透過電子遊戲解釋物理學/牛頓第二定律

主題 2.3 - 牛頓第二定律

為了將運動學概念應用到更多物理情況，我們需要考慮如何利用力來解釋物體的運動。

示例 1：火箭推進

*地圖是猴子管傢俬人地圖。*

如火箭所示*，物體在施加於它們上的合力方向上加速。在本例中，作用於火箭的唯一非可忽略力是其推進力，該力將火箭推向右上方向。因此，火箭的推進力是其合力，${\vec {F}}_{net}$.

由此，我們可以看到火箭從靜止狀態開始向右上方加速。換句話說，火箭由於推進力而向右上方加速。

火箭加速度的行為可以透過注意下面牛頓第二定律的定義來概括。

牛頓第二定律的定義

在任何時刻，作用於物體的合力等於物體的質量乘以其合加速度。

利用這個定義，我們可以建立方程式 ${\vec {F}}_{net}=m{\vec {a}}_{net}$。這使我們能夠將作用於物體的力概念與物體的加速度聯絡起來。

示例 2：滑板運動

考慮一個TiM MELL0的滑板決鬥的修改版本。在這個版本中，猴子管家（左）和Hello4409（右）都嘗試透過對滑板施加在左右方向之間交替的力來移動他們的滑板。需要注意的是，兩位玩家都施加了相同大小的水平力。

如上面的影片所示，Hello4409的滑板移動速度比猴子管家的滑板慢得多。這是因為滑板的質量不同。更具體地說，Hello4409的滑板質量更大。因此，當Hello4409嘗試對他的滑板施加力時，它的加速速度更慢。

這可以用右邊的圖表來表示，該圖表說明了給定一些已知的合力，$F_{net}$，如果物體質量更大，那麼該物體的合加速度，$a_{net}$，將更小。

在滑板示例中，猴子管家和Hello4409的滑板在滑板位於斜坡底部時承受著相同的力。更準確地說，兩位玩家的滑板都具有大小可忽略不計的重力和接觸力。因此，兩位玩家的合力都是作用力。

雖然作用力的大小相等，但我們可以考慮牛頓第二定律，其中$F_{net}=ma_{net}\implies a_{net}={\frac {F_{net}}{m}}$。由於猴子管家的滑板（藍色）質量更小，因此它的合加速度的大小更大。

此外，由於猴子管家能夠使他的滑板獲得更大的加速度，他的藍色滑板能夠沿著斜坡向上行駛更遠。這個概念將在第 3 單元中進一步探討。

示例 3：汽車追逐

為了進一步瞭解牛頓第二定律的應用，考慮下面O_o O_o O_o的汽車追逐的修改版本。在這張地圖中，一輛警車正在追逐一輛紅色車輛，兩輛車都逐漸減速並停下來。

任務
假設
• 空氣阻力可以忽略不計。
• 警車的重力和接觸力在大小上可以忽略不計地不同。
• 警車從發動機推力產生的作用力和汽車從粗糙地面產生的摩擦力僅作用於水平方向。

考慮到影片的整體情況，在警車減速時，下面提到的哪個力的量級更大？然後，繪製警車的受力分析圖（FBD）。

警車施加的力（來自發動機推力）

警車的摩擦力（來自粗糙的地面）

都不是。它們的量級相等。

答案

警車的摩擦力（來自粗糙的地面）。

解釋一下，我們已經知道警車正在減速。由於警車最初向右移動，然後相對於地面靜止，警車具有淨加速度，$a_{net}$，方向向左。根據笛卡爾座標系約定，淨加速度指向負水平方向。

根據牛頓第二定律，淨力的方向與淨加速度的方向相同。因此，警車有一個指向左邊的淨力。

在垂直方向上，重力和接觸力大小相等，完全抵消。此外，我們知道摩擦力作用向左，施加的力作用向右。有了這些資訊，我們可以開始繪製該情況的受力分析圖（FBD），如右圖所示。

由於只有摩擦力和施加的力位於水平方向，為了使合力位於負（左）方向，摩擦力必須具有更大的量級。這在FBD中反映出來，其中摩擦力的向量比施加力的向量繪製得更長。

如果摩擦力的大小不比施加的力大呢？

如果我們假設其他選擇之一是正確的，那麼涉及警車的物理情況將有所不同。

• 如果我們說“警車的施加力（來自發動機推力）”的量級更大，那麼警車將在影片中向右加速，並繼續向右加速。

• 如果我們說“都不是”的量級更大，那麼摩擦力和施加的力將相互抵消。儘管這將在主題2.4中作為牛頓第一定律的一部分進行討論，但如果我們只有相互抵消的力，則物體不會向任何方向加速。因此，選擇這個選項意味著警車的速度沒有變化。

示例4：螺旋槳飛機

一架飛機以恆定的合力作用在它上面，進入逐漸下降狀態。

為了將牛頓第二定律的討論擴充套件到定量情況，讓我們考慮一下TiM MELL0的機動飛機地圖。在這個地圖中，玩家可以透過對飛機表面施加力來影響小型飛機的運動。

假設玩家Sam（紅色）正在駕駛一架飛機，最初施加向下的力，同時水平向右移動。當Sam進入虛線軌道時，他停止對飛機施加力。不久之後，飛機運動的方向逐漸接近一個穩定狀態的下降。

假設

• 飛機和玩家的總質量為$6{,}000.\;{\text{kg}}$
• 作用在飛機上的力在飛機位於虛線軌道上時保持不變。
• 這個${\vec {F}}_{\text{grav}}$和這個${\vec {F}}_{\text{lift}}$力作用在相反的方向，大小相等。
• 這個${\vec {F}}_{\text{engine}}$（來自飛機發動機的力）方向與+X軸相比，向下$5^{\circ }$。
• 力的大小為${\vec {F}}_{\text{lift}}=10.\;{\text{kN}}$，${\vec {F}}_{\text{grav}}=-10.\;{\text{kN}}$和${\vec {F}}_{\text{engine}}=15.\;{\text{kN}}$。

（單位轉換： $1\;{\text{kN}}$ = $1{,}000\;{\text{N}}$）

• 這些力可以被描繪成下面提供的受力分析圖。

一個顯示飛機下降時作用在它上面的力的圖。

任務：計算飛機在水平方向上的加速度，而它在虛線軌道上行駛。

答案

${\vec {a}}_{{\text{net}},{\textbf {x}}}=2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [2位有效數字]
注意：這裡考慮的是水平加速度，而不是整體加速度。

為了解決這個問題，我們需要考慮牛頓第二定律。然而，我們沒有明確給出${\vec {F}}_{\text{net}}$。相反，我們必須利用上面列出的資訊來計算${\vec {F}}_{\text{net}}$。

我們可以發現${\vec {F}}_{\text{lift}}$ 和 ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ 直接相反並相互抵消。因此，在計算${\vec {F}}_{\text{net}}$時，我們可以忽略這些力。（它們也只在垂直方向上作用，因此不會影響水平加速度。但是，我們很快就會講到這一點。）

因此，只有${\vec {F}}_{\text{engine}}$ 仍然沒有被抵消。因此，${\vec {F}}_{\text{net}}={\vec {F}}_{\text{engine}}$。有了這些資訊，我們可以推匯出飛機的整體加速度，如下所示：${\vec {F}}_{\text{net}}=m\,{\vec {a}}_{\text{net}}$ [牛頓第二定律的定義]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {{\vec {F}}_{\text{net}}}{m}}$ [求解整體加速度向量。]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {(15.)\cdot 10^{3}\;{\text{N}}}{6000.\;{\text{kg}}}}$ [已知變數的代入；$15.\;{\text{kN}}\implies (15.)\cdot 10^{3}\;{\text{N}}$].

${\vec {a}}_{\text{net}}=2.5\;{\frac {\text{N}}{\text{kg}}}$ [除法；${\frac {\text{N}}{\text{kg}}}\implies {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$；有效數字為 2 位。]

整體加速度向量${\vec {a}}_{\text{net}}$ 及其分量在山姆飛行靜止影像上的疊加。

然而，我們還沒有完成。這是因為任務明確要求我們考慮飛機的水平加速度，而不是整體加速度。因此，我們需要使用三角函式來獲得最終答案。我們可以繪製整體加速度，${\vec {a}}_{\text{net}}$，其大小為$2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$，並且其方向角比+X軸低$5^{\circ }$。關於${\vec {a}}_{\text{net}}$的方向角，我們之所以知道這一點，是因為${\vec {F}}_{\text{net}}$的指定方向角。此外，物體沿其合力的方向加速。

利用加速度向量${\vec {a}}_{\text{net}}$及其分量，我們可以構造一個直角三角形，其中有一個已知角度$\theta$等於$5^{\circ }$。因為${\vec {a}}_{\text{net,x}}$是$\theta$的鄰邊，並且${\vec {a}}_{\text{net}}$是三角形的斜邊，我們可以直接求解${\vec {a}}_{\text{net,x}}$，如下所示

$cos(\theta )={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse side}}}$ [三角函式中$cos(\theta )$函式的定義。]

${\text{adjacent side}}=cos(\theta )({\text{hypotenuse side}})$ [求解鄰邊的長度。]

${\vec {a}}_{\text{net,x}}=cos(5^{\circ })(2.5)\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [變數代入。]

${\vec {a}}_{\text{net,x}}=2.49049\ldots \;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [計算（使用角度模式）。]

${\vec {a}}_{\text{net,x}}=2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [2 位有效數字]

飛機以 $2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 的速率水平加速。

需要注意的是，${\vec {a}}_{\text{net,x}}$ 保留 2 位有效數字等於 ${\vec {a}}_{\text{net}}$。這是因為 $\theta$ 是一個小角度，其中 $cos(\theta )=0.99619\ldots \approx 1$。

問題 1：青蛙神殿

玩家掉進青蛙的舌頭，並被強大的力量迅速拉進嘴中。

考慮一下 O_dot 製作的 青蛙神殿 地圖。在這張地圖中，玩家正在進行直接的戰鬥。其中一名玩家不小心觸動了陷阱感應器（品紅色），導致裝飾性的青蛙突然伸出舌頭。不久之後，Spy Coder X（藍色）被抓住並拉走，最終喪命。

假設

• 青蛙的舌頭最初從嘴裡伸出時的速度為 $-2.0\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$。
• 青蛙舌頭的合力，${\vec {F}}_{\text{net}}$，是恆定的，大小為 $500.\;{\text{N}}$。
• 青蛙的舌頭質量為 $200.\;{\text{kg}}$。
• Spy Coder X 距離青蛙舌尖 $0.20\;{\text{m}}$ 落地。這發生在青蛙舌頭完全伸展後 $0.10\;{\text{s}}$。
• Spy Coder X 接觸後完全附著在青蛙舌頭上。

使用上面提供的資訊回答以下問題。

第 (a) 部分

確定青蛙舌頭合力，${\vec {F}}_{\text{net}}$，的作用方向。

第 (b) 部分

利用牛頓第二定律，計算青蛙舌頭的加速度。

一個未標記的自由體圖，顯示可能作用在玩家下方的“間諜編碼器X”上的力。
每個力的定義
* 設 ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ 是作用在玩家上的重力。
* 設 ${\vec {F}}_{\text{contact}}$ 是來自青蛙舌頭的接觸力，作用在玩家身上。
* 設 ${\vec {F}}_{\text{tongue}}$ 是來自青蛙舌頭的水平力，作用在玩家身上。這是作用在青蛙舌頭上的合力。

部分 (c)

繪製一個自由體圖，顯示所有作用在“間諜編碼器X”上的力，該“間諜編碼器X”已落到青蛙舌頭上（如右側影像所示）。請注意，影像中提到的某些力可能不需要。

部分 (d)

(i) 設青蛙舌頭最初釋放的時刻為 $t=0.0\;{\text{s}}$。青蛙舌頭在什麼時間 $t$ 回到嘴裡？

(ii) 青蛙舌頭在什麼時間 $t$ 完全伸展？

(iii) 計算“間諜編碼器X”粘在青蛙舌頭上到進入青蛙嘴之間經過了多少時間。

考慮在這篇文章的討論頁面上討論你的解決方案，在那裡你可以從其他人那裡獲得幫助。

參考文獻