觀測的量子理論/測量例項

用馬赫-曾德爾干涉儀觀測量子疊加

馬赫-曾德爾干涉儀

這個經典實驗是最簡單的一種實際觀測量子疊加的實驗。

一束光遇到第一個平衡的束分束器，將它分成透射光束和反射光束。在這兩束光的路徑上，放置鏡子，使它們在第二個束分束器上相遇。在第二個平板透射和反射的光束路徑上，放置光子探測器。

對束分束器的極簡模型是，將入射光子分配給兩個量子態$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$，對應於它可能遇到束分束器的兩個垂直方向。如果透射，它保持其方向並保持在同一狀態。如果它被反射，它會切換到另一個狀態。當然，這是一個非常簡化的模型，但足以解釋實驗。

用這種簡化，平衡的束分束器可以用哈達瑪門來描述。它是一個由以下定義的單量子位門

$H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$

$H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$

在兩個束分束器之間，光子的演化用簡單的相移來描述，相移取決於所遵循路徑的長度

$U_{int}|0\rangle =e^{i\delta _{0}}|0\rangle$

$U_{int}|1\rangle =e^{i\delta _{1}}|1\rangle$

因此，光子在干涉儀中的傳播由算符描述

$U_{MZ}=HU_{int}H$

如果 $|0\rangle$ 是光子的初始狀態，它離開第二個束分束器時的狀態為

$U_{MZ}|0\rangle ={\frac {1}{2}}[(e^{i\delta _{0}}+e^{i\delta _{1}})|0\rangle +(e^{i\delta _{0}}-e^{i\delta _{1}})|1\rangle ]$

如果 $\delta _{0}$ 和 $\delta _{1}$ 之間的差是 $\pi$ 的倍數，那麼光子的輸出路徑始終相同。因此可以確定地預測它將遇到哪個探測器。這個結論令人驚訝，因為它迫使我們假設光子同時沿著兩塊板之間的兩條中間路徑傳播。如果它只走其中一條路徑，就無法預測它的輸出路徑。

因此，由分束器先行的探測器能夠探測到量子疊加。在馬赫-曾德爾實驗中，一個探測器探測到處於 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 態的光子，另一個探測器探測到處於 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$ 態的光子。這種探測不是理想的測量，因為光子在被探測時會湮滅。

在馬赫-曾德爾干涉儀中，第一個分束器將光子製備成非局域化的量子疊加態，第二個分束器後面跟著一個探測器，使我們能夠觀察到這種疊加態。

當光學路徑相等時，我們可以忽略 $U_{int}$ 的影響。

$U_{MZ}=H^{2}=Id$

哈達瑪德門是它自身的逆，概括了馬赫-曾德爾干涉測量法的原理。

理想測量：CNOT 門

CNOT 門是一個量子門（Nielsen & Chuang 2010），具有由以下演化運算元確定的兩個量子位

$CNOT|00\rangle =|00\rangle$

$CNOT|01\rangle =|01\rangle$

$CNOT|10\rangle =|11\rangle$

$CNOT|11\rangle =|10\rangle$

第二個量子位的狀態變化受第一個量子位的狀態控制。這就是它們被稱為目標量子位和控制量子位的原因。

$|00\rangle$ 是 $|0\rangle \otimes |0\rangle$ 的簡寫形式。

如果目標量子位的初始狀態是$|0\rangle$ 或 $|1\rangle$（但不是這兩個的疊加），則CNOT門透過目標量子位對控制量子位進行理想測量。CNOT門的目標量子位是最簡單的量子探測器示例。指標狀態是目標量子位的$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 狀態。測量結果是 $0$ 和 $1$。如果探測器的初始狀態是$|ready\rangle =|0\rangle$，則與結果$i$相關的被探測量子位的本徵態是 $|i\rangle$.

非理想測量：SWAP門

SWAP門是一個由以下演化運算元決定的具有兩個量子位的量子門

$SWAP|00\rangle =|00\rangle$

$SWAP|01\rangle =|10\rangle$

$SWAP|10\rangle =|01\rangle$

$SWAP|11\rangle =|11\rangle$

每個量子位都處於另一個量子位的態。因此，每個量子位都對另一個量子位敏感。這就是為什麼SWAP門可以被解釋為一個量子位對另一個量子位的量子測量。例如，第二個量子位可以被解釋為一個探測器，我們為其選擇了初始態$|ready\rangle =|0\rangle$，以及指標態$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$。測量結果是 $0$ 和 $1$，它們分別具有作為特徵態的態$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$，它們對應於第一個量子位的態。如果該量子位的初始態為$\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$，則測量後的最終態為

$SWAP(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|ready\rangle =SWAP(\alpha |00\rangle +\beta |10\rangle )=\alpha |00\rangle +\beta |01\rangle )$

SWAP門不是一個理想的測量，因為觀察系統的特徵態之一會受到測量的干擾。

量子門的實驗實現

原子與腔的相互作用使我們能夠構建量子門。

可以用原子製造量子位。例如，態$|0\rangle _{A}$ 被定義為原子處於基態或激發態的態$|g\rangle _{A}$，而$|1\rangle _{A}$ 是另一個激發態$|e\rangle _{A}$。類似地，腔可以被用作量子位。態$|0\rangle _{C}$ 是其沒有光子的狀態，態$|1\rangle _{C}$ 是其包含一個光子的狀態。如果原子以交換能量的方式穿過腔，則可以得到以下相互作用 (Haroche & Raimond, 2006, p.282)

$U|0\rangle _{C}|0\rangle _{A}=|0\rangle _{C}|0\rangle _{A}$

$U|0\rangle _{C}|1\rangle _{A}=|1\rangle _{C}|0\rangle _{A}$

$U|1\rangle _{C}|0\rangle _{A}=-|0\rangle _{C}|1\rangle _{A}$

$U|1\rangle _{C}|1\rangle _{A}=|1\rangle _{C}|1\rangle _{A}$

它並非SWAP門，但看起來很像。例如，

$U|0\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}+\beta |1\rangle _{A})=(\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|0\rangle _{A}$

$U(\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|1\rangle _{A}=|1\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}+\beta |1\rangle _{A})$

能量的交換也可能導致狀態變化

$U|1\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}+\beta |1\rangle _{A})=(-\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|1\rangle _{A}$

$U(\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|0\rangle _{A}=|0\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}-\beta |1\rangle _{A})$

透過修改實驗引數，並引入原子的另一個激發態$|i\rangle _{A}$，也可以安排原子穿過腔體的過程，用以下公式描述（第 320-322 頁）

$U'|0\rangle _{C}|g\rangle _{A}=|0\rangle _{C}|g\rangle _{A}$

$U'|0\rangle _{C}|i\rangle _{A}=|0\rangle _{C}|i\rangle _{A}$

$U'|1\rangle _{C}|g\rangle _{A}=-|1\rangle _{C}|g\rangle _{A}$

$U'|1\rangle _{C}|i\rangle _{A}=|1\rangle _{C}|i\rangle _{A}$

如果我們重新定義狀態 $|0\rangle _{A}$ 和 $|1\rangle _{A}$ 為

$|0\rangle _{A}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle _{A}+|i\rangle _{A})$

$|1\rangle _{A}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(-|g\rangle _{A}+|i\rangle _{A})$

那麼上面提到的 $U'$ 算符決定了一個 CNOT 門，其中腔是控制量子位元，原子是目標量子位元。透過這種方式，人們能夠在不破壞光子的情況下檢測到光子。

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