小學數學/因式分解方法
在數學中，找到正確答案的方式與得到正確答案本身一樣重要。有時，找到答案的方式可以被認為是一種證明。人們在談論算術問題時通常不使用“證明”這個詞，但我認為這是一個好主意，也是一個好習慣。這是一種質因數分解方法，它在得到答案的同時構建了一個證明，證明你的答案是正確的。它可以防止你迷路並展示你的工作。更重要的是，我認為它可以幫助你理解這個過程。它從非常簡單的開始，因此初學者可以使用它，但後來允許你跳過一些步驟以節省時間。
質因數分解的基本目的是取一個數字並找到它的質因數。由於每個質因數可能出現不止一次，例如在數字 4 中，它的質因數是 (2,2)，我們知道一個數字的因數不是一個集合，而是一個多重集。（隨著你進入更高階的數學，這個區別將變得很重要。）因此，我們將執行我們工作的基本方法如下所示
pf(X)
= { a reason we believe this}
(a list of factors)
例如，對於數字 4，我們可以這樣分解它
pf(4)
= { 4 = 2 * 2 }
(2,2)
這是一個非常簡單的證明，也代表了人們有時所說的“展示我們的工作”或我們的“草稿紙”。學習數學通常是學習數學的語言和符號，現在我們需要做到這一點。
我用符號 pf(X) 表示“X 的質因數”。我使用括號之間的逗號分隔的數字或“pf(X)”符號來表示一個質因數的多重集。所以 (pf(45),2,5) 表示“包含 45 的質因數、質數 2 和質數 5 的多重集”。
現在，對於質因數分解，我們只允許某些原因從一步到下一步走向答案。例如，“我的朋友哈羅德說的”不是一個好的理由。
我們將允許的第一個原因是形式為 x = y * z 的簡單乘法方程。特別是，我們被允許這樣做
pf(x)
= { x = y*z }
(pf(y),pf(z))
只要方程 x = y* z 為真（並且 y 和 z 都大於 1，否則我們將陷入迴圈！）
我們被允許使用的第二個規則是用 (x) 替換 pf(x)，如果我們確信 x 是一個質數。例如，你應該記住前十個質數：（2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29），所以用 23 替換 pf(23) 是可以的，因為我們應該心知肚明 23 是質數。當我們這樣做時，我們給出理由“23 是質數”。
最後，我們需要注意到 ((X)) = (X)，無論 X 是什麼，所以我們不需要在括號內寫括號（這對於乘法不適用，它只適用於我們使用括號來表示特殊含義的情況）。
所以讓我們舉個例子
pf(4)
= { 4 = 2 * 2 }
(pf(2), pf(2)
= { 2 is prime}
(2,2)
因此，在這個例子中，我們連結了兩個步驟，每個步驟都有一個非常簡單的理由。當你剛開始的時候，這是一個好主意。但是，數學家也希望高效，所以如果你確信自己正在做什麼，你可以一次執行兩個步驟
pf(4)
= { 4 = 2 * 2, 2 is prime}
(2,2)
請注意，無論我們執行一步、兩步還是更多步，我們實際上都是在建立方程。如果我們刪除中間步驟，結果是 pf(4) = (2,2)，這可能與人們在考試中想要的結果一致。
現在讓我們做一個更難的
pf(60)
= { 60 = 6 * 10 }
(pf(6), pf(10))
= { 6= 2* 3, 10 = 2* 5 }
(2,3,2,5)
= { commutativity of multiplication}
(2,2,3,5)
乘法的交換律是一個規則，它只允許我們重新排列因數。將它們按照順序排列在我們的列表中很好，所以我們經常在最後這樣做。但這寫起來太長了，所以我們將縮寫它為 { com. of mult. } 此外，請注意，在第二步中，我刪除了不必要的括號，而不是寫成 ((2,3), (2,5))。
現在讓我們做更難的一個，它仍然很簡單，因為質因數都很小，並且很容易看到這些因數。
pf(450)
= { 450 = 45 * 10 }
(pf(45), pf(10)}
= { 45 = 5 * 9, 10 = 2 * 5 }
(5,pf(9),2,5)
= { 9 = 3 * 3 , com. of mult.}
(2,3,3,5,5)
現在我們看到了一種可能出錯的方式——如果我們忘記了 9 不是質數，而寫成了 (5,9,2,5)。希望我們會注意到，但我們需要小心！
我認為當因數很容易看到時，這是一種很好的方法。但不幸的是，有時它們根本看不出來，在這種情況下我們需要一個新的符號來表達我們的工作。
考慮數字 143。它是質數，還是有因數？好吧，這並不明顯。找到任何因數或證明一個數字是質數的基本方法是從第一個質數（數字 2）開始，看看它是否是因數。透過系統地向上遍歷每個質數，我們要麼找到一個因數，要麼到達一個大於該數字平方根的質數，在這種情況下，我們知道該數字是質數。
然而，這有時是一項艱鉅的任務，我們真的很想以一種幫助我們跟蹤進展並可以快速檢查以確保我們沒有犯任何錯誤的方式展示我們的工作。
我們可以用符號 nu(X,Y) 來做到這一點，它表示“Y 的質因數的多重集，瞭解到從 X（包括 X）到 X 的所有數字都不能整除 Y”。因此，我使用“不可被 X 整除”函式 nu 既可以幫助記住已經檢查過的內容，但我也定義了它，以便我的方程始終在技術上為真。我們想要這個符號的原因是我們知道這是證明一個數字是質數的方式——你證明 nu(sqrt(Y),Y)，然後你就知道 Y 是質數。例如，如果你知道 nu(13, 123)，你就知道 123 是質數，因為 13*13 > 123。我們可以用 { X 不是偶數} 的理由引入 nu(2,X)。如果我們知道 nu(2,X)，那麼我們就可以用 { X 的數字和不可被 3 整除} 的理由引入 nu(3,X)。
所以讓我們試試這個
pf(143)
= { 143 is not even }
(nu(2,143))
= { 1+4+3 not divisible by 3 }
(nu(3,143))
= { 143 doesn't end in 5 }
(nu(5,143))
= { 143 / 7 = 20 and 3 / 7 }
(nu(7,143))
= { 143 / 11 = 13!!}
(11,pf(13))
= { 13 is prime }
(11,13)
所以這就是我們的答案。現在在這種情況下，我們必須使用一個由除法得出的理由：143/ 7 不是一個整數，而是 20 和 3/ 7。而且，我們驚訝地發現 11 可以整除 143。讓我們試試更難的。 （注意，我使用的是 Dr. Math 網站上的可除性測試：http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divisibleto50.html，而不是像許多可除性測試那樣進行除法，但如果我不得不進行考試，我會使用除法，因為我沒有記住這些規則。）
pf(1709)
= { not even, doesn't sum to 3, doesn't end in 5 }
(nu(5,1709))
= { 170+45 = 215, not divisible by 7 (x5 and add rule for 7) }
(nu(7,1709))
= { 1709/ 11 leaves 609, 609/ 11 leaves 59 (short division)}
(nu(11,1709))
= { 170+ 4*9 = 206, 20+24 = 48 not divisible by 13 (x4 and add rule for 13) }
(nu(13,1709))
= { 170-45 = 125, not divisible by 17 (x5 and subtract rule for 17) }
(nu(17,1709))
= { 170+18 = 188, not divisible by 19 (x2 and add rule for 19)}
(nu(19,1709))
= { 170+63 = 233, not divisible by 23 (x7 and add rule for 23)}
(nu(23,1709))
= { 170+27 = 197, 19+21 = 40, not divisible by 29 (x3 and add rule for 29)}
(nu(29,1709))
= { 170 - 27 = 143, 14 - 27 = -13, not divisible by 31 (x3 and subtract rule for 31)}
(nu(31,1709))
= { 170 - 99 = 71, not divisible by 37 (x11 and subtract rule for 37)}
(nu(37,1709))
= { 170 - 36 = 134, 41* 3 = 123 (x4 and subtract rule for 41) }
(nu(41,1709))
= { 4*43 = 172, 3 * 43 = 129, 1720+129 = 1849, so by nu rule we are done!}
(1709)
透過系統地從 2 向上遍歷到該數字的平方根，我們總是可以跟蹤我們的進展。例如，如果我們從 6 * 1709 = 10254 開始，我們將得到
pf(10254)
= { even}
(2,pf(5127))
= {5+1+2+7=15 = 3 * 5 }
(2,3,pf(1709))
.....
(2,3,1709)
然後證明將像上面那樣進行，始終包含質因數 2 和 3。
建議孩子們使用這種方法來寫出他們的工作，以便培養良好的習慣，這些習慣將在代數和其他更高階的數學計算中得到回報，並逐漸引入重要的證明概念。
有時人們會看到有人建議用因數樹作為符號。因數樹可能對視覺化某些事物有用，但如果一個人不能看到因數，它們就毫無用處！