透過電子遊戲解釋物理學/牛頓第一和第三定律

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主題 2.4 - 牛頓第一和第三定律

本節將探討牛頓定律的其餘部分，提供對力的一般性質及其與物體相互作用的更廣泛理解。

示例 1：一條游泳的錦鯉

玩家操控的錦鯉正在池塘裡慢慢遊動。

考慮O_dot的“魚池”地圖。玩家可以在地圖底部操控錦鯉。因此，魚可以旋轉並在水中輕輕移動。我們可以看到，當魚沿直線路徑移動時，它似乎以恆定速度移動。為了進一步研究，請考慮自由體圖（如下）。它包括魚在直線運動時作用在其上的力。

*每個提到的力的定義*
* 令 ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ 為作用在魚身上的向下重力。
* 令 ${\vec {F}}_{\text{buoyancy}}$ 為水提供的向上力。
* 令 ${\vec {F}}_{\text{thrust}}$ 為魚身體提供的向前力。
* 令 ${\vec {F}}_{\text{drag}}$ 為水在魚運動方向上提供的向後力。
* 令所有顯示的力的幅度相等。

我們可以將這些向量三維地加在一起（透過以任何順序將它們的末端彼此相鄰放置），以表明作用在魚上的合力， ${\vec {F}}_{\text{net}}$ ，為零。

使用自由體圖，我們可以發現魚的 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 為 $0\;{\text{N}}$ 。這可以透過向量加法完成，如右側視覺化所示。透過使用主題 2.3中牛頓第二定律的定義，我們可以直接求解魚的淨加速度， ${\vec {a}}_{\text{net}}$ ，如下所示。

${\vec {F}}_{\text{net}}=m{\vec {a}}_{\text{net}}$ [牛頓第二定律的定義]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {{\vec {F}}_{\text{net}}}{m}}$ [代數。]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {0}{m}}\;{\frac {\text{N}}{\text{kg}}}$ [代入。我們可以假設魚確實有質量。]

${\vec {a}}_{\text{net}}=0\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [代數， ${\frac {\text{N}}{\text{kg}}}\implies {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ ]

我們可以看到，因為 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 為 $0\;{\text{N}}$ ，魚的 ${\vec {a}}_{\text{net}}$ 為 $0\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 。需要注意的是，無論魚體內包含多少質量，它的淨加速度都為零。因此，我們可以在下面進一步推廣這個概念。

因為 ${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {{\vec {F}}_{\text{net}}}{m}}$ ，如果存在一個零 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 並且一個物體具有任何正值的質量，那麼 ${\vec {a}}_{\text{net}}=0\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ .

從本質上講，這就是牛頓第一定律的定義，它實際上只是牛頓第二定律的特例。作為正式定義，它指出

牛頓第一定律

除非一個物體受到淨外力，否則它要麼靜止，要麼如果它已經運動，則保持恆定速度。^[1]

因此，從牛頓第一定律我們可以發現，如果一個物體有質量，那麼如果它沒有加速，那麼它一定有一個零淨力。需要注意的是，這個性質可以幫助我們在已知其他力的情況下顯著地幫助我們求解特定力的幅度，如示例 3 所示。

示例 2：在砂岩上滑動

玩家在砂岩洞穴中玩耍，在一個光滑的表面上滑動。

考慮由Sirestyx製作的地圖Sandstone Cave，玩家在光滑的斜坡表面上滑行。需要注意的是，在主題 2.2中，我們討論了對於一個物體放在上面的斜面系統

存在一個作用於物體的重力， ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ ，指向下方。
存在一個法向力， ${\vec {F}}_{\text{n}}$ ，作用在物體上，垂直於斜面向上。

在沙岩洞的情況下，玩家並沒有明顯的平面可以滑動。相反，表面看起來是彎曲的。然而，我們仍然可以使用主題 2.2 中的大多數技術來研究玩家與洞穴壁之間的相互作用。唯一的區別是，我們需要注意到作用在玩家身上的法向力會隨著表面的斜率變化而變化。

更具體地說，我們之前發現可以用公式

F_{\text{n}}=mgcos(\theta )

來描述物體在斜面上的法向力，其中

\theta

是仰角，以度為單位。因為

cos(\theta )

從

1

減小到

0

，隨著

\theta

從

0^{\circ }=0\;{\text{rad}}

增加到

90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\;{\text{rad}}

（如右圖所示），其中

$cos(0^{\circ })=cos(0\;{\text{rad}})=1$

$\updownarrow \;{\mathit {cos(\theta )}}\;{\text{is decreasing as}}\;\theta \;{\text{is increasing.}}$

$cos(90^{\circ })=cos({\frac {\pi }{2}}\;{\text{rad}})=0$

因此，對於表面角度介於水平 $0^{\circ }=0\;{\text{rad}}$ ）和垂直 $90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\;{\text{rad}}$ ）之間的某個位置，斜率越陡，法向力就越小。我們可以在玩家沿著沙岩洞的表面滾動時看到這一點。例如，在上面的影片中，在擊中猴子管家後，玩家ez01沿著右牆向上滑動，然後向下掉落。ez01 的位置及其相關的自由體圖可以看作是下面左圖所示的幾個例項。

滑動玩家（ez01）在光滑表面不同斜率上的力向量圖。注意，為了視覺上的簡潔，在玩家的頭像上放了一個橙色的圓圈。
滑動球體在陡峭斜坡上的力向量圖，圖中疊加了顯示法向力推導的文字。

從左圖可以看出， $F_{\text{n}}$ 的長度似乎與 $F_{\text{g}}$ 的 Y 軸分量相同。我們可以使用上面右圖所示的三角函式來證明這一點。

知道 $F_{\text{n}}=F_{\text{g,y}}$ 的大小後，我們可以用以下方式描述法向力的量級：

它與 $F_{\text{g,y}}$ 的方向相反。
它等於 $F_{\text{g,y}}$ 的大小。

換句話說，砂岩牆的法向力 “反推” 玩家的力量與玩家推向牆的力量相同。需要注意的是，玩家重力的水平分量 $F_{\text{g,x}}$ 始終垂直於砂岩牆的斜坡（見左圖）。因此，它不會 “推” 玩家進入牆內。只有 $F_{\text{g,y}}$ 會這樣。

我們可以透過牛頓第三定律來概括這種行為，其定義如下：

牛頓第三定律

當一個有質量的物體對另一個有質量的物體施加力時，第二個物體將對第一個物體施加大小相等、方向相反的力。^[2]

由此，我們可以驗證一定存在一個 $F_{\text{n}}$ ，其大小相等，方向與 $F_{\text{g,y}}$ 相反。

為了說明這一點，假設牛頓第三定律不成立。如果我們計算玩家在 Y 軸（垂直於牆壁斜坡）上的合力， $F_{\text{net,y}}\neq F_{\text{g,y}}+F_{\text{n}}$ 。在這種情況下，玩家 ex01 會要麼向下穿過砂岩加速，要麼漂浮到空中。

然而，如果我們考慮影片片段，ex01 在與 monkey butler 相撞後會沿著砂岩輕輕滑動，始終不會失去與牆壁表面的接觸。因此，牛頓第三定律成立。

示例 3：沉沒的集裝箱船

一艘集裝箱船在撞擊一塊岩石後逐漸沉沒。

為了進一步理解牛頓第三定律，假設一艘集裝箱船在 O_o O_o O_o 的地圖 “沉沒的集裝箱船” 中撞擊了一塊小岩石島，隨後開始沉沒。在此之前，集裝箱垂直堆疊在一起。

在本練習中，假設我們考慮的是船體撞擊岩石之前的時間段，並且

每個集裝箱的質量為 $9{,}000.\;{\text{kg}}$ 。
物體由於重力而產生的加速度為 $9.8\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 。
船以恆定速度移動。
集裝箱上沒有明顯的水平力作用。
集裝箱船直立時的參考影像。此影像將用於回答以下練習。

練習 1： 考慮參考影像和其他提供的資訊，為黃色集裝箱繪製自由體圖。然後計算作用在其上的法向力。

答案 1

為了解決這個問題，首先我們需要考慮一定存在一個作用在黃色集裝箱上的重力，該重力直接向下作用。由於重力直接向下作用，因此所有的重力都將黃色集裝箱推向它下方的橙色集裝箱。

因此，根據牛頓第三定律，一定存在一個大小相等、方向相反的力與重力相對應。根據主題 2.2 中對力的型別的定義，這將是一個法向力。

要計算法向力的量級，我們可以計算 $F_{\text{n}}=mgcos(\theta )$ . 因為 $\theta =0$ 使得 $cos(\theta )=1$ ， $F_{\text{n}}=mg$ 。然後，我們可以用代數來求出作用在黃色集裝箱上的法向力，如下所示
$F_{\text{n, yellow}}=mg$
$F_{\text{n, yellow}}=(9{,}000.)(9.8)\;{\text{kg}}\cdot {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\quad$ [代入變數。]
$F_{\text{n, yellow}}=88200\;{\text{N}}\quad$ [代數；牛頓（N）的定義]
$F_{\text{n, yellow}}=8.8\cdot 10^{4}\;{\text{N}}\quad$ [2 個有效數字；使用科學計數法]

黃色集裝箱受到一個大小為 $8.8\cdot 10^{4}\;{\text{N}}$ 、方向向上的法向力。

練習 2： 為示例 1 中黃色集裝箱下面的橙色集裝箱繪製自由體圖。計算作用在該橙色集裝箱上的法向力。

答案 2

對於這個問題，我們可以認為，在練習 1 中，有一個向下拉動黃色集裝箱的重力 ( $F_{\text{grav, yellow}}$ )。因為它向下（進入橙色集裝箱）施加，這意味著橙色集裝箱被它向下推。

此外，橙色集裝箱被它自身的重力向下推 (( $F_{\text{grav, orange}})$ )。因此，橙色集裝箱用它自身和黃色集裝箱的重力一起推入船體。由於船甲板是平坦的，並且直接在集裝箱下方，因此船體被作用在橙色集裝箱上的所有向下力推開。

根據牛頓第三定律，一定存在一個大小相等、方向相反的力，來抵消之前提到的作用在橙色集裝箱上的向下力。這將是橙色集裝箱的法向力， $F_{\text{n, orange}}$ 。

由於 $F_{\text{n, orange}}$ 的大小等於 $F_{\text{grav, orange}}$ 和 $F_{\text{grav, orange}}$ 的組合，就大小而言
$F_{\text{n, orange}}=F_{\text{grav, orange}}+F_{\text{grav, orange}}$
從這裡，我們可以直接求解作用在橙色容器上的法向力的量級。
$F_{\text{n, orange}}=F_{\text{grav, orange}}+88200\;{\text{N}}\quad$ [代入練習 1 中的橙色箱子的重力，儘可能多的保留有效數字。]
$F_{\text{n, orange}}=88200+88200\;{\text{N}}\quad$ [因為橙色箱子的質量相同，它將具有相同的重力大小。]
$F_{\text{n, orange}}=176400\;{\text{N}}\quad$ [加法。]
$F_{\text{n, orange}}=1.8\cdot 10^{5}\;{\text{N}}\quad$ [2 個有效數字；科學計數法。]
橙色容器的法向力大小為 $1.8\cdot 10^{5}\;{\text{N}}$ ，方向向上。

示例 4：繼續游泳的錦鯉（有挑戰性）

錦鯉與睡蓮相互作用，導致系統以恆定速度向上移動。

透過O_dot切換回地圖“魚塘”，我們將進一步瞭解牛頓第三定律。假設魚繼續在池塘中游泳。然後，魚開始與它前面的睡蓮相互作用。在這個例子中，我們將研究魚與睡蓮之間的力相互作用。

假設（在較長的時間內）

魚和睡蓮以恆定速度相互直接接觸。
睡蓮直接位於魚的前面。
魚和睡蓮始終處於垂直平衡狀態（它們保持在水面）。
來自示例 1 的力（ ${\vec {F}}_{\text{grav,fish}}$ ， ${\vec {F}}_{\text{buoyancy,fish}}$ ， ${\vec {F}}_{\text{thrust,fish}}$ ) 的大小保持不變。
示例 1 中的 ${\vec {F}}_{\text{drag}}$ 的相等性在示例 2 中不是必需的。

為什麼我們沒有考慮

{\vec {F}}_{\text{drag}}

的相等性？

需要注意的是，水對物體的阻力取決於多種因素，包括物體速度、物體表面積、物體形狀和其他因素。為了簡單方便，我們假設例子 2 中的 ${\vec {F}}_{\text{drag, lily}}$ 和 ${\vec {F}}_{\text{drag, fish}}$ 不一定與例子 1 中的 ${\vec {F}}_{\text{drag, fish}}$ 相同。

簡單來說，如果 ${\vec {F}}_{\text{drag}}\neq {\vec {F}}_{\text{drag,fish}}+{\vec {F}}_{\text{drag,lily pad}}$ ，那麼荷葉和魚在碰撞後會短暫地一起加速。這是因為水要麼不會像之前那樣強烈地拉住它們（要麼會拉得更緊）。

然而，荷葉和魚因此會有一個變化的速度。因此，它們的阻力會隨著時間推移而改變。這會導致荷葉和魚系統接近恆定速度，而與具體的阻力無關。

練習： 考慮魚和荷葉在相互作用之前兩個自由體的示意圖，以及提供的其他資訊，畫出魚和荷葉在相互作用時的兩個自由體的示意圖。

答案

根據牛頓第一定律，因為魚和荷葉都具有恆定速度，所以該系統具有一個 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 為零。

然而，很明顯魚正在透過 ${\vec {F}}_{\text{thrust, fish}}$ 力推動荷葉前進。這是因為這是我們目前知道的魚身上唯一指向荷葉的力。因此，根據牛頓第三定律，一定還存在一個大小相等、方向相反的 ${\vec {F}}_{\text{lily pad on fish}}$ 力。

另一個需要考慮的因素是，一旦魚開始與荷葉相互作用，荷葉就會像之前提到的那樣開始移動。這會導致荷葉上的阻力，可以稱為 ${\vec {F}}_{\text{drag, lily pad}}$ 。由於阻力與運動方向相反，所以阻力的向量會從荷葉的質心開始，向後指向。換句話說， ${\vec {F}}_{\text{drag, lily pad}}$ 正在推動魚。

因此，我們可以再次應用牛頓第三定律，包括魚對荷葉有一個大小相等、方向相反的 ${\vec {F}}_{\text{drag, lily pad}}$ 力。我們可以將這個向量稱為 ${\vec {F}}_{\text{fish on lily pad}}$ 。

有了這些，我們就可以繪製魚和荷葉在相互作用過程中的自由體的示意圖，如下所示。

問題 1：一艘簡陋的小船

玩家將一艘帆船從碼頭上推開。

考慮“Don't Drown”的修改版本，由Hexigon製作，其中一艘小帆船在甲板上。玩家透過在船上施加向左的力來將船推入水中。

假設

帆船和玩家的質量均為 $90.\;{\text{kg}}$ 。
玩家以 $200.\;{\text{N}}$ 的力向左推帆船。
地面粗糙，當船和玩家在上面移動時會產生動摩擦力。
帆船和玩家一起加速，然後達到恆定速度。
帆船除了帆之外，密度均勻，帆的質量可以忽略不計。

第（a）部分

(i) 當他和帆船以恆定速度運動時，定義作用在玩家垂直方向上的力。

(ii) 同樣，定義此時作用在玩家水平方向上的力。
(iii) 畫出此時玩家的受力圖。

第（b）部分

(i) 使用右側選項和上面提供的資訊，確定帆船的質心位置。

(ii) 當玩家和帆船以恆定速度運動時，畫出帆船的受力圖。

第（c）部分

假設玩家開始推船後不久，玩家-船系統具有 $0.3\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 的最大水平加速度大小。此加速度方向向左。
(i) 計算玩家-船系統達到最大加速度時動摩擦力的力的大小。
(ii) 計算玩家-船系統以恆定左向速度運動時動摩擦力的力的大小。

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參考文獻

↑ “5.3: Newton’s First Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.03%3A_Newton’s_First_Law.
↑ “5.6: Newton’s Third Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.06%3A_Newtons_Third_Law.

[1] “5.3: Newton’s First Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.03%3A_Newton’s_First_Law.

[2] “5.6: Newton’s Third Law.” Physics LibreTexts, 18 Oct. 2016, https://phys.libretexts.org/Bookshelves/University_Physics/University_Physics_(OpenStax)/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/05%3A_Newton’s_Laws_of_Motion/5.06%3A_Newtons_Third_Law.

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