偏微分方程/傅立葉變換

本章介紹傅立葉變換。傅立葉變換將函式轉換為其他函式。它可以用來解決某些型別的線性微分方程。

定義和計算規則

定義 8.1:

設 $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$。那麼 $f$ 的 **傅立葉變換** 定義如下

${\hat {f}}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,{\hat {f}}(y):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx$

我們記得 $f$ 是可積的 $\Leftrightarrow$ $|f|$ 是可積的。

現在我們準備證明下一個定理

**定理 8.2**：可積函式 $f$ 的傅立葉變換是定義良好的。

**證明**：由於 $f$ 是可積的，引理 8.2 告訴我們 $|f|$ 是可積的。但是

$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{d}:|f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}|=|f(x)|\cdot \overbrace {|e^{-2\pi ix\cdot y}|} ^{=1}=|f(x)|$

, 因此 $x\mapsto |f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}|$ 是可積的。但隨後，$x\mapsto f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}$ 是可積的，這就是為什麼

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx={\hat {f}}(y)$

根據可積性的定義，它有一個唯一的複數值。$\Box$

定理 8.3：令$f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$。那麼 $f$ 的傅立葉變換 ${\hat {f}}$ 是有界的。

證明:

${\begin{aligned}\left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx\right|&\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}\left|f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}\right|dx&{\text{triangle ineq. for the }}\int \\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|dx&\left|e^{-2\pi ix\cdot y}\right|=1\\&\in \mathbb {R} &f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\end{aligned}}$$\Box$

一旦我們計算了函式 $f$ 的傅立葉變換 ${\tilde {f}}$，我們可以很容易地找到與 $f$ 相似的函式的傅立葉變換。以下計算規則展示瞭如何做到這一點的例子。但在我們陳述計算規則之前，我們回憶一下第 2 章中的一個定義，即向量對多重索引的冪，因為它在最後一個計算規則中是必需的。

定義 2.6:

對於向量 $x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ 和一個 $d$ 維多重指標 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，我們定義 $x^{\alpha }$，$x$ 的 $\alpha$ 次方，如下所示

$x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}$

現在我們寫下計算規則，使用以下符號

符號 8.4:

我們寫

$f(x)\rightarrow g(y)$

表示句子“函式 $y\mapsto g(y)$ 是函式 $x\mapsto f(x)$ 的傅立葉變換”。

定理 8.5:

令 ${\hat {f}}$ 是 $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ 的傅立葉變換。 那麼以下計算規則成立

1. $f(x)e^{-2\pi ih\cdot x}\rightarrow {\hat {f}}(y+h)$ 對於任意 $h\in \mathbb {R} ^{d}$
2. $f(x+h)\rightarrow {\hat {f}}(y)e^{2\pi ih\cdot y}$ 對於任意 $h\in \mathbb {R} ^{d}$
3. $f(\delta x)\rightarrow \delta ^{-d}{\hat {f}}(\delta ^{-1}y)$ 對於任意 $\delta >0$

如果此外 ${\hat {g}}$ 是 $g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ 的傅立葉變換，我們有

4. $\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\hat {g}}(x)f(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y){\hat {f}}(y)dy$

證明：要證明第一個規則，我們只需要指數函式的其中一個規則（以及標準點積的對稱性）

1.

$f(x)e^{-2\pi ih\cdot x}\rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ih\cdot x}e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot (y+h)}dx={\hat {f}}(y+h)$

對於接下來的兩個規則，我們應用一般的積分換元規則，使用微分同胚 $x\mapsto x-h$ 和 $x\mapsto \delta ^{-1}x$，它們是 $\mathbb {R} ^{d}$ 到自身的雙射。

2.

$f(x+h)\rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+h)e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi i(x-h)\cdot y}dx=e^{2\pi ih\cdot y}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx={\hat {f}}(y)e^{2\pi ih\cdot y}$

3.

$f(\delta x)\rightarrow \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\delta x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\delta ^{-d}f(x)e^{-2\pi i(\delta ^{-1}x)\cdot y}dx=\delta ^{-d}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot (\delta ^{-1}y)}dx=\delta ^{-d}{\hat {f}}(\delta ^{-1}y)$

4.

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\hat {g}}(x)f(x)dx&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)e^{2\pi ix\cdot y}dyf(x)dx&{\text{Def. of the Fourier transform}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y)e^{2\pi ix\cdot y}dydx&{\text{putting a constant inside the integral}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y)e^{2\pi ix\cdot y}dxdy&{\text{Fubini}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)e^{2\pi ix\cdot y}dxdy&{\text{pulling a constant out of the integral}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y){\hat {f}}(y)dy&{\text{Def. of the Fourier transform}}\\\end{aligned}}$

$\Box$

Schwartz 函式的傅立葉變換

為了繼續討論涉及 Schwartz 函式的傅立葉變換的進一步規則，我們需要了解 Schwartz 函式的一些其他性質。

定理 8.6:

設 $\phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是一個 Schwartz 函式，設 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。那麼函式

$x\mapsto x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)$

也是一個 Schwartz 函式。

證明:

設 $\varrho ,\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。根據一般乘積法則，我們有

$\partial _{\varsigma }x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)=\sum _{\varepsilon \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varepsilon \leq \varsigma }{\binom {\varsigma }{\varepsilon }}\partial _{\varepsilon }(x^{\alpha })\partial _{\varsigma -\varepsilon }\partial _{\beta }\phi (x)$

我們注意到，對於所有 $\alpha$ 和 $\varepsilon$，$\partial _{\varepsilon }(x^{\alpha })$ 等於 $x$ 的某個多重指標冪。由於 $\phi$ 是一個 Schwartz 函式，存在常數 $c_{\varepsilon }$ 使得

$\|x^{\varrho }\partial _{\varepsilon }(x^{\alpha })\partial _{\varsigma -\varepsilon }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }\leq c_{\varepsilon }$

因此，對於 $\|\cdot \|_{\infty }$ 的三角不等式意味著

$\|x^{\varrho }\partial _{\varsigma }x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }\leq \sum _{\varepsilon \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varepsilon \leq \varsigma }{\binom {\varsigma }{\varepsilon }}c_{\varepsilon }$$\Box$

定理 8.7:

每個 Schwartz 函式都是可積的。

證明:

我們使用如果一個函式的絕對值幾乎處處小於一個可積函式的值，那麼第一個函式是可積的。

設 $\phi$ 為一個 Schwartz 函式。則存在 $b,c\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得對於所有 $x\in \mathbb {R} ^{d}$

$|\phi (x)|\leq \min \left\{b\prod _{j=1}^{d}|x_{j}|^{-2},c\right\}$

後面的函式是可積的， $\phi$ 的可積性由此得出。$\Box$

現在我們可以證明傅立葉變換與 Schwartz 函式相關的以下三個規則。

定理 8.8:

如果 ${\hat {\phi }}$ 是 Schwartz 空間 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 中函式 $\phi$ 的傅立葉變換，除了定理 8.4 中的規則之外，還滿足以下規則：

1. $\partial _{\alpha }\phi (x)\rightarrow (2\pi iy)^{\alpha }{\hat {\phi }}(y)$ 對於任意 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$
2. $(-2\pi ix)^{\alpha }\phi (x)\rightarrow \partial _{\alpha }{\hat {\phi }}(y)$ 對於任意 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

另外，如果 ${\hat {\theta }}$ 是 $\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 的傅立葉變換，那麼

3. ${\widehat {\phi *\theta }}(y)={\hat {\phi }}(y)\cdot {\hat {\theta }}(y)$

證明:

1.

對於第一個規則，我們使用對 $|\alpha |$ 的歸納。

顯然，當 $|\alpha |=0$ 時，該結論成立（此時該規則表明 $\phi$ 的傅立葉變換是 $\phi$ 的傅立葉變換）。

我們繼續進行歸納步驟：設 $n\in \mathbb {N} _{0}$，並假設對於所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，使得 $|\alpha |=n$，該結論成立。設 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，使得 $|\beta |=n+1$。我們證明該結論對於 $\beta$ 也成立。

請記住，我們有 $\partial _{\beta }\phi :=\partial _{x_{1}}^{\beta _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\beta _{d}}\phi$。我們選擇 $k\in \{1,\ldots ,d\}$，使得 $\beta _{k}>0$（這是可能的，因為否則 $|\beta |=0$），定義

$e_{k}:=(0,\ldots ,0,\overbrace {1} ^{k{\text{th entry}}},0,\ldots ,0)$

$\alpha :=\beta -e_{k}$

並得到

$\partial _{\beta }\phi =\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi$

根據施瓦茨定理，這意味著可以任意交換偏導數的順序。

令 $R\in \mathbb {R} _{>0}$ 是一個任意的正實數。根據富比尼定理和分部積分，我們得到

${\begin{aligned}\int _{[-R,R]^{d}}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&=\int _{[-R,R]^{d-1}}\int _{-R}^{R}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{[-R,R]^{d-1}}\left(\left(\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}\right){\big |}_{x_{k}=-R}^{x_{k}=R}-\int _{-R}^{R}\partial _{\alpha }\phi (x)(-2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}\right)d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\end{aligned}}$

由於支配收斂定理（支配函式為 $x\mapsto \partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)$），該方程左邊上的積分收斂於

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx$

當 $R\to \infty$ 時。此外，由於 $\phi$ 是一個 Schwartz 函式，存在 $b,c\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$|\partial _{\alpha }\phi (x)|<\min \left\{b\prod _{j=1 \atop j\neq k}^{d}|x_{j}|^{-2},c\right\}$

因此，最後一個方程最後一行右側大括號內的函式被 $L^{1}(\mathbb {R} ^{d-1})$ 函式支配

$(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})\mapsto \min \left\{b\prod _{j=1 \atop j\neq k}^{d}|x_{j}|^{-2},c\right\}+\int _{-\infty }^{\infty }|\partial _{\alpha }\phi (x)(-2\pi iy_{k})|dx_{k}$

因此，根據控制收斂定理，當 $R\to \infty$ 時，該函式的積分收斂於

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }\partial _{\alpha }\phi (x)(2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx_{k}\right)d(x_{1},\ldots ,x_{k-1},x_{k+1},\ldots ,x_{d})&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\phi (x)(2\pi iy_{k})e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{Fubini}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi iy^{\beta })\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{induction hypothesis}}\end{aligned}}$

根據實數序列極限的唯一性，我們得到 1。

2.

我們再次對 $|\alpha |$ 進行歸納，注意對於 $|\alpha |=0$，該斷言顯然成立。假設對於所有滿足 $|\alpha |=n$ 的 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，斷言成立。選擇 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $|\beta |=n+1$ 且 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 使得 $\beta _{k}>0$，並定義 $\alpha :=\beta -e_{k}$。

定理 8.6 和 8.7 意味著

• 對於所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$，$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}|dx<\infty$ 且
• 對於所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$，$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\phi (x)\partial _{y_{k}}e^{-2\pi ix\cdot y}|dx<\infty$.

此外，

• $\partial _{y_{k}}(\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y})$ 對於所有 $(x,y)\in \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}$ 存在。

因此，萊布尼茨積分規則意味著

${\begin{aligned}\partial _{\beta }{\hat {\phi }}(y)&=\partial _{x_{k}}\partial _{\alpha }{\hat {\phi }}(y)&\\&=\partial _{y_{k}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi ix)^{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{induction hypothesis}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{y_{k}}(2\pi ix)^{\alpha }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi ix)^{\beta }\phi (x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx\end{aligned}}$

3.

${\begin{aligned}{\widehat {\phi *\theta }}(y)&:=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(\phi *\theta )(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{Def. of Fourier transform}}\\&:=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (z)\theta (x-z)dze^{-2\pi ix\cdot y}dx&{\text{Def. of convolution}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}\phi (z)\theta (x-z)dzdx&{\text{linearity of the integral}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}\phi (z)\theta (x-z)dxdz&{\text{Fubini}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}e^{-2\pi iz\cdot y}\phi (z)\theta (x)dxdz&{\text{Integration by substitution using }}x\mapsto x+z{\text{ and }}\forall b,c\in \mathbb {R} :e^{b+c}=e^{b}e^{c}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\overbrace {\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-2\pi ix\cdot y}\theta (x)dx} ^{={\hat {\theta }}(y)}\phi (z)e^{-2\pi iz\cdot y}dz&{\text{pulling a constant out of the integral}}\\&={\hat {\theta }}(y)\overbrace {\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (z)e^{-2\pi iz\cdot y}dz} ^{={\hat {\phi }}(y)}&{\text{pulling a constant out of the integral}}\end{aligned}}$$\Box$

定理 8.9:

設 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，並設 ${\hat {\phi }}$ 為 $\phi$ 的傅立葉變換。那麼 ${\hat {\phi }}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。

證明:

設 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是兩個任意的 $d$ 維多重指標，並設 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。根據定理 8.6，$\partial _{\alpha }((-2\pi \mathrm {i} x)^{\beta }\phi )$ 也是一個 Schwartz 函式。定理 8.8 意味著

$x^{\alpha }\partial _{\beta }{\hat {\phi }}={\widehat {\partial _{\alpha }((-2\pi \mathrm {i} x)^{\beta }\phi )}}$

根據定理 8.3，${\widehat {\partial _{\alpha }((-2\pi \mathrm {i} x)^{\beta }\phi )}}$ 是有界的。由於 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是任意的，這表明 ${\hat {\phi }}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。$\Box$

定義 8.10:

我們定義Schwartz 空間上的傅立葉變換為函式

${\mathcal {F}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {F}}(\phi ):={\hat {\phi }}$.

定理 8.9 保證此函式確實對映到 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。此外，我們將Schwartz 空間上的逆傅立葉變換定義為函式

${\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {F}}(\phi ):=x\mapsto \int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (y)e^{2\pi ix\cdot y}dy$.

此函式對映到 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，因為 ${\mathcal {F}}^{-1}(\phi )(x)={\hat {\phi }}(-x)$。

傅立葉變換和逆傅立葉變換都是逐點連續的

定理 8.11:

令 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，並令 $(\phi _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是一個 Schwartz 函式序列，使得 $\phi _{l}\to \phi ,l\to \infty$。那麼 ${\mathcal {F}}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}(\phi ),l\to \infty$ 且 ${\mathcal {F}}^{-1}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}^{-1}(\phi ),l\to \infty$，在定義 3.11 中定義的 Schwartz 函式收斂意義上。

證明:

1. 我們證明 ${\mathcal {F}}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}(\phi ),l\to \infty$。

令 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。根據定理 8.8 的 1 和 2，以及導數、積分和乘法的線性性，我們有

$x^{\alpha }\partial _{\beta }({\mathcal {F}}(\phi _{l})(x)-{\mathcal {F}}(\phi )(x))=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }((-2\pi iy)^{\beta }(\phi _{l}(y)-\phi (y)))e^{-2\pi ix\cdot y}dy$.

類似於定理 8.3 的證明，我們由此得到

$\left|x^{\alpha }\partial _{\beta }({\mathcal {F}}(\phi _{l})(x)-{\mathcal {F}}(\phi )(x))\right|\leq \|\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}-\phi )))\|_{L^{1}}$.

由於多維乘積法則，

$\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}(x)-\phi (x)))=\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \alpha }{\binom {\varsigma }{\alpha }}\partial _{\varsigma }((-2\pi ix)^{\beta })\partial _{\alpha -\varsigma }(\phi _{l}(x)-\phi (x))$.

現在令 $\epsilon >0$ 為任意數。由於 $\phi _{l}\to \phi$ 正如定義 3.11 中所定義的那樣，對於每一個 $n\in \{1,\ldots ,d\}$，我們可以選擇 $N_{1}\in \mathbb {N}$ 使得

$\forall k\geq N_{1}:\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \alpha }{\binom {\varsigma }{\alpha }}\|x_{n}^{2}\partial _{\varsigma }((-2\pi ix)^{\beta })\partial _{\alpha -\varsigma }(\phi _{l}(x)-\phi (x))\|_{\infty }<\epsilon$.

此外，我們可以選擇$N_{2}\in \mathbb {N}$ 使得

$\forall k\geq N_{2}:\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \alpha }{\binom {\varsigma }{\alpha }}\|\partial _{\varsigma }((-2\pi ix)^{\beta })\partial _{\alpha -\varsigma }(\phi _{l}(x)-\phi (x))\|_{\infty }<\epsilon$.

因此，對於$k\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$

${\begin{aligned}\|\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}-\phi )))\|_{L^{1}}&:=\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\partial _{\alpha }((-2\pi ix)^{\beta }(\phi _{l}(x)-\phi (x)))|dx\\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}\epsilon \min\{x_{1}^{-2},\ldots ,x_{d}^{-2},1\}dx\\&=\epsilon \int _{\mathbb {R} ^{d}}\min\{x_{1}^{-2},\ldots ,x_{d}^{-2},1\}dx\end{aligned}}$

由於$\epsilon >0$ 是任意的，我們得到${\mathcal {F}}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}(\phi ),l\to \infty$.

2. 從 1. 推匯出 ${\mathcal {F}}^{-1}(\phi _{l})\to {\mathcal {F}}^{-1}(\phi ),l\to \infty$.

如果 $\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函式意義上，那麼 $\theta _{l}\to \theta$ 也在 Schwartz 函式意義上，其中我們定義

$\theta _{l}(x):=\phi _{l}(-x)$ 和 $\theta (x):=\phi (-x)$.

因此，根據 1. 和用微分同胚 $x\mapsto -x$ 進行的變數替換積分，${\mathcal {F}}^{-1}(\phi _{l})={\mathcal {F}}(\theta _{l})\to {\mathcal {F}}(\theta )={\mathcal {F}}^{-1}(\phi )$.$\Box$

在下一個定理中，我們將證明 ${\mathcal {F}}^{-1}$ 是傅立葉變換的逆函式。但是為了證明該定理（證明過程會比較長，所以閱讀它將是一個很好的練習），我們需要另外兩個引理

引理 8.12:

如果我們定義函式

$G:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,G(x):=e^{-\pi \|x\|^{2}}$,

那麼 ${\mathcal {F}}(G)=G$ 並且 ${\mathcal {F}}^{-1}(G)=G$.

證明:

1. ${\mathcal {F}}^{-1}(G)=G$

我們定義

$\mu :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\mu (\xi ):=e^{\pi \|\xi \|^{2}}{\hat {G}}(\xi )$.

根據乘積規則，對於所有 $n\in \{1,\ldots ,d\}$ 我們有

$\partial _{\xi _{n}}\mu (\xi )=2\pi \xi _{n}e^{\pi \|\xi \|^{2}}{\hat {G}}(\xi )+e^{\pi \|\xi \|^{2}}\partial _{\xi _{n}}{\hat {G}}(\xi )$.

根據定理 8.8 的第 1 點，我們有

$2\pi \xi _{n}{\hat {G}}(\xi )=-i{\widehat {\partial _{x_{n}}G}}(\xi )=-i\int _{\mathbb {R} ^{d}}(2\pi x_{n})e^{-\pi \|x\|^{2}}e^{2\pi i\xi \cdot x}dx$;

根據定理 8.8 的第 2 點，我們進一步得到

$\partial _{\xi _{n}}{\hat {G}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}(-2\pi ix_{n})e^{-\pi \|x\|^{2}}e^{2\pi i\xi \cdot x}dx$.

因此，$\mu$ 是常數。此外，

${\begin{aligned}\mu (0)&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}e^{-\pi \|x\|^{2}}dx&\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{d}}}e^{-\|x\|^{2}/2}dx&{\text{substitution using }}x\mapsto {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{d}}}x\\&=1&{\text{lemma 6.2}}\end{aligned}}$.

2. ${\mathcal {F}}^{-1}(G)=G$

透過微分同胚 $x\mapsto -x$ 代入，

$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:{\mathcal {F}}^{-1}(G)(x)={\mathcal {F}}(G)(x)=G(x)$.$\Box$

對於下一個引理，我們需要再次使用示例 3.4，因此我們將其重新陳述

示例 3.4： 標準平滑化函式 $\eta$，由以下公式給出

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\frac {1}{c}}{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

, 其中 $c:=\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}dx$，是一個碰撞函式（參見練習 3.2）。

引理 8.13:

令 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，並且對於每個 $n\in \mathbb {N}$ 定義 $\phi _{n}(x):=\eta (x/n)\phi (x)$。 那麼 $\phi _{n}\to \phi ,n\to \infty$ 在 Schwartz 函式的意義上。

證明:

令 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 為任意值。 由推廣的乘積規則，

$\partial _{\beta }(\phi _{n}-\phi )=\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma \leq \beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\beta -\varsigma |}}}\partial _{\beta -\varsigma }\eta (x/n)\partial _{\varsigma }\phi (x)-\partial _{\beta }\phi (x)$.

根據三角不等式，我們可以推匯出

$|x^{\alpha }\partial _{\beta }(\phi _{n}-\phi )|\leq {\frac {1}{n}}\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma <\beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\beta -\varsigma |-1}}}|x^{\alpha }\partial _{\varsigma }\phi (x)||\partial _{\beta -\varsigma }\eta (x/n)|+|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)||1-\eta (x/n)|$.

由於 $\phi$ 和 $\eta$ 都是 Schwartz 函式（見練習 3.2 和定理 3.9），對於每個 $\varrho \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 我們可以選擇 $b_{\varrho },c_{\varrho }\in \mathbb {R}$ 使得

$\|\partial _{\beta -\varrho }\eta \|_{\infty }<b_{\varrho }$ 以及 $\|x^{\alpha }\partial _{\varrho }\phi \|_{\infty }<c_{\varrho }$.

此外，對於每個 $k\in \{1,\ldots ,d\}$，我們可以選擇 $c_{k}\in \mathbb {R} ^{d}$ 使得

$\|x_{k}x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }<c_{k}$.

現在令 $\epsilon >0$ 為任意正數。我們選擇 $N_{1}\in \mathbb {N}$ 使得對於所有 $n\geq N_{1}$

${\frac {1}{n}}\sum _{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d} \atop \varsigma <\beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\beta -\varsigma |-1}}}b_{\varsigma }c_{\varsigma }<\epsilon /2$.

此外，我們選擇 $R\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$\|x\|>R\Rightarrow |x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)|<\epsilon /2$.

這是可能的，因為

$|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)|\leq \min \left\{{\frac {c_{1}}{|x_{1}|}},\ldots ,{\frac {c_{d}}{|x_{d}|}}\right\}$

這是因為我們對 $c_{1},\ldots ,c_{d}$ 的選擇。

然後我們選擇$N_{2}\in \mathbb {N}$ 使得對於所有$n\geq N_{2}$

$\forall x\in B_{R}(0):|1-\phi (x/n)|<1/c_{\beta }$.

將所有這些代入上述方程得到$|x^{\alpha }\partial _{\beta }(\phi _{n}-\phi )|<\epsilon$ 對於$n\geq N:=\max\{N_{1},N_{2}\}$. 由於$\alpha$, $\beta$ 和$\epsilon$ 是任意的，這證明了$\phi _{n}\to \phi$ 在 Schwartz 函式的意義上。$\Box$

定理 8.14:

令$\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$. 那麼${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))=\phi$ 和${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))=\phi$.

證明:

1. 我們證明，如果 $\phi$ 是一個在原點消失的 Schwartz 函式（即 $\phi (0)=0$），那麼 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(0)=0$。

所以，設 $\phi$ 是一個在原點消失的 Schwartz 函式。根據微積分基本定理、多元鏈式法則和積分的線性性，我們有

$\phi (x)=\phi (x)-\phi (0)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}\phi (tx)dx=\sum _{j=1}^{d}x_{j}\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}\phi (tx)dt$.

定義 $\phi _{n}(x):=\eta (x/n)\phi (x)$，

$\theta _{j,n}(x):=\eta (x/n)\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}\phi (tx)dt$,

並將上述等式的兩邊乘以 $\eta (x/n)$，我們得到

$\phi _{n}(x)=\sum _{j=1}^{d}x_{j}\theta _{j,n}(x)$.

由於對所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

$\partial _{\alpha }\theta _{j,n}(x)=\sum _{\varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\varsigma }}{\frac {1}{n^{|\varsigma |}}}\partial _{\varsigma }\eta (x/n)\int _{0}^{1}\partial _{\alpha -\varsigma }\partial _{x_{j}}\phi (tx)dt$,

所有$\theta _{j,n}$ 都是碰撞函式（根據定理 4.15 和練習 3.?），因此是 Schwartz 函式（定理 3.9）。因此，根據定理 8.8 和傅立葉變換的線性（這來自積分的線性），

${\mathcal {F}}(\phi _{n})(y)=\sum _{j=1}^{d}{\mathcal {F}}(x_{j}\theta _{j,n})(y)={\frac {1}{-2\pi i}}\sum _{j=1}^{d}\partial _{y_{j}}{\mathcal {F}}(\theta _{j,n})(y)$.

因此，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi _{n}))(0)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\phi _{n})(y)\overbrace {e^{-2\pi i0\cdot y}} ^{=1}dy={\frac {1}{-2\pi i}}\sum _{j=1}^{d}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{y_{j}}{\mathcal {F}}(\theta _{j,n})(y)dy$.

令$k\in \{1,\ldots ,d\}$. 根據 Fubini 定理，微積分基本定理，並且由於 $\theta _{k,n}$ 是碰撞函式，我們有

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{y_{k}}{\mathcal {F}}(\theta _{k,n})(y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\int _{-\infty }^{\infty }\partial _{y_{k}}{\mathcal {F}}(\theta _{k,n})(y)dy_{k}d(y_{1},\ldots ,y_{k-1},y_{k+1},\ldots ,y_{d})=0$.

如果我們令$n\to \infty$，定理 8.11 和引理 8.13 給出了結論。

2. 從 1. 推匯出，如果 $\phi$ 是任意 Schwartz 函式，那麼 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(0)=\phi (0)$.

如同引理 8.12 中定義的那樣，我們定義

$G:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,G(x):=e^{-\pi \|x\|^{2}}$.

現在設 $\phi$ 是任意 Schwartz 函式，那麼 $\phi -\phi (0)G$ 也是一個 Schwartz 函式（見習題 3.?）。此外，由於 $G(0)=1$，它在原點處為零。因此，根據 1.，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi -\phi (0)G))(0)=0$.

此外，根據引理 8.12 和傅立葉變換的線性性質，

$0={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi -\phi (0)G))(0)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))-\phi (0)G(0)$.

3. 從 2. 推匯出，如果 $\phi$ 是一個 Schwartz 函式，且 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 是任意的，那麼 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(x)=\phi (x)$（即 ${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))=\phi$）。

令 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 和 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 為任意值。根據 ${\mathcal {F}}^{-1}$ 的定義，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\phi )(y)e^{2\pi ix\cdot y}dy$.

此外，如果我們定義 $\theta (z):=\phi (z+x)$,

${\mathcal {F}}(\phi )(y)e^{2\pi ix\cdot y}=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (z)e^{-2\pi iz\cdot y}e^{2\pi ix\cdot y}dz=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\theta (z)dze^{-2\pi iz\cdot y}={\mathcal {F}}(\theta )(y)$.

因此，根據 2.，

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\theta )(y)dy={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\theta ))(0)=\theta (0)=\phi (x)$.

4. 我們從 3. 推匯出，對於任何 Schwartz 函式 $\phi$，我們有 ${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))=\phi$.

設$\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 以及 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 為任意值。那麼我們有

${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))(y)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))(-y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}^{-1}(\phi )(x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\phi )(-x)e^{-2\pi ix\cdot y}dx={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}(\phi ))(y)=\phi (y)$.$\Box$

緩增分佈的傅立葉變換

定義 8.15:

設${\mathcal {T}}$ 為緩增分佈。我們定義

${\mathcal {F}}({\mathcal {T}})(\phi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {F}}(\phi ))$.

定理 8.16:

${\mathcal {F}}({\mathcal {T}})$ 是一個緩增分佈。

證明:

1. 由於 ${\mathcal {T}}$ 和 ${\mathcal {F}}$ （定理 8.11）的序列連續性，以及兩個序列連續函式的複合仍然是序列連續的，因此序列連續性成立。

2. 線性性來自 ${\mathcal {T}}$ 和 ${\mathcal {F}}$ 的線性性，以及兩個線性函式的複合仍然是線性的。 $\Box$

定義 8.17:

設${\mathcal {T}}$ 為緩增分佈。我們定義

${\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {T}})(\phi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {F}}^{-1}(\phi ))$.

來源

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Analysis courses 2000/2001. Princeton University Press. ISBN 000-0-000-00000-0. {{cite book}}: Check |isbn= value: invalid prefix (help)
• Jerry Shurman (2008), Fourier inversion (PDF)