訊號與系統/常見分佈

訊號與系統

存在許多不同的隨機分佈，其中許多已被廣泛研究，並且許多與自然現象很好地吻合。本書將嘗試涵蓋一些最基本和最常見的分佈。本章還將介紹分佈變換的概念，該概念可用於將簡單分佈轉換為更奇特的分佈。

均勻分佈

最簡單的分佈之一是均勻分佈。均勻分佈也很容易在計算機上建模，然後可以透過一系列變換將其轉換為其他分佈型別。

均勻分佈的 PDF 是一個矩形。該矩形以平均值 <μ_x 為中心，寬度為 A，高度為 1/A。此定義確保 PDF 下的總面積為 1。

高斯分佈

此操作可以使用以下 MATLAB 命令執行

randn

高斯（或正態）分佈同時是最常見的分佈之一，也是最難處理的分佈之一。高斯分佈的問題在於它的 pdf 方程是不可積分的，因此無法找到 cdf 的一般方程（儘管有一些近似值可用），並且幾乎無法直接計算某些機率。然而，有一些方法可以從高斯 pdf 近似這些機率，並且許多常見結果已在表格格式中列出。找到高斯曲線一部分下方區域（因此在該曲線部分下方事件的機率）的函式稱為 Q 函式，其結果在 Q 表中列出。

PDF 和 CDF

高斯隨機變數的 PDF 定義如下

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}

高斯函式的 CDF 是它的積分，任何數學家都會告訴你它無法用正則函式來表達。

Φ 和 Q 函式

引數為 μ = 0 和 σ = 1 的正態分佈，即所謂的標準正態分佈，起著重要作用，因為所有其他正態分佈都可以從此分佈推匯出。標準正態分佈的 CDF 通常用 Φ 表示

\Phi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt

.

它給出了標準正態分佈隨機變數取小於 x 的值的機率。

Q 函式是高斯曲線右尾下的面積，因此只是 1 - Φ。因此，Q 函式定義為

Q(x)=1-\Phi (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt

數學文字可能更喜歡使用 erf(x) 和 erfc(x) 函式，它們類似。但是，本書（以及一般的工程文字）將使用 Q 和 Phi 函式。

泊松分佈

泊松分佈不同於高斯分佈和均勻分佈，因為它僅描述離散資料集。例如，如果我們想對一個特定交換機同時透過的電話呼叫次數進行建模，我們就無法計算電話呼叫的幾分之一；電話呼叫只能用整數表示。此外，電話呼叫的數量不能為負數。事實證明，這種情況可以用泊松分佈輕鬆地建模。泊松分佈隨機事件的一些一般示例是

到達交換機的電話呼叫
透過給定網路的網際網路資料包
透過給定交叉路口的汽車數量

變換

如果我們有一個服從特定分佈的隨機變數，我們經常希望將該隨機過程轉換為使用不同的分佈。例如，如果我們編寫一個生成均勻分佈隨機數的計算機程式，而我們想編寫一個生成高斯分佈的程式，我們可以將均勻數輸入變換，輸出將是服從高斯分佈的隨機數。相反，如果我們有一個奇怪的、奇異的分佈的隨機變數，並且我們想使用一些簡單易懂的表格化高斯分佈工具來檢查它，我們可以進行變換。

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