訊號與系統/伯德圖

訊號與系統

頻率響應圖

頻率響應是頻率響應的複函式，其變數為角頻率 $\omega =2\pi \cdot f$

H(j\omega )={\frac {Y(j\omega )}{X(j\omega )}}

或變數 $s=i\omega$

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}

這些函式給出了線性時不變系統的輸入和輸出之間的關係。頻率響應以兩個多項式的比率的形式給出

H(s)=k\cdot {\frac {b_{M}s^{M}+\dots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{N}s^{N}+\dots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}

分子為零的點稱為傳遞函式的零點。分母為零的點稱為傳遞函式的極點。零點和極點都是實數或複共軛。

只有複共軛零點 $z_{i}$ 和 $z_{i}^{*}$ ，以及極點 $p_{i}$ 和 $p_{i}^{*}$ 的系統的傳遞函式可以寫成

H(s)=k\cdot {\frac {\prod _{i=1}^{M/2}{(s-z_{i})(s-z_{i}^{*})}}{\prod _{i=1}^{N/2}{(s-p_{i})(s-p_{i}^{*})}}}

如果存在實數零點 $z_{r}$ 和實數極點 $p_{r}$ ，則傳遞函式變為

H(s)=k\cdot {\frac {s-z_{r}}{s-p_{r}}}\cdot {\frac {\prod _{i=1}^{(M-1)/2}{(s-z_{i})(s-z_{i}^{*})}}{\prod _{i=1}^{(N-1)/2}{(s-p_{i})(s-p_{i}^{*})}}}

頻率響應通常表示為兩個圖的組合：幅頻響應和相頻響應。

波德圖以對數尺度表示頻率和幅度，分別表示幅頻響應和相頻響應。

頻率軸顯示 $\log _{10}(f)$ 。兩個頻率之間比率為10的跨度稱為十倍頻程。

幅度軸顯示 $20\cdot \log _{10}(|H(j\omega )|)$ ，這是以分貝為單位的幅度。

這種表示方式的優點在於，實零點、實極點、共軛零點對和共軛極點對的影響在表示中疊加。

示例

此示例顯示了三階歸一化巴特沃斯濾波器的波德圖。

三階巴特沃斯濾波器有3個極點：一個實極點和兩個複共軛極點。所有極點在圓的左側均勻分佈。

下面的幅度圖以綠色顯示

濾波器響應以藍色顯示。它以 -60 dB/十倍頻程的斜率衰減。

在波德圖中，總的幅頻響應（藍色）可以繪製為所有實極點或共軛極點對（綠色）的幅頻響應之和。

下面的相點陣圖以綠色顯示

濾波器相位響應以藍色顯示。它偏移 $3\pi /2$ 。

在波德圖中，總的相頻響應（藍色）可以繪製為所有實極點或共軛極點對（綠色）的相頻響應之和。

因此，瞭解每個獨立的實極點和複共軛極點對的響應，就可以繪製總的幅頻響應和相頻響應。