觀察的量子理論/基本概念和原理

量子物理學原理

四個原理（狄拉克1930年，馮·諾依曼1932年，科恩-塔努吉、迪烏與拉洛埃1973年，溫伯格2012年）就足夠了

• 量子系統的狀態空間是一個復希爾伯特空間，即配備了標量積並對該積定義的範數完備的復向量空間（參見1.1）。

• 孤立系統在兩個時刻之間的演化由酉算符決定。

• 複合系統的狀態空間是其各部分空間的張量積。

• 最後一個原理，玻恩規則，說明了如何從被觀察系統的狀態向量計算測量結果的機率。它將在下面解釋（參見2.4）。它賦予了希爾伯特空間中的標量積以物理意義（參見2.6）。

演化假設已經以其積分形式被表述。在其微分形式中，它是薛定諤方程，$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle =H|\psi \rangle$。本書將不會使用它，因為積分形式更適合於觀察理論。

第三個原理可以被視為第一個原理的推論。它不是嚴格的邏輯推論，但是一旦我們接受了第一個原理，並且我們認為一個系統可以由可能處於不同狀態的各個部分組成，我們就不得不接受第三個原理。

第一個原理以其當前的略微不正確的形式被表述。更準確地說，它指出物理狀態必須用希爾伯特空間中的射線 - 線性相關的向量子空間 - 來識別，或者，如果計算機率，用這種射線的單位向量集來識別。因此，零向量，其長度為零，不是狀態向量。在實踐中，向量和射線之間的差異不會在識別量子態方面帶來困難。

在第一個原理中，完備性條款對於對無限維狀態空間進行推理是必要的。通常，基態的可數性條款會被新增。當我們根據本書，在有限維復向量空間上進行推理時，這些條款是不必要的，因為它們始終是完備的。

這些原理中經常新增的是，物理量必須用可觀測量來表示，也就是說，用被觀察系統狀態空間上的厄米算符來表示（參見5.2）。這種新增不是必要的（Zeh，在 Joos、Zeh &... 2003）。

另一個原理，狀態向量（或波函式）坍縮假設，通常被認為是一個量子原理。它與酉演化原理和薛定諤方程相矛盾。因此，它不可能成為量子物理學的一部分，否則理論就會自相矛盾。然而，這種假設通常被認為是賦予量子數學以物理意義所必需的，但埃弗裡特（1957）表明它不是（參見4.4和4.5）。

理想測量

測量由測量裝置的狀態基底決定：$|i\rangle _{A}$ 是指標態。 $i$ 索引測量可能的結果。當測量是理想的（馮·諾依曼1932）時，存在被觀察系統的狀態的正交規範基底$|i,j\rangle _{S}$，使得被檢測系統與探測器之間的相互作用由以下描述：

$U|i,j\rangle _{S}|ready\rangle _{A}=|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

對於所有 $i$ 和 $j$，其中 $U$ 是從初始時間（測量之前）到最終時間（測量完成）的演化算符，$|ready\rangle _{A}$ 是探測器的初始狀態，$|i,j\rangle _{S}$ 是與結果 $i$ 相關的本徵態。 $j$ 為與相同結果相關的本徵態編制索引。

測量結果的本徵態是指觀察結果一定導致該結果的那些狀態。當測量是理想的，並且僅在這種情況下，如果觀察到的系統處於本徵態，則它將保持在相同狀態，它不會受到測量過程的干擾。

當單個本徵態與測量結果相關聯時，可以說它被測量檢測到或指向。

$|i,j\rangle _{S}|ready\rangle _{A}$ 是 $|i,j\rangle _{S}\otimes |ready\rangle _{A}$ 的簡寫形式，其中 $\otimes$ 表示兩個向量的張量積（參見 1.7）。

多重命運存在定理

根據么正演化原理，如果觀察到的系統的初始狀態是 $\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$，則測量後的最終狀態必須是

$U(\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S})|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha _{ij}U|i,j\rangle _{S}|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

不同測量結果對應不同的$|i\rangle _{A}$。因此，$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 是測量結果的疊加。

因此，量子測量基本定理直接從量子物理學原理中得出：如果被觀察系統最初處於測量本徵態的疊加態，則整個系統（被觀察系統加上測量裝置）處於測量結果的疊加態。

這個定理非常令人驚訝。在測量結束時，觀察到一個單一的結果$|i\rangle _{A}$。測量結果的疊加不是測量結果。我們如何理解量子物理學預測了$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 的存在？

休·埃弗雷特三世 (1957) 提出了以下答案

$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 描述了觀察者命運的疊加。觀察者獲得單個測量結果，因為他只知道自己的一種命運。其他的測量結果也得到了，但在觀察者的其他命運中。量子物理學描述了一個宇宙，其中生物有無數的命運。觀察者所知的這個世界只是量子現實中的一小部分，無數命運中的一種。因此，量子測量基本定理也可以稱為多重命運存在定理。它是量子物理學原理的直接結果。它是在理想測量的特定情況下提出的，但對所有形式的量子測量仍然有效。要否認它，就必須否認量子物理學正確地描述了現實。可能有一種新的物理學超越了量子物理學，並證明了這些其他命運並不存在，但到目前為止，量子物理學始終證明了其有效性。沒有任何實驗結果曾經反駁過它。

多重命運存在定理是可以經驗驗證的，但驗證方式非常有限。我們將在後面關於量子糾纏的章節中展示，觀察者不能觀察到他的其他命運，但第二個觀察者原則上可以觀察到。原則上可以透過“薛定諤的貓”型別的實驗來觀察到，在觀察之後，觀察系統有多種命運。但這一結論僅限於可逆的觀察過程，因為觀察會破壞資訊。由於生命過程是不可逆的，因此無法觀察到一個生命體多重命運的同時存在。

觀察對資訊的破壞

對量子態疊加的觀察必然會破壞每個疊加態所攜帶的資訊。

令$|P_{i}\rangle$ 為指標態的基底，$|ready\rangle$ 為測量裝置的初始態，$|S_{j}\rangle$ 為被觀察系統的態基底，$U$ 為測量的演化算符。為了觀察疊加態$\sum _{j}\alpha _{j}|S_{j}\rangle$，應該存在一個指標態$|P_{n}\rangle$ 使得

$U(\sum _{j}\alpha _{j}|S_{j}\rangle |ready\rangle )=|X\rangle |P_{n}\rangle$

其中 $|X\rangle$ 是被觀測系統的狀態。

如果觀測不破壞每個 $|S_{j}\rangle$ 所攜帶的資訊，那麼必須有可能根據測量後的狀態來了解測量前的被觀測系統的狀態，所以我們必須有狀態 $|S'_{j}\rangle$，它們彼此正交，使得

$U(|S_{j}\rangle |ready\rangle )=|S'_{j}\rangle |Y_{j}\rangle$ 對於每個 $j$，其中 $|Y_{j}\rangle$ 是測量裝置的狀態。

這兩個條件意味著所有 $|Y_{j}\rangle$ 必須等於 $|P_{n}\rangle$。這意味著測量裝置沒有測量任何東西，因為它只從 $|ready\rangle$ 跳轉到 $|P_{n}\rangle$，無論被觀測系統處於何種狀態。因此，觀測狀態疊加的測量裝置必然會破壞這些狀態所攜帶的資訊。這個簡單的定理可以擴充套件到測量裝置的更現實模型，其中初始狀態和指標狀態處於統計系綜中。

這個定理表明了多重命運存在定理在經驗上可驗證的條件。如果測量是不可逆的，如果收集的資訊無法擦除，那麼量子疊加將無法被觀測到。由於有意識的命運是不可逆資訊獲取的連續過程（做過的事情無法撤銷，過去無法擦除，獲得的資訊無法破壞），因此它們的疊加無法被觀測到。但這並不禁止用可逆測量驗證多重命運存在定理。我們可以在微觀測量系統上驗證它，例如原子、囚禁光子或離子。量子計算機是一種驗證構成它的量子位元的多重命運存在的方法。

玻恩規則

疊加態$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 中的複數$\alpha _{ij}$ 被認為是機率幅。觀察到結果$i$ 的機率是$\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}$。這可以被認為是一個原則

如果被觀察系統的初始狀態是$|\psi \rangle =\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$，其中$|i,j\rangle _{S}$ 是測量本徵態的正交歸一基，那麼結果$i$ 的機率是$\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}$。

為了應用這條規則，$|\psi \rangle$ 必須是歸一化的：$\sum _{ij}|\alpha _{ij}|^{2}=1$。

人們可以嘗試從前三個原則中證明第四個原則（埃弗雷特 1957，祖雷克 2003 ...）。這些證明是有爭議的，這裡不討論。

玻恩規則只適用於理想測量。將證明它可以推廣到所有形式的測量（參見 5.1 和 5.3）。

我們能觀察量子態嗎？

為了觀察，觀察系統（探測器、測量儀器）在測量後的狀態必須提供測量前被觀察系統狀態的資訊。如果能夠從測量結果中準確推斷出被檢測系統的狀態，那麼觀察就是完美的。量子測量永遠不會是完美的。如果被檢測系統的初始狀態事先未知，那麼探測器的最終狀態永遠不足以知道被檢測系統的狀態，因為被檢測系統的許多不同狀態可以導致相同的結果。只要它們有非零機率產生這個結果就足夠了。觀察提供的唯一資訊是被觀察系統的狀態沒有零機率產生這個結果。如果結果$i$ 已經獲得，我們唯一知道的關於被觀察系統初始狀態$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$ 的資訊是$\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}>0$

那麼我們如何才能知道量子系統的狀態向量呢？

自然自發產生的未知系統的量子態是無法檢測的。另一方面，物質系統可以被製備成處於單一量子態。如果存在一個其本徵態是唯一的測量結果，那麼就可以驗證該量子態確實存在。只需多次重複製備，並驗證每次都得到相同的測量結果。

僅憑觀察不足以瞭解量子態。需要對物質進行操作，將其製備成想要觀察的態。

理想測量是製備態的一種方式，當測量結果每個都具有單一本徵態時。如果測量的結果是 $i$，那麼就可以確定地知道觀察到的系統狀態是 $|i\rangle _{S}$，在測量之後立即。這可以透過對剛製備的系統重複測量來驗證。

為了擺脫多重命運的存在定理，許多物理學家斷言，狀態向量只是用來計算機率的理論工具，它們並不真正代表現實（佩雷斯 1995）。但是，當觀察到的系統被正確製備後，人們可以確定地知道它的狀態向量，人們可以毫無疑問地進行檢查。物理學家現在知道如何製備、操縱和觀察他們想象的狀態向量（例如，哈羅奇和雷蒙德 2006），這是否足以斷言狀態向量確實代表了觀察到的系統的物理狀態？

量子態的正交性和不完全可辨性

有時人們會不恰當地說，當一個物質存在於諸如 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 的狀態疊加中時，它同時處於 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 態。例如，在評論楊氏實驗時，人們會說光子同時穿過兩個狹縫。這聽起來很荒謬。如果光子在一個狹縫中，它不可能在另一個狹縫中。因此，說它同時處於兩個狹縫中是一個矛盾。人們之所以說它穿過兩個狹縫，只是為了說明，如果要檢測它的透過，人們會發現它在一個狹縫或另一個狹縫中。但它永遠不會同時出現在兩個狹縫中。

如果一個存在處於 $|0\rangle$ 態，它就不處於 $|1\rangle$ 態，反之亦然。當它處於 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 態時，它既不處於 $|0\rangle$ 態，也不處於 $|1\rangle$ 態，而是在第三種狀態中，不同於前兩種（格里菲斯 2004）。

如果一個實體處於狀態 $|0\rangle$，它在準備狀態 $|1\rangle$ 後無法立即檢測到，因為 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是正交的，即它們的標量積 $\langle 1|0\rangle$ 為零。另一方面，如果一個實體處於狀態 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$，則以二分之一的機率檢測到它處於狀態 $|0\rangle$，同樣也以二分之一的機率檢測到它處於狀態 $|1\rangle$，因為 $\left|\langle 0|{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\right|^{2}=\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle 0|0\rangle \right|^{2}={\frac {1}{2}}$。當兩個狀態正交時，它們是完全可區分的，因為它們可以都是同一個測量儀器的本徵態。當它們不正交時，它們的差異部分模糊，尤其是當它們的標量積接近 1 時。它們不是完全可區分的，因為無法進行測量以區分它們，因為它們不能是同一測量儀器的本徵態，而這些測量儀器與不同的值相關聯。

有時人們會說，$|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}$ 是一個處於狀態 $|\psi \rangle$ 的實體處於狀態 $|\phi \rangle$ 的機率。這聽起來很荒謬，因為如果 $|\psi \rangle$ 和 $|\phi \rangle$ 不同，一個實體不可能同時處於兩種狀態。但是，如果我們寬容地理解這句話，我們就會明白它僅僅意味著，一個處於狀態 $|\psi \rangle$ 的實體被檢測到處於狀態 $|\phi \rangle$ 的機率為 $|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}$。這就是為什麼我們傾向於說，如果 $|\phi \rangle$ 與 $|\psi \rangle$ 不正交，處於狀態 $|\psi \rangle$ 的實體部分處於狀態 $|\phi \rangle$。

量子測量的不可相容性

如果 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是某個測量的本徵態，那麼它們可以被認為是被觀測到的或指向的狀態。另一方面，$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的疊加態不是可以透過這種測量觀測到的狀態。

設$|x^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 和 $|x^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$ 是兩個新的基向量（名稱 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 來自自旋 1/2 理論）。

$|x^{+}\rangle$ 和 $|x^{-}\rangle$ 也可以是測量值的本徵態，因此是這種測量觀測到的狀態。另一方面，{$0,1$} 和 {$|x^{+}\rangle$ , $|x^{-}\rangle$} 是不相容的。觀測系統不存在像 $|0x^{+}\rangle$ 這樣的狀態，因為沒有量子態是兩種測量的本徵態。如果對系統進行連續兩次測量，每次都會得到隨機的結果。無法使觀測系統處於一種狀態，使其在兩次連續測量中都能得到確定的結果。如果第一次測量的結果是確定的，那麼第二次測量就無法確定。

當兩個測量具有共同的本徵態基底時，它們被稱為相容的。如果它們是理想測量，它們就不會互相干擾。其中一個測量可以在另一個測量之前進行，而不會影響另一個測量的結果。

不相容測量的存在是量子疊加原理的直接結果。它是一種典型的量子效應，在經典物理學中沒有等效的現象。

當觀測系統處於 $|0\rangle$ 狀態時，關於 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 的現實性可以說什麼？

由於 $|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle +|x^{-}\rangle )$，系統處於 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 的疊加狀態。兩者都不是真實的。只有它們的疊加才是真實的。

海森堡證明了量子粒子的位置和動量測量是不相容的（海森堡 1930）。它們只能互相干擾。因此，不可能將精確定義的位置和動量同時歸因於同一個粒子。這種不相容性用 $\Delta x\Delta p\geq \hbar$ 的關係來表示，其中 $\Delta x$ 是位置測量的非確定性，$\Delta p$ 是動量測量的非確定性，而 $\hbar$ 是普朗克常數 $h$ 除以 $2\pi$。如果這個關係不成立，那麼任何量子態都不能是兩種測量的本徵態。

必須將其稱為海森堡的不確定性關係，而不是不確定性關係，因為後者暗示我們不知道粒子的位置和動量，但它們是可以知道的。為了存在不確定性，必須有我們不知道的東西。但量子測量的不相容性並不意味著存在我們觀察到的以外的東西。相反，它說明不存在位置和動量被精確定義的真實狀態。這些狀態是無法觀測的，因為它們不存在。海森堡的關係不是源於我們的無知或不確定性，而是源於現實的非確定性。量子態不能同時成為所有可能測量的本徵態，這是因為它們不相容。

不確定性和密度算符

密度算符 $\rho$ 用於描述系統量子態未知或不確定的情況。它由一組狀態 $|j\rangle$ 定義，這些狀態被假定為歸一化的，但不必正交，每個狀態都分配一個機率 $p_{j}$。根據定義 $\rho =\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|$，其中 $|j\rangle \langle j|$ 是狀態 $|j\rangle$ 上的正交投影。

如果 $|j\rangle$ 是正交的，那麼 $p_{j}$ 是 $|j\rangle$ 在 $\rho$ 中的權重。為了方便描述，我們可以說 $p_{j}$ 是狀態 $|j\rangle$ 的存在密度。

我們稱 $\rho$ 描述了一個狀態混合物，或稱為混合態。同一個密度算符可以由不同的混合物定義，但我們將在後面 (4.3) 證明，這些混合物是無法透過觀測來區分的。密度算符包含了對觀察到的系統狀態的所有可用資訊。

如果所有 $p_{j}$ 都等於零，除了 $p_{0}=1$，那麼狀態向量 $|0\rangle$ 是已知的，並且是精確的。此時，系統被稱為處於純態。在這種情況下 $\rho =|0\rangle \langle 0|$。因此，密度算符的形式主義可以應用於混合態和純態。

密度算符的跡總是等於1

$Tr(\rho )=Tr(\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|)=\sum _{j}p_{j}Tr(|j\rangle \langle j|)=\sum _{j}p_{j}=1$

如果一個系統處於混合態$\rho$，則檢測到純態$|\psi \rangle$ 的機率為$Tr(\rho |\psi \rangle \langle \psi |)$。

證明：$Tr(\rho |\psi \rangle \langle \psi |)=Tr(\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{j}p_{j}\langle j|\psi \rangle Tr(|j\rangle \langle \psi |)=\sum _{j}p_{j}|\langle j|\psi \rangle |^{2}$

密度算符決定了所有量子態檢測機率，因此也決定了所有可能測量結果的機率。從這個意義上說，它完全決定了系統的物理狀態。

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