量子觀測理論/量子理論入門

本章針對初學者。對於已經瞭解一些量子物理的讀者，可以跳過本章。

偉大原理：量子疊加的存在

量子物理可以用一個偉大的原理來概括，那就是態疊加原理，它的含義很難理解。

任何可以處於狀態 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$ 的物理系統也可以處於狀態 $\alpha |1\rangle +\beta |2\rangle$ ，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任何複數。

同一個原理可以用等價的方式表達

任何物理系統的狀態空間都是一個復向量空間。

據我們所知，疊加原理的有效性沒有限制：任何物理系統。量子系統（遵守疊加原理）和經典系統（不遵守疊加原理）之間沒有界限。所有已知的系統從根本上來說都是量子系統，因為它們都是由量子粒子組成的。

量子疊加的普遍有效性有一些瘋狂之處。假設 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$ 是月球在兩個不同位置的狀態。如果月球處於狀態 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|2\rangle$ )，它似乎同時出現在兩個不同的地方。這應該是一個普遍現象。在量子疊加中，任何系統都可以同時出現在任意多個地方。唐璜能以量子方式增加他的風流韻事嗎？

疊加原理不能直接簡單地應用於唐璜的例子，但原因很難理解。為什麼月球在它軌道上的特定位置？為什麼它沒有均勻地分佈在天空？ (參見 4.6、4.18 和 4.19) 這就是所謂的薛定諤貓問題：貓能同時活著和死去嗎？ (薛定諤 1935)

疊加原理的普遍有效性可以用許多例子來解釋：波粒二象性和光偏振是它的直接應用。依賴於疊加原理的物理解釋數量非常多：基本粒子的性質、原子、分子和材料的穩定性、放射性、金屬、半導體和絕緣材料的存在、超導、超流、雷射等等。疊加原理用統一的方式解釋了所有這些不同的現象。

波粒二象性

光是粒子流還是波動現象？光線可以是粒子軌跡，牛頓在他的《光學》中就是這樣認為的。那麼，光在鏡子上的反射可以用光粒子或光子像彈球一樣的假設來解釋。然而，惠更斯認為，這種現象以及其他現象可以用光線垂直於波前的假設來更好地解釋。

攝影證明了光粒子的存在，因為光留下的痕跡總是像粒子撞擊一樣。

但是，如果光是由粒子組成的，我們如何解釋像楊氏和菲涅耳發現的干涉圖樣？干涉總是波之間的干涉。似乎粒子之間不可能有任何干涉。干涉圖樣是光是一種波動現象的實驗證據。它被麥克斯韋的電磁理論所證實，該理論將光定義為電磁波。

光是由粒子組成的這一事實並不與干涉圖樣的存在相矛盾。以下是當我們觀察干涉圖樣在照相板上是如何出現時，我們能看到的

用電子進行的真實的雙縫實驗。單個粒子出現在探測器上，慢慢地形成干涉圖樣。
模擬的雙縫實驗。

波動現象，即干涉，是由粒子的撞擊引起的。

疊加原理對波粒二象性給出了非常直接的解釋。任何物理系統都是一個粒子或一個粒子系統，但這些粒子有時表現得像波一樣，因為它們可以同時出現在多個地方。粒子的波決定了它擴散的存在。

例如，粒子的狀態可以是一個波包

這個孤立的小波代表粒子的運動。粒子只能在其波不為零的地方被探測到，即在彩色區域。

因為它的狀態用波來識別，所以粒子可以與其自身發生干涉。

這就是為什麼用粒子可以得到干涉圖樣。

1923年，德布羅意將光的波粒二象性推廣到電子。用這個假設，他證實了玻爾的原子行星模型的約束條件，並得到了氫光譜實驗的證據支援。德布羅意的假設後來在1927年被電子干涉圖案（戴維森和革末）所證實。1925年，薛定諤發現了一個原子模型的波動方程，海森堡發現了矩陣方程，泡利將其應用於同一個模型，所有這些都為氫光譜提供了新的理論解釋。狄拉克隨後證明了海森堡和薛定諤的形式主義是等價的——或者幾乎等價的——並從這些形式主義中給出了量子力學的一般原理（狄拉克，1930）。在這些基礎上，以疊加原理為首，所有量子物理都可以發展起來。

光的偏振

關於光偏振的實驗可以很便宜、簡單，並能直接解釋主要的量子原理。

引入濾光片可以提高透明度。這可以被稱為反濾光片。

這個實驗可以用一個簡化的模型來解釋。光子的狀態空間是一個二維復向量空間。 $|\leftrightarrow \rangle$ 和 $|\updownarrow \rangle$ 是這個空間的兩個基向量。這兩個偏振狀態具有明確的實驗意義。普通光不是偏振光，也就是說，所有光子都可以處於不同的偏振狀態。但是，透過偏振片透過的光——比如太陽鏡——總是偏振光，也就是說，所有光子都處於相同的偏振狀態。如果偏振片以某個確定的方向定向，那麼透過的光子都處於狀態 $|\leftrightarrow \rangle$ 。如果旋轉 90 度，那麼透過的光子都處於狀態 $|\updownarrow \rangle$ 。如果旋轉 45 度，那麼透過的光子都處於狀態 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ .

$|\leftrightarrow \rangle$ 和 $|\updownarrow \rangle$ 是正交狀態。這裡正交的意義不僅僅是幾何的，也是量子力學的，也就是說，如果一個光子處於狀態 $|\leftrightarrow \rangle$ ，它不可能被探測到狀態 $|\updownarrow \rangle$ ，反之亦然。這意味著這裡當兩個垂直偏振片結合時，光不能透射，因為所有透過第一個偏振片透射的光都被第二個偏振片阻擋了。這可以在圖中看到，其中黑色部分顯示了兩個垂直偏振片的結合。

$|\leftrightarrow \rangle$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 不是正交的， $|\updownarrow \rangle$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 也不正交。如果一個光子處於 $|\leftrightarrow \rangle$ 狀態，它有 1/2 的機率被探測到 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 狀態，反之亦然。這個結果導致了反濾波器的存在。如果在兩個垂直偏振器之間引入一個偏振器，角度為 45 度，那麼透過第一個偏振器的所有光子都處於 $|\leftrightarrow \rangle$ 狀態，其中一半 - 在理想的完美偏振器情況下 - 透過第二個，然後處於 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 狀態。這些後來的光子中的一半隨後被第三個偏振器透射，也就是說，原始的 $|\leftrightarrow \rangle$ 光子的四分之一，而如果沒有中間的“反濾波器”，則不會有光子被透射。這種反濾波器效應在圖片中可以清楚地看到。

什麼是複數？

為了構建複數，我們考慮平面中一個點 $O$ 的旋轉。

我們稱 $i$ 為逆時針方向旋轉四分之一圈，數學家稱之為直接旋轉，因為這是慣例。

如果 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是兩個旋轉，我們記 $r_{2}r_{1}$ 為先進行 $r_{1}$ 再進行 $r_{2}$ 所得到的旋轉。這是通常的約定，因為 $g(f(x))=(g\circ f)(x)=(gf)(x)$ 是 $x$ 先經 $f$ 旋轉，再經 $g$ 旋轉的影像。我們記 $r^{2}=rr$

我們記 $1$ 為沒有位移。因此對於任何旋轉 r，有 $r1=1r=r$ 。半周旋轉記為 $-1$ ，因為兩個半周旋轉等於一週，且 $(-1)(-1)=1$ 。所以我們有

$i^{2}=-1$

這僅僅意味著兩個四分之一週旋轉等於一個半周旋轉。

由於普通數字的平方總是正數，所以無法將 $i$ 與它們中的任何一個等同。但是，這並不妨礙我們將 $i$ 當作普通數字一樣進行計算。由於普通數字被稱為實數，所以我們稱 $i$ 為虛數。

為了完成構造，我們在旋轉的基礎上添加了放大和縮小，也就是稱為“相似變換”的縮放操作。以點 $O$ 為中心，比例因子為 $\rho$ 的相似變換，是以點 $O$ 為中心，比例因子為 $\rho$ 的縮放。如果 $\rho >1$ ，則為放大；如果 $0\leq \rho <1$ ，則為縮小。比例因子為 $1$ 的相似變換表示沒有位移，因此它與數字 $1$ 相同。

相同中心的旋轉和相似變換是可交換的。這意味著一系列操作的結果與它們的順序無關。 $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$ 對於所有 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 成立。透過組合多個旋轉和多個相似變換，最終結果與單個旋轉和單個相似變換的結果相同。這些平面變換的集合稱為複數集合。變換的複合定義了這些數字的乘積。

複數僅由兩個實數決定。一個是幅角，它是從 $0$ 到 $2\pi =1$ 旋轉的旋轉角 $=360$ 度。另一個是模長，它是相似變換的比例因子，始終為正數。

對於以 $O$ 為中心的正交座標系，令 $A$ 是座標為 $(1,0)$ 的點。每個複數都可以透過它定義的平面變換與 $A$ 的影像相關聯。透過這種方式，每個複數都與平面上唯一的點相關聯，而平面上每個點都與唯一的複數相關聯。也就是說，平面上的點與複數之間存在雙射。因此，每個複數都可以透過它所關聯的平面點的座標來識別。例如， $1$ 與點 $A$ 相關聯，因此它的座標是 $(1,0)$ ，即 $i$ 的座標是 $(0,1)$ ，複數 $0$ 的座標是 $(0,0)$ .

複數的第一個座標稱為實部，第二個稱為虛部。實部為零的複數稱為純虛數。 $i$ 是純虛數。

複數集可以透過定義座標相加來配備加法運算。因此，我們有 $z=a+ib$ 表示一個實部為 $a$ ，虛部為 $b$ 的複數。

我們說，這樣構造的複數集，配備加法和乘法運算，構成一個域。這僅僅意味著可以用複數進行計算，就像用普通數一樣。

從復指數的定義出發，可以證明模為 $\rho$ ，輻角為 $\phi$ 的複數等於 $\rho e^{i\phi }$ ，因此我們有

e^{i\phi }=cos\phi +isin\phi

特別地，

e^{i\pi }=-1

這個尤拉公式被認為是數學中最漂亮的公式之一，因為它簡單地將四個最重要的數字連線起來。

為什麼量子現實用複數表示？

經典物理學宣稱了幾種疊加原理：波的疊加、力的疊加、機率分佈的疊加……但沒有一種使用複數。複數在經典物理學中的作用被弱化了。它們對於研究正弦函式特別有用，但並不扮演基本角色。根據經典物理學，描述現實的量始終是實數。

初學者傾向於將量子疊加解釋為機率分佈。但這是一種死衚衕，因為機率分佈是用實數定義的。

複數使量子態超越了普通的機率分佈。它們對於量子存在方式至關重要。為什麼是這樣？沒有人知道。

標量積和酉算符

對於平面幾何，兩個向量 $u=(u_{1},u_{2})$ 和 $v=(v_{1},v_{2})$ 的標量積是 $\langle u,v\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}$ ，在更高維空間中推廣為 $\langle u,v\rangle =\sum _{i}u_{i}v_{i}$ 。向量 $v$ 與自身的標量積是其長度的平方 $|v|$ ： ${v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}=|v|^{2}$ 。這僅僅是勾股定理。

當向量用複數定義時，它們的標量積定義為

$\langle u|v\rangle =\sum _{i}{u_{i}}^{*}v_{i}$

其中 $z^{*}$ 是 $z$ 的共軛複數。它定義為 $z^{*}=a-ib$ ，其中 $z=a+ib$ 。複數平面上的共軛操作是相對於水平軸的反射。

當平面或空間的變換 $T$ 保持標量積時，它會保持長度

$\langle T(u),T(v)\rangle =\langle u,v\rangle$

然後它被稱為等距變換。它是旋轉、反射或它們的組合。

如果 $T$ 是復向量空間的變換，並且它保持標量積，那麼它被稱為酉算符。量子疊加不定義機率分佈（它們是實數），而是定義機率幅（它們是複數）。機率是透過對機率幅取平方模來計算的。這些機率被歸因於實驗的所有可能結果。因此，它們的總和必須等於 1。這就是為什麼在計算機率時，量子態總是與長度為 1 的向量相關聯。

描述兩個連續時刻之間狀態變化的演化算符不能改變狀態向量的長度，以便它們的成分可以解釋為機率幅。酉演化的原理（參見 2.1，第二原理）規定了酉演化算符，從而保證了機率解釋的可能性。

酉算符 $U$ 是線性的

$U(\alpha u+\beta v)=\alpha U(u)+\beta U(v)$

這是量子物理學最重要的公式之一（參見 2.3）。

物理學家通常習慣將 $|v\rangle$ 表示為狀態向量 $v$ 。這是狄拉克符號。使用對偶符號 $\langle v|$ ，它可以非常方便地進行線性代數運算，即使你對線性代數一無所知，也可以正確地計算結果。但有時它也會造成誤導。這就是為什麼某些物理學家（佩雷斯 1995，溫伯格 2012）反對這種符號的原因。本書中始終使用這種符號。

張量積和糾纏

$|a_{i}\rangle$ 是 A 狀態空間 $H_{A}$ 的基， $|b_{j}\rangle$ 是 B 狀態空間 $H_{B}$ 的基。

一對對向量 $(|a_{i}\rangle ,|b_{j}\rangle )$ ，記為 $|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$ ，可以被看作是一個新的向量空間的向量，記為 $H_{A}\otimes H_{B}$ ，即 $H_{A}$ 和 $H_{B}$ 的張量積。它可以透過將所有 $|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$ 作為基態來構建。它不依賴於基 $|a_{i}\rangle$ 和 $|b_{j}\rangle$ 的選擇。

如果 $|u\rangle =\sum _{i}u_{i}|a_{i}\rangle$ 以及 $|v\rangle =\sum _{j}v_{j}|b_{j}\rangle$ 是 $H_{A}<Math>and<math>H_{B}$ 中的向量，則它們的張量積定義為 $|u\rangle \otimes |v\rangle =(\sum _{i}u_{i}|a_{i}\rangle )\otimes (\sum _{j}v_{j}|b_{j}\rangle )=\sum _{ij}u_{i}v_{j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )$

$|u\rangle \otimes |v\rangle$ 是一個可分離的向量。它將單個向量 $|u\rangle$ 分配給 A，並將單個向量 $|v\rangle$ 分配給 B。 $H_{A}\otimes H_{B}$ 中的向量並不總是可分離的，因為通常情況下，兩個可分離向量的加和並非一個可分離向量。不可分離態，也被稱為糾纏態，在量子物理學中具有根本的重要性（參見第四章）。

量子位元

最簡單的量子態空間是量子位元的態空間。它是一個二維空間。如果它的維度為一，量子體就無法演化，就不會有運動，因此也就沒有物理學。

所有量子系統的態空間都可以由有限維空間構建，如果我們希望它們是無限維的，則可以取極限，特別是從最簡單的量子位元的態空間構建。

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