偏微分方程/測試函式

動機

在深入探討本章之前，讓我們先探討測試函式的概念。考慮兩個在區間 $[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5)$ 上分段常數，並在其他地方為零的兩個函式；例如，這兩個函式

我們把左側的函式稱為 $f_{1}$，右側的函式稱為 $f_{2}$。

當然，我們可以很容易地看出這兩個函式是不同的；它們在區間 $[4,5)$ 上不同；但是，假設我們失明瞭，我們唯一能瞭解這兩個函式的方法是計算積分

$\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{1}(x)dx$ 和 $\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{2}(x)dx$

對於給定函式集 ${\mathcal {X}}$ 中的函式 $\varphi$。

我們繼續選擇 ${\mathcal {X}}$ 足夠聰明，使得對兩個積分的五次評估足以證明 $f_{1}\neq f_{2}$。為此，我們首先引入特徵函式。令 $A\subseteq \mathbb {R}$ 為任意集合。$A$ 的特徵函式 定義為

$\chi _{A}(x):={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}}$

根據此定義，我們選擇函式集 ${\mathcal {X}}$ 為

${\mathcal {X}}:=\{\chi _{[0,1)},\chi _{[1,2)},\chi _{[2,3)},\chi _{[3,4)},\chi _{[4,5)}\}$

很容易看出（見練習 1），對於 $n\in \{1,2,3,4,5\}$，表示式

$\int _{\mathbb {R} }\chi _{[n-1,n)}(x)f_{1}(x)dx$

等於 $f_{1}$ 在區間 $[n-1,n)$ 上的值，對於 $f_{2}$ 也是如此。但由於這兩個函式在區間 $[n-1,n),n\in \{1,2,3,4,5\}$ 上的值唯一確定（因為它們在其他地方都為零），我們可以使用以下等式測試

$f_{1}=f_{2}\Leftrightarrow \forall \varphi \in {\mathcal {X}}:\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{1}(x)dx=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{2}(x)dx$

這顯然需要對每個積分進行五次計算，因為 $\#{\mathcal {X}}=5$.

由於我們使用 ${\mathcal {X}}$ 中的函式來測試 $f_{1}$ 和 $f_{2}$，我們稱之為測試函式。我們現在要問的是，這個概念是否可以從像 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 這樣的函式（它們在某些區間上是分段常數，在其他地方為零）推廣到連續函式。下一章將證明這是真的。

凸起函式

為了更簡潔地寫下凸起函式的定義，我們需要以下兩個定義

定義 3.1:

令 $B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$，令 $f:B\to \mathbb {R}$。我們說 $f$ 是 **光滑** 的，如果所有偏導數

$\partial _{\alpha }f,\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

存在於 $B$ 的所有點，並且是連續的。我們寫 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(B)$。

定義 3.2:

令 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$。我們定義 $f$ 的 **支撐集** ${\text{supp }}f$ 如下

${\text{supp }}f:={\overline {\{x\in \mathbb {R} ^{d}|f(x)\neq 0\}}}}$

現在我們可以簡要地定義 bump 函式

定義 3.3:

$\varphi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 稱為 **bump 函式** 當且僅當 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ 且 ${\text{supp }}\varphi$ 是緊緻的。所有 bump 函式的集合表示為 ${\mathcal {D}}(O)$。

這兩個性質使得該函式看起來確實像一個 bump，如下例所示

標準 mollifier $\eta$ 在維度 $d=1$

示例 3.4： 標準平滑函式 $\eta$，定義如下：

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\frac {1}{c}}{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

，其中 $c:=\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}dx$，是一個凸函式（參見練習 2）。

Schwartz 函式

為了簡明地寫出 Schwartz 函式的定義，我們需要先給出兩個有用的定義。

定義 3.5:

令 $X$ 為任意集合，令 $f:X\to \mathbb {R}$ 為函式。 然後我們定義 $f$ 的上確界範數 如下

$\|f\|_{\infty }:=\sup \limits _{x\in X}|f(x)|$

定義 3.6:

對於向量 $x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ 和 $d$ 維多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，我們定義 $x^{\alpha }$，$x$ 的 $\alpha$ 次方，如下

$x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}$

現在我們準備定義 Schwartz 函式。

定義 3.7:

我們稱 $\phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 為 **Schwartz 函式** 當且僅當以下兩個條件滿足：

1. $\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$
2. $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }<\infty$

這裡，$x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi$ 代表函式 $x\mapsto x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)$.

$f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$

例 3.8：函式

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$

是一個 Schwartz 函式。

定理 3.9:

每個 bump 函式也是 Schwartz 函式。

這意味著例如標準 mollifier 是一個 Schwartz 函式。

證明:

令 $\varphi$ 為一個 bump 函式。那麼，根據 bump 函式的定義，$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$。根據 bump 函式的定義，我們選擇 $R>0$ 使得

${\text{supp }}\varphi \subseteq {\overline {B_{R}(0)}}$

, 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中，一個集合是緊緻的當且僅當它是閉合且有界的。此外，對於任意 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，

${\begin{aligned}\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)\|_{\infty }&:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)|&\\&=\sup _{x\in {\overline {B_{R}(0)}}}|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)|&{\text{supp }}\varphi \subseteq {\overline {B_{R}(0)}}\\&=\sup _{x\in {\overline {B_{R}(0)}}}\left(|x^{\alpha }||\partial _{\beta }\varphi (x)|\right)&{\text{rules for absolute value}}\\&\leq \sup _{x\in {\overline {B_{R}(0)}}}\left(R^{|\alpha |}|\partial _{\beta }\varphi (x)|\right)&\forall i\in \{1,\ldots ,d\},(x_{1},\ldots ,x_{d})\in {\overline {B_{R}(0)}}:|x_{i}|\leq R\\&<\infty &{\text{Extreme value theorem}}\end{aligned}}$

$\Box$

碰撞函式和 Schwartz 函式的收斂

現在我們定義碰撞函式（Schwartz 函式）序列收斂到碰撞函式（Schwartz 函式）的含義。

定義 3.10:

碰撞函式序列 $(\varphi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 稱為收斂到另一個碰撞函式 $\varphi$ 當且僅當滿足以下兩個條件：

1. 存在一個緊集 $K\subset \Omega$ 使得 $\forall i\in \mathbb {N} :{\text{supp }}\varphi _{i}\subseteq K$
2. $\forall \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\lim _{i\rightarrow \infty }\|\partial _{\alpha }\varphi _{i}-\partial _{\alpha }\varphi \|_{\infty }=0$

定義 3.11:

我們說，Schwartz 函式序列 $(\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 收斂到 $\phi$ 當且僅當滿足以下條件：

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi _{i}-x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }\to 0,i\to \infty$

定理 3.12:

令 $(\varphi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 是一個任意 bump 函式序列。如果 $\varphi _{i}\to \varphi$ 關於 bump 函式的收斂概念，那麼根據 Schwartz 函式的收斂概念，也有 $\varphi _{i}\to \varphi$。

證明:

設$O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，並設$(\varphi _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 為${\mathcal {D}}(O)$ 中的一個序列，使得$\varphi _{l}\to \varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，其中收斂概念是${\mathcal {D}}(O)$ 的收斂概念。因此，設$K\subset \mathbb {R} ^{d}$ 為包含所有${\text{supp }}\varphi _{l}$ 的緊集。由此也得到${\text{supp }}\varphi \subseteq K$，因為否則$\|\varphi _{l}-\varphi \|_{\infty }\geq |c|$，其中$c\in \mathbb {R}$ 是$\varphi$ 在$K$ 外取的任何非零值；這將與我們收斂概念下的$\varphi _{l}\to \varphi$ 矛盾。

在$\mathbb {R} ^{d}$ 中，“緊緻”等價於“有界且閉合”。因此，對於某個$R>0$，有$K\subset B_{R}(0)$。因此，對於所有多重指標$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

${\begin{aligned}\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi _{l}-x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi \|_{\infty }&=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}\left|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&{\text{ definition of the supremum norm}}\\&=\sup _{x\in B_{R}(0)}\left|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&{\text{ as }}{\text{supp }}\varphi _{l},{\text{supp }}\varphi \subseteq K\subset B_{R}(0)\\&\leq R^{|\alpha |}\sup _{x\in B_{R}(0)}\left|\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&\forall i\in \{1,\ldots ,d\},(x_{1},\ldots ,x_{d})\in {\overline {B_{R}(0)}}:|x_{i}|\leq R\\&=R^{|\alpha |}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}\left|\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&{\text{ as }}{\text{supp }}\varphi _{l},{\text{supp }}\varphi \subseteq K\subset B_{R}(0)\\&=R^{|\alpha |}\left\|\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-\partial _{\beta }\varphi (x)\right\|_{\infty }&{\text{ definition of the supremum norm}}\\&\to 0,l\to \infty &{\text{ since }}\varphi _{l}\to \varphi {\text{ in }}{\mathcal {D}}(O)\end{aligned}}$

因此，該序列關於 Schwartz 函式收斂的概念收斂。$\Box$

測試函式的“測試”性質

在本節中，我們想要展示，可以透過計算積分來測試連續函式$f,g$ 的相等性

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\varphi (x)dx$ 和 $\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x)\varphi (x)dx$

對於所有的 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ （因此，對所有 $\varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 評估積分也將足夠，因為根據定理 3.9，${\mathcal {D}}(O)\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$）。

但在我們能夠展示這一點之前，我們需要一個經過修改的平滑化函式，該函式的修改依賴於一個引數，以及關於該經過修改的平滑化函式的兩個引理。

定義 3.13:

對於 $R\in \mathbb {R} _{>0}$，我們定義

$\eta _{R}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta _{R}(x)=\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}$.

引理 3.14:

令 $R\in \mathbb {R} _{>0}$。然後

${\text{supp }}\eta _{R}={\overline {B_{R}(0)}}$.

證明:

從 $\eta$ 的定義可以得出

${\text{supp }}\eta ={\overline {B_{1}(0)}}$.

此外，對於 $R\in \mathbb {R} _{>0}$

${\begin{aligned}{\frac {x}{R}}\in {\overline {B_{1}(0)}}&\Leftrightarrow \left\|{\frac {x}{R}}\right\|\leq 1\\&\Leftrightarrow \|x\|\leq R\\&\Leftrightarrow x\in {\overline {B_{R}(0)}}\end{aligned}}$

因此，並且由於

$x\in {\text{supp }}\eta _{R}\Leftrightarrow {\frac {x}{R}}\in {\text{supp }}\eta$

，我們有

$x\in {\text{supp }}\eta _{R}\Leftrightarrow x\in {\overline {B_{R}(0)}}$$\Box$

為了證明下一個引理，我們需要積分理論中的以下定理

定理 3.15： （多元積分換元法）

如果 $O,U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是開集，並且 $\psi :U\to O$ 是一個微分同胚，則

$\int _{O}f(x)dx=\int _{U}f(\psi (x))|\det J_{\psi }(x)|dx$

我們將省略證明，因為理解它對於理解本維基百科並不重要。

引理 3.16:

令 $R\in \mathbb {R} _{>0}$。然後

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta _{R}(x)dx=1$.

證明:

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta _{R}(x)dx&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}dx&{\text{Def. of }}\eta _{R}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta (x)dx&{\text{integration by substitution using }}x\mapsto Rx\\&=\int _{B_{1}(0)}\eta (x)dx&{\text{Def. of }}\eta \\&={\frac {\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|}}}dx}{\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|}}}dx}}&{\text{Def. of }}\eta \\&=1\end{aligned}}$$\Box$

現在我們準備證明測試函式的“測試”性質

定理 3.17:

設 $f,g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是連續的。如果

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)f(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)g(x)dx$,

那麼 $f=g$.

證明:

令 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 是任意的，並令 $\epsilon \in \mathbb {R} _{>0}$。由於 $f$ 是連續的，存在一個 $\delta \in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$\forall y\in {\overline {B_{\delta }(x)}}:|f(x)-f(y)|<\epsilon$

那麼我們有

${\begin{aligned}\left|f(x)-\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\eta _{\delta }(x-y)dy\right|&=\left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}(f(x)-f(y))\eta _{\delta }(x-y)dy\right|&{\text{lemma 3.16}}\\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)-f(y)|\eta _{\delta }(x-y)dy&{\text{triangle ineq. for the }}\int {\text{ and }}\eta _{\delta }\geq 0\\&=\int _{\overline {B_{\delta }(0)}}|f(x)-f(y)|\eta _{\delta }(x-y)dy&{\text{lemma 3.14}}\\&\leq \int _{\overline {B_{\delta }(0)}}\epsilon \eta _{\delta }(x-y)dy&{\text{monotony of the }}\int \\&\leq \epsilon &{\text{lemma 3.16 and }}\eta _{\delta }\geq 0\end{aligned}}$

因此，$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\eta _{\delta }(x-y)dy\to f(x),\delta \to 0$。類似的推理也表明 $\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)\eta _{\delta }(x-y)dy\to g(x),\delta \to 0$。但根據假設，我們有

$\forall \delta \in \mathbb {R} _{>0}:\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)\eta _{\delta }(x-y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\eta _{\delta }(x-y)dy$

由於實數中的極限是唯一的，因此可以得出 $f(x)=g(x)$，並且由於 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 是任意的，我們得到 $f=g$。$\Box$

備註 3.18：設 $f,g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是連續的。如果

$\forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}):\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)f(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)g(x)dx$,

那麼 $f=g$.

證明:

這源於所有凸起函式都是 Schwartz 函式，這就是為什麼定理 3.17 的要求得到滿足的原因。$\Box$

練習

1. 設 $b\in \mathbb {R}$ 且 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在區間 $[b-1,b)$ 上是常數。證明

   $\forall y\in [b-1,b):\int _{\mathbb {R} }\chi _{[b-1,b)}(x)f(x)dx=f(y)$

2. 證明在例 3.4 中定義的標準平滑函式是一個凸起函式，方法如下

   1. 證明函式

      $x\mapsto {\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$

      包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )$中。

   2. 證明函式

      $x\mapsto 1-\|x\|$

      包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$中。

   3. 由此可知$\eta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.
   4. 透過顯式計算${\text{supp }}\eta$，證明${\text{supp }}\eta$是緊緻的。
3. 令$O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$為開集，令$\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$並且令$\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。證明如果$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，那麼$\partial _{\alpha }\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 且 $x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$.
4. 設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集，設 $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in {\mathcal {D}}(O)$ 為光滑函式，設 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$。證明 $\sum _{j=1}^{n}c_{j}\varphi _{j}\in {\mathcal {D}}(O)$。
5. 設 $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ 為 Schwartz 函式，設 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$。證明 $\sum _{j=1}^{n}c_{j}\phi _{j}$ 為 Schwartz 函式。
6. 設 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，設 $p(x):=\sum _{\varsigma \leq \alpha }c_{\varsigma }x^{\varsigma }$ 為多項式，設 $\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函式意義下收斂。證明 $p\phi _{l}\to p\phi$ 在 Schwartz 函式意義下收斂。