實用電子學/電阻器/並聯證明

本頁介紹了一個證明，即 並聯 網路的電阻 R_tot 由 n 個電阻組成，等於各個電阻的倒數之和的倒數。

首先，考慮到流入（和流出）整個網路的電流 i_tot 必須等於每個電阻中電流的總和（基爾霍夫電流定律）。

$i_{tot}=\sum \limits _{k=1}^{n}{i_{k}},$

其中 i_k 是網路中第 k 個電阻的電流。現在，根據 歐姆定律，我們可以寫出

${{v_{tot}} \over {R_{tot}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{v_{k}} \over {R_{k}}},$

其中

• v_tot 是整個網路的電壓
• R_tot 是整個網路的電阻
• v_k 是網路中第 k 個電阻的電壓
• R_k 是網路中第 k 個電阻的電阻

由於我們知道每個電阻上的電壓是相同的（基爾霍夫電壓定律 的一個簡單情況），我們可以說

${{v} \over {R_{tot}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{v} \over {R_{k}}},$

其中 v 是網路的電壓。除以 v，我們得到最終答案

${{1} \over {R_{tot}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{1} \over {R_{k}}}.$

這也通常等價地寫成

$R_{tot}={1 \over {\sum \limits _{k=1}^{n}{1 \over {R_{k}}}}}$

這是一個重要的結果，應該記住它。請注意，串聯網路的證明 基本上相同，只是先使用 KCL，然後使用 KVL。

其他有趣的點是，這個結果描述了 串聯電容網路 和 並聯電感網路 的行為。