi )(x)\theta (x)dx$

, 那麼對於每個分佈${\mathcal {T}}\in S(\mathbb {R} ^{d})^{*}$，函式$\phi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\phi ))$ 是一個分佈。因此，我們可以定義一個函式

$\Lambda :{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})^{*},\Lambda ({\mathcal {T}}):={\mathcal {T}}\circ {\mathcal {L}}$

該函式具有以下性質

$\forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\phi })={\mathcal {T}}_{L(\phi )}$

證明過程與引理 4.20 的證明完全相同。

注意到乘法、微分和卷積都是線性的，我們將在以上兩個引理中定義這些操作，將 $L$ 作為這三種操作中的相應操作。

定理和定義 4.22:

設 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$，且設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集。那麼對於所有的 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，點乘積 $f\varphi$ 包含在 ${\mathcal {D}}(O)$ 中，並且如果進一步 $f$ 及其所有導數都由多項式界定，那麼對於所有的 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，點乘積 $f\phi$ 包含在 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 中。此外，如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在衝擊函式意義上收斂，那麼 $f\varphi _{l}\to f\varphi$ 在衝擊函式意義上收斂，並且如果 $f$ 及其所有導數都由多項式界定，那麼 $\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函式意義上收斂意味著 $f\phi _{l}\to f\phi$ 在 Schwartz 函式意義上收斂。進一步

• 設 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 為一個分佈。如果我們定義

  $f{\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,f{\mathcal {T}}(\varphi ):={\mathcal {T}}(f\varphi )$,

  那麼，右邊的表示式是定義良好的，並且對於所有$\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$，我們有

  $f{\mathcal {T}}_{\vartheta }={\mathcal {T}}_{f\vartheta }$,

  並且$f{\mathcal {T}}$是一個分佈。

• 假設$f$及其所有導數都以多項式為界。令${\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$是一個緩增分佈。如果我們定義

  $f{\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,f{\mathcal {T}}(\phi ):={\mathcal {T}}(f\phi )$,

  那麼，右邊的表示式是定義良好的，並且對於所有$\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，我們有

  $f{\mathcal {T}}_{\theta }={\mathcal {T}}_{f\theta }$,

  並且$f{\mathcal {T}}$是一個緩增分佈。

證明

兩個 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 函式的乘積仍然是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$，此外，如果 $\varphi (x)=0$，那麼 $(f\varphi )(x)=f(x)\varphi (x)=0$。因此，$f\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$.

同樣，如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在bump函式的意義下，那麼，如果 $K\subset \mathbb {R} ^{d}$ 是一個緊集，使得對於所有的 $n\in \mathbb {N}$，都有 ${\text{supp }}\varphi _{n}\subseteq K$

${\begin{aligned}\|\partial _{\alpha }(f(\varphi _{l}-\varphi ))\|_{\infty }&=\left\|\sum _{\varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }(\varphi _{l}-\varphi )\right\|_{\infty }\\&\leq \sum _{\varsigma \leq \alpha }\|\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }(\varphi _{l}-\varphi )\|_{\infty }\\&\leq \sum _{\varsigma \leq \alpha }\max _{x\in K}|\partial _{\varsigma }f|\|\partial _{\alpha -\varsigma }(\varphi _{l}-\varphi )\|_{\infty }\to 0,l\to \infty \end{aligned}}$.

因此，$f\varphi _{l}\to f\varphi$在 bump 函式的意義下。

此外，也有 $f\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$。令$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$為任意值。那麼

$\partial _{\beta }f\phi =\sum _{\varsigma \leq \beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\beta -\varsigma }\phi$.

由於 $f$的所有導數都由多項式限制，根據定義，我們得到

$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:|\partial _{\varsigma }f(x)|\leq |p_{\varsigma }(x)|$

，其中$p_{\varsigma },\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是多項式。因此，

$\|x^{\alpha }\partial _{\beta }f\phi \|_{\infty }\leq \sum _{\varsigma \leq \beta }\|x^{\alpha }p_{\varsigma }\partial _{\beta -\varsigma }\phi \|_{\infty }<\infty$.

類似地，如果$\phi _{l}\to \phi$在 Schwartz 函式的意義下，那麼根據練習 3.6

$\|x^{\alpha }\partial _{\beta }f(\phi -\phi _{l})\|_{\infty }\leq \sum _{\varsigma \leq \beta }\|x^{\alpha }p_{\varsigma }\partial _{\beta -\varsigma }(\phi -\phi _{l})\|_{\infty }\to 0,l\to \infty$

因此，$f\phi _{l}\to f\phi$ 在 Schwartz 函式意義下收斂。

如果我們定義 $L(\varphi ):={\mathcal {L}}(\varphi ):=f\varphi$，根據引理 4.20 和 4.21 可以得出其他結論。$\Box$

定理和定義 4.23:

設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集。我們定義

$L:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}),L(\phi ):=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }\phi$

，其中 $a_{\alpha }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ 使得只有有限多個 $a_{\alpha }$ 與零函式不同（這樣的函式也稱為 **線性偏微分運算元**），並且我們進一步定義

${\mathcal {L}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {L}}(\phi ):=\sum _{|\alpha |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\phi )$.

• 設 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 為一個分佈。如果我們定義

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$,

  則對於所有 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$，我們有

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{\vartheta }={\mathcal {T}}_{L(\vartheta )}$,

  並且 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}$ 是一個分佈。

• 假設所有 $a_{\alpha }$ 及其所有導數都以多項式為界。令 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$ 是一個緩增分佈。如果我們定義

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$,

  則對於所有 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$，我們有

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{\vartheta }={\mathcal {T}}_{L(\vartheta )}$,

  並且 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}$ 是一個緩增分佈。

證明:

我們想要應用引理 4.20 和 4.21。因此，我們證明這些引理的要求得到了滿足。

由於碰撞函式的導數仍然是碰撞函式，Schwartz 函式的導數仍然是 Schwartz 函式（參見練習 3.3 以瞭解兩者），並且由於定理 4.22，我們有 $L$ 和 ${\mathcal {L}}$ 將 ${\mathcal {D}}(O)$ 對映到 ${\mathcal {D}}(O)$，並且如果所有 $a_{\alpha }$ 及其所有導數都以多項式為界，則 $L$ 和 ${\mathcal {L}}$ 將 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 對映到 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。

${\mathcal {L}}$ 的序列連續性來自定理 4.22。

此外，對於所有$\phi ,\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$,

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x){\mathcal {L}}(\theta )(x)dx=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx$.

此外，如果我們單挑出一個$\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，根據 Fubini 定理 和分部積分，我們得到

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx&=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\int _{\mathbb {R} }\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx_{1}d(x_{2},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\int _{\mathbb {R} }\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx_{1}d(x_{2},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}(-1)^{\alpha _{1}}\int _{\mathbb {R} }\partial _{(\alpha _{1},0,\ldots ,0)}\phi (x)\partial _{\alpha -(\alpha _{1},0,\ldots ,0)}(a_{\alpha }\theta )(x)dx_{1}d(x_{2},\ldots ,x_{d})\\&=\cdots =(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\phi (x)a_{\alpha }(x)\theta (x)dx\end{aligned}}$.

因此，

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x){\mathcal {L}}(\theta )(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}L(\phi )(x)\theta (x)dx$

並且引理是適用的。 $\Box$

定義 4.24:

令 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$ 且令 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$。然後我們定義函式

${\mathcal {T}}*\varphi (x):={\mathcal {T}}(\varphi (x-\cdot ))$.

此函式稱為 **${\mathcal {T}}$ 和 $\varphi$ 的 **卷積**。**

定理 4.25:

令 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$ 且令 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$。然後

1. ${\mathcal {T}}*\varphi$ 是連續的，
2. $\forall \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\varphi )={\mathcal {T}}*(\partial _{\alpha }\varphi )$ 並且
3. ${\mathcal {T}}*\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.

證明:

1.

令 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 為任意值，並令 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 為一個收斂到 $x$ 的序列，並令 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $\forall n\geq N:\|x_{n}-x\|\leq 1$。 那麼

$K:={\overline {\bigcup _{n\geq N}{\text{supp }}\varphi (x_{n}-\cdot )\cup \bigcup _{n<N}{\text{supp }}\varphi (x_{n}-\cdot )}}$

由於緊湊，因此對於任意$\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，都有$\partial _{\beta }\varphi (x_{l}-\cdot )|_{K}\to \partial _{\beta }\varphi (x-\cdot )|_{K}$ 一致收斂。但在$K$ 的外部，$\partial _{\beta }\varphi (x_{l}-\cdot )-\partial _{\beta }\varphi (x-\cdot )=0$。因此，$\partial _{\beta }\varphi (x_{l}-\cdot )\to \partial _{\beta }\varphi (x-\cdot )$ 一致收斂。此外，對於所有 $n\in \mathbb {N}$，都有${\text{supp }}\varphi (x_{n}-\cdot )\subseteq K$。因此，$\varphi (x_{l}-\cdot )\to \varphi ,l\to \infty$，在 bump 函式意義上。因此，由於 ${\mathcal {T}}$ 的連續性，

$({\mathcal {T}}*\varphi )(x_{l})={\mathcal {T}}(\varphi (x_{l}-\cdot ))\to {\mathcal {T}}(\varphi (x-\cdot ))=({\mathcal {T}}*\varphi )(x),l\to \infty$.

2.

我們用歸納法在 $|\alpha |$ 上進行證明。

歸納基礎 $|\alpha |=0$ 是顯然的，因為對於所有函式 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$，根據定義都有 $\partial _{(0,\ldots ,0)}f=f$。

假設該語句對於所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 成立，其中 $|\alpha |=n$。令 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $|\beta |=n+1$。我們選擇 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 使得 $\beta _{k}>0$（這是可能的，因為否則 $\beta =\mathbf {0}$）。此外，我們定義

$e_{k}:=(0,\ldots ,0,\overbrace {1} ^{k{\text{th place}}},0,\ldots ,0)$.

則 $|\beta -e_{k}|=n$，因此 $\partial _{\beta -e_{k}}({\mathcal {T}}*\varphi )={\mathcal {T}}*(\partial _{\beta -e_{k}}\varphi )$。

此外，對於所有 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$，

$\lim _{\lambda \to 0}{\frac {{\mathcal {T}}*\vartheta (x+\lambda e_{k})-{\mathcal {T}}*\vartheta (x)}{\lambda }}=\lim _{\lambda \to 0}{\mathcal {T}}\left({\frac {\vartheta (x+\lambda e_{k}-\cdot )-\vartheta (x-\cdot )}{\lambda }}\right)$.

但由於施瓦茨定理，${\frac {\vartheta (x+\lambda e_{k}-\cdot )-\vartheta (x-\cdot )}{\lambda }}\to \partial _{x_{k}}\vartheta ,\lambda \to 0$ 在 bump 函式的意義上，因此

$\lim _{\lambda \to 0}{\mathcal {T}}\left({\frac {\vartheta (x+\lambda e_{k}-\cdot )-\vartheta (x-\cdot )}{\lambda }}\right)={\mathcal {T}}(\vartheta (x-\cdot ))$.

因此，$\partial _{\beta }({\mathcal {T}}*\varphi )=\partial _{e_{k}}{\mathcal {T}}*(\partial _{\beta -e_{k}}\varphi )={\mathcal {T}}*(\partial _{\beta }\varphi )$，因為$\partial _{\beta -e_{k}}\varphi$ 是 bump 函式（見練習 3.3）。

3.

這遵循 1. 和 2.，因為$\partial _{\beta }\varphi$ 對於所有 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 都是 bump 函式（見練習 3.3）。$\Box$

練習

1. 令 ${\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}$ 是（緩增）分佈，並令 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$。證明 $\sum _{j=1}^{n}c_{j}{\mathcal {T}}_{j}$ 也是（緩增）分佈。
2. 令 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 本質上有界。證明 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是緩增分佈。
3. 證明如果${\mathcal {Q}}$是一組可微函式，從$[0,1]^{d}$到$\mathbb {R}$，使得存在一個$c\in \mathbb {R} _{>0}$，使得對所有$g\in {\mathcal {Q}}$，有$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:\|\nabla g(x)\|<c$，並且如果$(f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$是${\mathcal {Q}}$中的一個序列，其中逐點極限$\lim _{l\to \infty }f_{l}(x)$對所有$x\in \mathbb {R} ^{d}$存在，那麼$f_{l}$在$[0,1]^{d}$上一致收斂於一個函式（提示：$[0,1]^{d}$是順序緊的；這來自於博爾扎諾-魏爾斯特拉斯定理）。
4. 設$f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是一個分佈，證明對於所有$\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 有${\mathcal {T}}_{f}*\varphi =f*\varphi$.
5. 證明對於$x\in \mathbb {R} ^{d}$ 函式$\delta _{x}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,\delta (\phi ):=\phi (x)$ 是一個緩增分佈（這個函式被稱為狄拉克δ分佈，以保羅·狄拉克命名）。
6. 對於每個$d\in \mathbb {N}$，找到$\alpha _{d},\beta _{d}\in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得$\alpha _{d}\leq \beta _{d}$ 和$\beta _{d}\leq \alpha _{d}$ 都不成立。

來源

• 魯丁，沃爾特 (1991). 泛函分析 (第2版). 麥格勞-希爾. ISBN 9780070542365.
• Daniel Matthes (2013/2014), 偏微分方程講義 {{citation}}: Check date values in: |year= (help)
• Hasse Carlsson (2011), 分佈講義 (PDF)
• Ivan F. Wilde, 分佈理論（廣義函式）筆記 (PDF)