觀測的量子理論/量子測量的一般理論

馮·諾依曼最初提出的理想測量理論，由於以下幾個原因並不完全令人滿意

a) 它假設存在被觀測系統的本徵態基底。這些狀態產生確定性的結果，並且不會受到測量的干擾。但一般來說，產生確定性結果的狀態並不存在。探測器並不完美。它們的探測率幾乎從未達到 100%。即使本徵態存在，也無法阻止它們受到測量的干擾。SWAP 門就是一個例子。還可能發生在測量過程中被觀測系統被破壞的情況。例如，大多數光探測器會吸收它們檢測到的光子。

b) 為了進行理想測量，探測器必須始終處於相同的初始狀態 $|ready\rangle _{A}$ 。但一般來說，探測器的初始狀態並不精確已知。同樣，最終狀態 $|i\rangle _{A}$ 也不精確已知。

測量算符是對 a 的反對意見做出回應。測量超算符是對 b 的反對意見做出回應。

測量算符

通常， $|i\rangle _{A}$ 是測量儀器指標態的正交歸一基底。

$|j\rangle _{S}$ 是被觀測系統狀態的任何正交歸一基底。

$U$ 是描述測量過程的演化算符。

如果 $|\psi \rangle _{S}$ 是被觀測系統的初始狀態，最終狀態是

$U|\psi \rangle _{S}|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha (\psi )_{ji}|j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

測量算符 $M(i)$ 由以下定義

$M(i)|\psi \rangle _{S}=\sum _{j}\alpha (\psi )_{ji}|j\rangle _{S}$

這些算符由 $U$ 確定。它們是線性的，因為 $U$ 是線性的。

獲得結果 $i$ 的機率是 $\sum _{j}|\alpha (\psi )_{ji}|^{2}=|M(i)|\psi \rangle _{S}|^{2}$ 。這是對波恩規則的推廣。觀察到的系統在測量 $i$ 後的狀態是 ${\frac {M(i)|\psi \rangle _{S}}{|M(i)|\psi \rangle _{S}|}}$ 。它是相對於測量儀器的最終狀態 $|i\rangle _{A}$ 的相對狀態，在埃弗雷特的意義上。

${\frac {1}{|M(i)|\psi \rangle |}}$ 是一個歸一化因子。

為了解釋破壞觀察系統的測量，引入一個新的狀態 $|destroyed\rangle _{S}$ 來表示這種破壞。當然，這不是真正的量子態，因為它代表了不再存在的系統的狀態。它只是一個數學技巧，用於將測量算符的形式主義適應破壞性測量的情況。使用量子場論和湮滅算符可以實現更嚴格的方法。

例子

CNOT 門

從

我們推斷

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\beta |1\rangle$

$M(0)$ 和 $M(1)$ 分別是狀態 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 上的正交投影。

SWAP 門 從

我們推斷

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\beta |0\rangle$

破壞性和低效的測量

假設如果被觀測系統處於狀態 $|1\rangle$ ，則檢測率為 10%。如果它處於狀態 $|0\rangle$ ，則永遠不會被檢測到。這種測量可以用以下演化來描述

$U(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle =\alpha |00\rangle +{\sqrt {0.9}}\beta |10\rangle +{\sqrt {0.1}}\beta |destroyed\rangle |1\rangle$

其中 $|0\rangle$ 是探測器的初始狀態，而 $|1\rangle$ 是它檢測到被觀測系統時的狀態。我們可以推斷出

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle +{\sqrt {0.9}}\beta |1\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )={\sqrt {0.1}}\beta |destroyed\rangle$

對於如此微不足道的有效測量，沒有本徵態的基礎。唯一的本徵態是 $|0\rangle$ 。所有其他狀態 $\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ ，其中 $\beta$ 不等於零，不是本徵態，因為它們不會導致確定性的結果。

可觀測量和投影算符

量子物理學原理通常在沒有參考量子測量理論或測量算符的情況下解釋。為了解釋狀態向量和觀察之間的聯絡，我們說物理量，也就是可測量量，由厄米算符表示，這些算符被稱為可觀測量。測量結果是這些算符的特徵值。與特徵值相關的特徵向量是導致確定性測量該特徵值的態。此外，狀態向量坍縮的假設通常被接受，即當獲得測量結果時，系統的狀態向量被投影到所測量結果的特徵態子空間上。因此，這樣的觀察是理想的測量，因為如果系統處於可觀測量的一個特徵態，則它不會受到測量的影響。

當測量是理想的時，測量算符 $M(i)$ 正是 $i$ 特徵態子空間上的投影算符 $P(i)$ 。這就是為什麼理想測量也被稱為投影測量。

可觀測量，作為厄米算符 $O$ ，可以從 $P(i)$ 定義

$O=\sum _{i}iP(i)$

因此，透過厄米算符定義可觀測量是更一般的測量算符理論的一個特例，僅限於理想測量。

關於探測器狀態的不確定性和測量超算符

當獲得結果 $i$ 時，假設探測器的狀態是未知的，但已知它處於其狀態空間的子空間 $H(i)_{A}$ 中。由於必須區分測量結果，因此 $H(i)_{A}$ 必須是相互正交的。它們是指示態的子空間。

測量裝置的指標狀態的正交歸一基是 $|i,j\rangle _{A}$ 。 $|i,j\rangle _{A}$ 在 $H(i)_{A}$ 中。

假設探測器的初始狀態是 $|ready,k\rangle _{A}$ ，機率為 $p_{k}$ 。因此，測量之前，探測器由密度算符 $\sum _{k}p_{k}|ready,k\rangle _{A}\langle ready,k|_{A}$ 描述。

$|l\rangle _{S}$ 是觀測系統的任何正交歸一基狀態。

$U$ 是描述測量過程的演化算符。

如果 $|\psi _{m}\rangle _{S}|ready,k\rangle _{A}$ 是系統的初始狀態，那麼最終狀態是

$U|\psi _{m}\rangle _{S}|ready,k\rangle _{A}=\sum _{lij}\alpha (m,k)_{lij}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}$

令 $|\phi (i,m,k)\rangle =\sum _{lj}\alpha (m,k)_{lij}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}$

測量超算符 $M(i)$ 作用於密度算符集。它們定義為

$M(i)(|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{k}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)$

適用於純態。我們可以將其推廣至

$M(i)(\sum _{m}p_{m}|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{m}p_{m}M(i)(|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)$

適用於混合態 $\rho _{S}=\sum _{m}p_{m}|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S}$ .

通常情況下 $M(i)\rho _{S}$ 不是密度算符，因為它們的跡不等於 1。

與測量算符類似，測量超算符決定了觀測結果的機率以及觀測系統最終的狀態（廣義的 Born 規則）

如果初始狀態為 $\rho _{S}$ ，無論是純態還是混合態，觀測到結果 $i$ 的機率為 $Tr(M(i)\rho _{S})$ 。觀測到 $i$ 後的最終狀態通常為混合態，由算符 ${\frac {M(i)\rho _{S}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$ 表示。

我們可以得出結論，測量結果的機率僅取決於 $\rho _{S}$ 。不同的狀態混合物，只要它們確定了相同的 $\rho _{S}$ ，就無法透過觀測來區分。

測量 $i$ 後觀察到的系統的最終狀態，是相對於測量儀器的最終狀態 ${\frac {\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{S}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)}{Tr[\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{S}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)]}}$ 的相對狀態（以埃弗雷特的意義）。

廣義玻恩規則展示瞭如何將關於理想測量的主定理（多重命運存在定理、測量結果機率計算、狀態向量的表觀坍縮）推廣到所有測量過程。

廣義玻恩規則的證明

$Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)=Tr_{A}(\sum _{ljl'j'}\alpha (m,k)_{lij}\alpha ^{*}(m,k)_{l'ij'}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}\langle l'|_{S}\langle i',j'|_{A}$

$=\sum _{ljl'}\alpha (m,k)_{lij}\alpha ^{*}(m,k)_{l'ij}|l\rangle _{S}\langle l'|_{S}$

因此

$Tr(M(i)\rho _{S})=\sum _{ljkm}p_{m}p_{k}|\alpha (m,k)_{lij}|^{2}$

玻恩規則允許我們得出結論，獲得結果 $i$ 的機率為 $Pr(i)$ 。

測量完成後，SA 系統處於以下狀態的混合狀態： ${\frac {|\phi (i,m,k)\rangle }{||\phi (i,m,k)\rangle |}}$ ，其機率為 $Pr(i,m,k)=||\phi (i,m,k)\rangle |^{2}p_{m}p_{k}$ ，對所有 $i$ 、 $m$ 和 $k$ 值都適用。

已知結果為 $i$ 時，SA 系統處於以下狀態的混合狀態： ${\frac {|\phi (i,m,k)\rangle }{||\phi (i,m,k)\rangle |}}$ ，其機率為 ${\frac {Pr(i,m,k)}{Pr(i)}}={\frac {||\phi (i,m,k)\rangle |^{2}p_{m}p_{k}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$ ，對所有 $m$ 和 $k$ 值都適用。因此，它由以下密度算符表示。

$\rho _{SA}^{f}=\sum _{m,k}{\frac {p_{m}p_{k}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|$

因此，觀測系統SA的密度算符為： $\rho _{S}^{f}$

$\rho _{S}^{f}=Tr_{A}(\rho _{SA}^{f})={\frac {\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)}{Tr(M(i)\rho _{S})}}={\frac {M(i)\rho _{S}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$

指標狀態和環境壓力的選擇

量子物理學沒有先驗地對物質系統的希爾伯特空間強加任何特定的狀態基底。任何基底都可以起作用。不存在基本狀態，其他狀態可以透過疊加獲得。特別是， $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 作為疊加態，與 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )=|x^{+}\rangle$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )=|x^{-}\rangle$ 一樣，因為 $|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle +|x^{-}\rangle )$ 和 $|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle -|x^{-}\rangle )$ .

測量算符和超算符的形式主義並沒有先驗地強加任何指標態的基礎。對於任何指標態的基礎 $|i\rangle _{A}$ ，以及任何初始態 $|ready\rangle _{A}$ ，我們可以定義測量算符 $M(i)$ 。對於 $H_{A}$ 的任何分解為相互正交的子空間 $H(i)_{A}$ ，以及任何表示初始態的密度算符，測量超算符 $M(i)$ 就可以被定義。

但是，測量結果的疊加不是測量結果。是什麼迫使我們選擇一個指標態的基礎而不是另一個基礎，而另一個基礎是透過前一個基礎的疊加獲得的？（Zurek 1981）

如果測量裝置是宏觀的，那麼選擇指標態或指標子空間自然而然是必要的，因為非定域的宏觀態非常脆弱（參見 4.18）並且通常不可觀測。為了使測量提供確定的結果，該結果必須具有最小的持續時間，至少是將結果儲存到硬碟、紙張或僅僅是我們記憶中的時間。如果測量結果在獲得後立即被破壞，而沒有被記錄下來，那麼它就不是結果。這就是為什麼宏觀儀器的指標態始終或幾乎始終是定域態，而指標子空間只包含定域態。除非環境對相干性的破壞足夠低，使得對非定域宏觀態的觀測成為可能，否則沒有其他選擇。

微觀探針的指標態

光子，更一般地說，任何粒子或分子，都可以被視為測量裝置，即微觀探針。在這種情況下，環境對相干性的破壞不發生作用，或者作用很小。那麼指標態的基礎是什麼？它可能先驗地是任意的。只要這些指標態是可觀測的，即它們本身是被另一個測量裝置所指向的態，那麼微觀探針就可以充當觀測儀器。然而，存在一個標準，它有時足以選擇正確的指標態基礎：我們希望觀察者系統的狀態能夠為我們提供儘可能多的關於被觀察系統的的資訊。

例如，在 CNOT 門中，如果我們希望目標量子位元能夠為我們提供關於控制量子位元的最佳資訊，那麼需要 { $|0\rangle ,|1\rangle$ } 基礎。我們還必須選擇 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 作為目標量子位元的初始態。任何其他選擇指標態的基礎或其初始態都會阻止目標量子位元實現理想的測量。特別地，如果我們選擇 { $|x^{+}\rangle ,|x^{-}\rangle$ } 作為指標態的基礎，那麼目標量子位元就無法提供關於控制量子位元的任何資訊。

一般來說，當一個相互作用使理想的測量成為可能時，只有一個指標態基礎，在這種基礎上測量是理想的。任何其他選擇指標態的基礎都會透過阻止測量成為理想的而妨礙觀測。

被觀測系統和測量裝置之間的相互作用有時足以選擇一個優選的指標態基礎。但並非總是如此。對於 SWAP 相互作用，任何指標態基礎的選擇先驗地都與其他選擇一樣好。

觀測儀器設計中的雙重約束

由於所有物質存在都與其他物質存在相互作用，因此它們都可以被視為觀測儀器，並用於此目的。但是，當我們設計測量儀器時，我們希望最佳化其操作。然後，有兩個約束條件指導我們：當然，觀測儀器必須以最佳方式收集關於被觀測系統的所需資訊，但也必須確保我們能夠訪問收集到的資訊，並且在我們將其清除之前能夠記錄它。被觀測系統和觀測儀器之間的相互作用使後者能夠獲得關於前者的資訊。由此獲得的資訊的可訪問性取決於觀測儀器與其環境之間的相互作用。這兩個約束條件共同決定了指標狀態基礎的選擇。如果它們不能同時得到滿足，那麼就沒有好的觀測儀器。

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