透過電子遊戲解釋物理學/功和能的介紹

透過電子遊戲解釋物理學
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主題 3.1 - 功和能的介紹

目標

瞭解什麼是功。
理解和應用功的推導。
瞭解動能和勢能。
使用功-能定理計算物理情況。

主題 3.1.1 - 功

示例 1：滾動的城市巨石

巨石因為作用在它上面的力而做了功。此外，巨石在同一方向上發生了位移。

為了進一步描述物理物體的行為，我們可以考慮功。功是系統內的能量型別，我們將在稍後討論。它涉及考慮作用在物體上的一個選定力的量級以及物體所發生的位移。

在最簡單的形式中，功是力的量級和物體位移的乘積，前提是 (1) 力是恆定的，並且 (2) 力和位移向量指向同一方向。在這種特殊情況下， ${\text{Work}}={\text{Force}}\cdot {\text{Displacement}}$ . 我們可以使用這樣的約定，功可以用符號 $W$ 表示，使得 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ .

例如，在swiped3修改版的lack of comfort中，考慮一個在平面上向右滾動的圓形巨石。巨石在平面上向右加速。這是因為風推動巨石，對它提供了一個恆定的 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ ，指向右側。此外，在影片中，存在一個指向右側的位移向量。

練習：假設 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 的量級為 $10.\;{\text{N}}$ 並且位移量級為 $5.0\;{\text{m}}$ 。對巨石所做的淨功是多少？

答案

在本例中，我們被告知力是恆定的。此外，我們可以在圖中看到 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 和 ${\vec {d}}$ 向量指向同一個方向（向右）。因此，我們可以使用公式 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ ，如下所示，來求解淨力 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 對巨石所做的功。

$W={\vec {F}}{\vec {d}}$

$W_{\text{net}}={\vec {F}}_{\text{net}}{\vec {d}}$ [我們正在考慮淨力對球做的功。因此，我們正在計算球的淨功。]

$W_{\text{net}}=(10.)(5.0)\;{\text{N}}\cdot {\text{m}}$ [代入。]

$W_{\text{net}}=50.\;{\text{N m}}$ [2 位有效數字]

當巨石在屋頂上滾動時，它具有 $50.\;{\text{N m}}$ 的淨功。

示例 2：螺旋槳飛機

飛機下降的示意圖，上面覆蓋了位移向量。

如主題 2.3 - 牛頓第二定律中所見，讓我們再次考慮由 TiM MELL0 製作的地圖“操縱飛機”，其中玩家 Sam（紅色）駕駛飛機下降到地面。我們將使用此示例來推廣計算物體上恆力做功的概念。

值得注意的是，即使位移向量與力向量不平行，我們也可以計算力對物體所做的功。因此，我們可以使用一般公式來計算物體上恆力所做的功。

恆力下做功的定義

W={\vec {F}}{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {d}}

從上面的等式中，注意兩點

功是一個標量值。這意味著它是一個一維的值。但是，它可以是負數或正數。有關更多資訊，請觀看可汗學院的此影片。此外，下一個示例將進一步深入探討此概念。
點積用於該等式。這是兩個向量之間的一種乘法運算。通常，這個概念是在預備微積分課程中引入的。

如果您不熟悉點積，我們也可以將恆力做功的一般方程寫成另一種形式，即 $W=Fd\cos(\theta )$ 。其中，

$F$ 和 $d$ 分別代表向量 ${\vec {F}}$ 和 ${\vec {d}}$ 的大小。
$\theta$ 是這兩個向量之間方向的差值。

練習：假設有一個大小為

8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}

（向下方向）的重力作用在正在下降的平面上。使用平面路徑上的兩個點，標記為“開始”和“結束”，發現這兩個點之間距離為

100.\;{\text{m}}

。此外，平面這兩個點之間的位移向量指向

30.^{\circ }

低於 +X 軸。重力在這兩個標記點之間所做的功是多少？

答案：為了解決這個問題，我們首先列出提示中提到的資訊。

我們要計算重力對平面所做的功。
重力向量的大小為 $8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}$ ，方向向下。
位移向量的大小為 $100.\;{\text{m}}$ 。它的方向是 $30.^{\circ }$ 低於 +X 軸。

有了這些，我們可以找到代入公式 $W=Fd\cos(\theta )$ 所需的變數。更具體地說，重力向量的幅度是我們的 ${\vec {F}}$ 變數。此外，位移向量代表 ${\vec {d}}$ 變數。因此，我們可以將部分變數代入公式，使得

$W=Fd\cos(\theta )$ [公式]

$W_{grav}=F_{grav}d\cos(\theta )$ [我們正在考慮重力作用在平面上。]

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})(100.)\cos(\theta )\;{\text{N m}}$ [代入重力和位移向量大小。]

為了考慮 $\theta$ 的值，我們可以繪製 ${\vec {F}}_{grav}$ 和 ${\vec {d}}$ ，如右側圖所示。根據給定的資訊和圖表，我們可以發現 $\theta =60.^{\circ }$ 。我們可以將該值代入 $W_{grav}$ 的方程並繼續簡化。

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})\;(100.)\cos(60.^{\circ })\;{\text{N m}}$ [代入 $\theta$ ]

$W_{grav}=4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ [使用度數模式；代數；2 位有效數字]

當飛機下降時，重力對飛機做功 $4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ 。

示例 3：生產線

內容先決條件
在閱讀此示例之前，請觀看由可汗學院建立的相關影片。

一個裝滿彩色箱子的傳送帶沿著生產線滾動。

我們也可以計算一個力所做的功，即使力在發生變化。假設在antidonaldtrump / Armin van Buren製作的《工廠複製地圖》中，彩色箱子被推沿著生產線移動。在生產線的頂層，這些方塊有一個合力將它們向前推沿著生產線，使其向左加速。

與之前的例子不同，作用在物體上的力是變化的。這意味著方程 $W=Fd\cos(\theta )$ （假設力是恆定的）不能直接使用。

相反，我們可以考慮用圖形方法計算彩色箱子的功。

演練：假設在生產線的頂層，

黃色箱子翻到一邊，開始沿著兩個傳送帶向左移動。
黃色箱子在第一條傳送帶上移動了 $1.0\;{\text{m}}$ 。

黃色箱子在第一條傳送帶上受到的合力是 $200.\;{\text{N}}$ 。
然後，黃色箱子在第二條傳送帶上移動了 $4.0\;{\text{m}}$ 。
黃色箱子在第二條傳送帶上時的合力為 $300.\;{\text{N}}$ 。

在本例中，我們將透過圖形方法計算作用在黃色箱子上的合力所做的功。為此，我們可以建立一個關於作用在黃色箱子上的力的函式，該函式與右側所示的位移有關。為了更深入地研究，我們需要考慮一些關於功的理論。

力所做的功是該力在一個距離上的累積。換句話說，我們可以繪製一個關於距離的力的函式圖。由於功是關於距離的力的累積，因此上述函式曲線下的面積就是功。

利用這個定義，我們可以建立一個關於黃色箱子合力的圖， ${\vec {F}}_{net}$ 關於 ${\vec {d}}$ 的圖。由於作用在黃色箱子上的力依賴於箱子的位置，因此 ${\vec {F}}_{net}$ 是自變數（ $Y\;{\text{axis}}$ ），而 ${\vec {d}}$ 是因變數（ $X\;{\text{axis}}$ ）。

如上所述，由於功是關於距離的力的累積，如果我們要計算綠色曲線和 $X$ 軸之間的面積，那麼這就是作用在黃色箱子上從 $0.0\;{\text{m}}$ 到 $5.0\;{\text{m}}$ 的功。

這可以透過將圖中所示的圖形分解為兩個矩形來完成，如圖所示。從這裡，我們可以輕鬆地計算出每個矩形的面積，從而得到所做的功。

有了這些，我們可以將兩個矩形的面積結合起來，找到所做的功。

圖形	圖形面積	相關位移域
紫色矩形	$200.\;{\text{Nm}}$	$0.0$ 到 $1.0\;{\text{m}}$
藍色矩形	$1200.\;{\text{Nm}}$	$1.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$
總面積	$1400.\;{\text{Nm}}$ ( ${1.40\cdot 10^{3}}\;{\text{Nm}}$ ，調整有效數字後)	$0.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$